6.3.5 平面向量数量积的坐标表示课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章　平面向量及其应用 6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 人教A版 数学 必修第二册 课程标准 1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角. 2.掌握向量垂直条件的坐标形式,并能灵活运用. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示 1.平面向量数量积的坐标表示 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=　　　　　　,即两个向量的数量积等于　　　　　 　　　.　　　　　  2.两个向量垂直的坐标表示 与向量共线的坐标表示熟练区分 设a,b是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b ⇔　　　　　　.  名师点睛 已知a=(a1,a2),b=(b1,b2),a∥b⇔a1b2-a2b1=0;a⊥b⇔a1b1+a2b2=0. 这两个结论容易混淆,可分别简记为“纵横交错积的差为零,横横纵纵积的和为零”. x1x2+y1y2　 它们对应坐标的乘积的和 x1x2+y1y2=0 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1y2+x2y1.(　　) (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.(　　) × √ 2.在平面直角坐标系中,设i,j分别是与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量,你能计算出i·i,j·j,i·j的值吗?若设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能给出a·b的值吗? 提示 i·i=1,j·j=1,i·j=0. ∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j, ∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j2. 又∵i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0, ∴a·b=x1x2+y1y2. 3.[苏教版教材例题]已知a=(2,-1),b=(3,-2),求(3a-b)·(a-2b). 解 因为a·b=2×3+(-1)×(-2)=8, a2=22+(-1)2=5, b2=32+(-2)2=13, 所以(3a-b)·(a-2b)=3a2-7a·b+2b2=3×5-7×8+2×13=-15. 知识点2　平面向量的模与夹角的坐标表示 1.若a=(x,y),则|a|2=x2+y2,或|a|=　　　　　.  如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),那么a=(x2-x1,y2-y1),|a|=　　　　　　 　　.  2.设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示可得 过关自诊 1.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),如何表示向量a?怎样表示|a|? 2.[2023河南郑州月考]已知向量a=(-4,3),b=(2,-7),则a·b+|a|=(　　)　　　　　　　　　　 A.29 B.-29 C.24 D.-24 D 解析 向量a=(-4,3),b=(2,-7),∴a·b+|a|=(-4,3)·(2,-7)+5=-24.故选D. 3.[北师大版教材例题]已知a=(3,2),b=(1,-1),求向量a与b的夹角的余弦值. 解 设向量a与b的夹角为θ, 重难探究·能力素养全提升 探究点一　数量积的坐标运算 角度1　数量积的基础坐标运算 【例1】 已知向量a=(-1,2),b=(3,2). (1)求a·(a-b); (2)求(a+b)·(2a-b); (3)若c=(2,1),求(a·b)c,a(b·c). 解 (1)(方法一)∵a=(-1,2),b=(3,2), ∴a-b=(-4,0). ∴a·(a-b)=(-1,2)·(-4,0)=(-1)×(-4)+2×0=4. (方法二)a·(a-b)=a2-a·b=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4. (2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4), 2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2), ∴(a+b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2. (3)(a·b)c=[(-1,2)·(3,2)](2,1)=(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1). a(b·c)=(-1,2)[(3,2)·(2,1)]=(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16). 角度2　数量积的坐标运算在几何图形中的应用 【例2】 在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,点M,N分别在DC,BC上,且 5 规律方法　数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先将向量用基底表示,再利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知 计算. (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,建立平面直角坐标系,写出相应点的坐标即可求解. 变式训练1(1)已知点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则 等于(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 B (2)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,D是边BC上一动点,则 =(　　) A.2 B.-2 C.4 D.无法确定 C 探究点二　利用坐标运算解决模的问题 【例3】 已知向量a=(1,2),b=(3,-1). (1)求|a-2b|; (2)求与a垂直的单位向量; (3)求与b平行的单位向量. 规律方法　1.求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题. (2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有 2.与已知向量垂直或平行的单位向量 变式训练2[2023浙江余姚期中]已知a=(1, ),b=(cos θ,sin θ),则|a+2b|的取值范围是　　　　　.  [0,4] 探究点三　利用坐标运算解决夹角与垂直问题 【例4】 已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c. (1)求b与c; (2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小. 