6.2.4 向量的数量积课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章　平面向量及其应用 6.2.4　向量的数量积 人教A版 数学 必修第二册 课程标准 1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　向量数量积的定义 1.向量a与向量b的夹角 (1)夹角的定义:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作 =b,则　　　　　=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. 确定a,b的夹角时,起点要重合,记作<a,b>  (2)显然,当θ=0时,a与b　　　　;当θ=π时,a与b　　　　.  (3)如果a与b的夹角是　　　　,我们说a与b垂直,记作　　　　　　.  ∠AOB 同向 反向 a⊥b 2.向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量____________　　　　　　叫做向量a与b的数量积(或内积),记作　　　　,即a·b=|a||b|cos θ.   (2)零向量与任一向量的数量积为　　　.  (3)向量数量积的大小与两个向量的长度及其夹角有关. 在书写时不能用a×b或ab表示 |a||b|cos θ a·b 0 过关自诊 1.向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别? 提示 向量的线性运算结果是向量,而向量的数量积运算结果是数量. 2.若|a|=3,|b|=4,a,b的夹角为135°,则a·b=(　　) B 3.已知向量|a|=10,|b|=12,且a·b=-60,则向量a与b的夹角为(　　) B 知识点2　向量a在向量b上的投影向量 投影 投影向量 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)向量a在向量b上的投影向量与向量b平行.(　　) (2)向量a与向量b的数量积等于向量a与向量b在向量a上的投影向量的数量积.(　　) √ √ 2.若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角是120°,与b方向相同的单位向量为e,则向量a在向量b上的投影向量为　　　　　.  解析 向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ e=3×cos 120°e=- e. 3.若a·b=-6,|a|=8,与a方向相同的单位向量为e,则向量b在向量a上的投影向量为　　　　　.  解析 向量b在向量