解 (1)因为a∥b,所以3x=4×9,即x=12. 因为a⊥c,所以3×4+4y=0,所以y=-3. 故b=(9,12),c=(4,-3). (2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4), n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1). 设m,n的夹角为θ, 变式探究本例中,其他条件不变,若向量d=(2,1),且c+td与d的夹角为45°,求实数t的值. 规律方法　解决向量夹角问题的方法 本节要点归纳 1.知识清单: (1)平面向量数量积的坐标表示. (2)若向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2),且a,b为非零向量,则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0(a,b为非零向量). 2.方法归纳:化归与转化. 3.常见误区:两向量夹角的余弦公式易记错. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A 级 必备知识基础练 A.4 B.-4 C.2 D.-2 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2.[探究点一(角度1)·2023辽宁丹东模拟]已知向量a=(2,1),b=(3,2),则 a·(a-b)=(　　) A.-5 B.-3 C.3 D.5 B 解析 ∵a=(2,1),b=(3,2),∴a-b=(-1,-1),则a·(a-b)=2×(-1)+1×(-1)=-3. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A.[2,14] B.[0,12] C.[0,6] D.[2,8] A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4.[探究点三]设向量a=( ,1),b=(x,-3),c=(1,- ).若b⊥c,则a-b与c的夹角 为(　　) A.0° B.30° C.60° D.90° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5.[探究点二]设向量a=(x+1,-x),b=(1,2),且a⊥b,则|a|=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6.[探究点二]设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=　　　　　.  -2 解析 (方法一)a+b=(m+1,3), 又|a+b|2=|a|2+|b|2. ∴(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2. (方法二)由|a+b|2=|a|2+|b|2, 得a·b=0,即m+2=0,解得m=-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7.[探究点二、三]设向量a与b的夹角为θ,且a=(3,3),2b-a=(-1,-1),则|b|=　　　　　,cos θ=　　　　　.  1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8.[探究点二、三]已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R). (1)若a∥b,求|a-b|; (2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围. 解 (1)因为a∥b,所以-x-x(2x+3)=0, 解得x=0或x=-2. 当x=0时,a=(1,0),b=(3,0), 所以a-b=(-2,0),则|a-b|=2. 当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2), 所以a-b=(2,-4),则|a-b|=2 . 综上,|a-b|=2或2 . (2)因为a与b的夹角为锐角, 所以a·b>0,即2x+3-x2>0,解得-1<x<3. 又当x=0时a∥b,故x的取值范围是(-1,0)∪(0,3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9.[探究点三]已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1)求证:AB⊥AD; (2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B 级 关键能力提升练 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11.已知向量a=(-2,1),b=(1,t),则下列说法不正确的是(　　) A.若a∥b,则t的值为- B.若|a+b|=|a-b|,则t的值为2 C.|a+b|的最小值为1 D.若a与b的夹角为钝角,则t的取值范围是(-∞,2) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则 的最小值为(　　) A.3 B.5 C.7 D.8 B 解析 如图,以D为原点,DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,设DC=a,则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),设P(0,x)(0≤x≤a), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14.(多选题)如图,4×6的方格纸中有一个向量 (以图中的格点O为起点,格点A为终点),则下列说法正确的有(　　) BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15.已知向量a=( ,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b= ,则b=　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16.设向量m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“⊗”为m⊗n =(ac-bd,ad+bc),若已知p=(1,2),p⊗q=(-4,-3),则q的坐标为　　　　　.  (-2,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (2)因为(a+2b)⊥(2a-b), 所以(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0, 所以2|a|2+3a·b-2|b|2=0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18.已知向量a=(1,2),b=(cos α,sin α),设m=a+tb(t∈R). (1)若α= ,求当|m|取最小值时实数t的值. (2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为 ?若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C 级 学科素养创新练 19.已知向量a,b满足|a|= ,b=(1,-3),且(2a+b)⊥b. (1)求向量a的坐标; (2)求向量a与b的夹角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 cos θ=. 提示 a=(x2-x1,y2-y1),|a|=||=. 则cos θ=. DM=MC,BN=BC,则=　　　　　.  解析 (方法一)·()=0+×22+×32+0=5. (方法二)以A为原点,AB,AD分别为x,y轴建立平面直角坐标系(图略),则A(0,0),M(1,2),N(3,1), 于是=(1,2),=(3,1),故=5. 解析 因为=(2,3)-(1,2)=(1,1),=(-2,5)-(1,2)=(-3,3), 所以=1×(-3)+1×3=0. 解析 (方法一)·()=, ∵∠ABC=90°,∴=0,∴=4. (方法二)以B为原点,以的方向为x轴、y轴的 正方向,建立平面直角坐标系,如图. 则B(0,0),A(2,0),设D(0,y). 所以=(-2,0),=(-2,y),得=(-2,0)·(-2,y)=4. 解 (1)(方法一)因为a=(1,2),b=(3,-1), 所以a-2b=(-5,4),于是|a-2b|=. (方法二)因为a=(1,2),b=(3,-1), 所以|a|=,|b|=,a·b=1. 于是|a-2b|=. (2)因为a=(1,2),所以|a|=. 因此与a垂直的单位向量的坐标是±(2,-1), 即. (3)因为b=(3,-1),所以|b|=,因此与b平行的单位向量的坐标是±b, 即. |a|=. (1)与向量(x0,y0)平行的单位向量是±·(x0,y0); (2)与向量(x0,y0)垂直的单位向量是±·(-y0,x0). 解析 由于a=(1,),b=(cos θ,sin θ),所以a+2b=(1+2cos θ,+2sin θ), 所以|a+2b|=. 当sinθ+=1时,|a+2b|max=4; 当sinθ+=-1时,|a+2b|min=0. 故|a+2b|的取值范围是[0,4]. 则cos θ==-. 因为θ∈[0,π],所以θ=,即m,n的夹角为. 解 由已知得c=(4,-3), 所以c+td=(4,-3)+t(2,1)=(2t+4,t-3), 于是(c+td)·d=4t+8+t-3=5t+5,|d|=, |c+td|=, 因此可得,解得t=-3或t=1,但当t=-3时,<0不合题意,舍去,故t=1. 先利用平面向量的坐标表示求出两个向量的数量积a·b以及|a||b|,再 由cos θ=直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时,应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π. (3)cos θ=(θ为非零向量a,b的夹角). 1.[探究点一(角度2)]在平行四边形ABCD中,=(1,0),=(2,2),则等于(　　) 解析 如图,由向量的加减,可得=(1,2),-2=(0,2). 故=(1,2)·(0,2)=0+4=4. 3.[探究点一(角度2)]在矩形ABCD中,AB=2,AD=2,点E为线段BC的中点,点F为线段CD上的动点,则的取值范围是(　　) 解析 如图,A(0,0),E(2,1),设F(x,2)(0≤x≤2),所以=(2,1),=(x,2), 因此=2x+2, 设f(x)=2x+2(0≤x≤2),f(x)为增函数, 则f(0)=2,f(2)=14,故2≤f(x)≤14,的取值范围是[2,14]. 解析 根据题意,设a-b与c的夹角为θ,b=(x,-3),c=(1,-),b⊥c, 则b·c=x+3=0,解得x=-3, 则b=(-3,-3),a-b=(4,4), 则(a-b)·c=(4,4)·(1,-)=4-4=0, 所以(a-b)⊥c. 因为θ∈[0°,180°],所以θ=90°.故选D. 解析 因为a⊥b,所以a·b=0,则x+1+(-x)×2=0, 解得x=1,则|a|=. 解析 设b=(x,y),则2b-a=(2x-3,2y-3)=(-1,-1),∴解得 ∴|b|=,cos θ==1. (1)证明 ∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4), ∴=(1,1),=(-3,3). 又=1×(-3)+1×3=0, ∴,∴AB⊥AD. (2)解 ∵,四边形ABCD为矩形,∴. 设点C的坐标为(x,y),则=(x+1,y-4). 又=(1,1),∴解得 ∴点C的坐标为(0,5).∴=(-2,4),=(-4,2), ∴||=2,||=2=8+8=16.设的夹角为θ,则cos θ= .故矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为. 10.(多选题)在△ABC中,=(2,3),=(1,k),若△ABC是直角三角形,则k的值可能为(　　) A.- B. C. D. 12.已知菱形ABCD的对角线相交于点O,点E为AO的中点,若AB=2, ∠BAD=60°,则=(　　) A.-2 B.- C.- D. |+3| 则+3=(2,-x)+3(1,a-x)=(5,3a-4x), 所以|+3|=≥5,当且仅当 x=a时,等号成立. 故|+3|的最小值为5. A.分别以图中的格点为起点和终点的向量中,与是相反向量的共有11个 B.满足||=的格点B共有3个 C.满足=1的格点B共有4个 D.存在格点B,C,使得 　 解析 设q=(x,y),则p⊗q=(x-2y,y+2x)=(-4,-3). ∴∴q=(-2,1). (1)若|c|=2,且c与a方向相反,求c的坐标; (2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ. 解 (1)设c=(x,y),由c∥a及|c|=2, 可得所以 因为c与a方向相反,所以c=(-2,-4). 所以2×5+3a·b-2×=0, 所以a·b=-,所以cos θ==-1. 又因为θ∈[0,π],所以θ=π. 解 (1)当α=时,b=,a·b=, ∴|m|=, ∴当t=-时,|m|取得最小值. (2)存在.假设存在满足条件的实数t. 由条件得cos, ∵a⊥b,∴|a-b|=,|a+tb|=, (a-b)·(a+tb)=5-t,∴. ∴t2+5t-5=0,且t<5,得t=. ∴存在t=满足条件. 解 (1)设a=(x,y),因为|a|=,则, ① 又因为b=(1,-3),且(2a+b)⊥b, 2a+b=2(x,y)+(1,-3)=(2x+1,2y-3), 所以(2x+1,2y-3)·(1,-3)=2x+1+(2y-3)×(-3)=0,即x-3y+5=0, ② 由①②解得 所以a=(1,2)或a=(-2,1). (2)设向量a与b的夹角为θ, 所以cos θ==- 或cos θ==-, 因为0≤θ≤π,所以向量a与b的夹角θ=. 20.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=(,-),n=(sin x,cos x),x∈. (1)若m⊥n,求tan x的值; (2)若m与n的夹角为,求x的值. 解 (1)∵m=,n=(sin x,cos x),m⊥n, ∴m·n=sin x-cos x=0,即sin x=cos x, ∴tan x==1. (2)由题意知,|m|==1,|n|==1, m·n=sin x-cos x=sin. 而m·n=|m|·|n|cos=cos. ∴sin.又x∈,x-, ∴x-,∴x=. $$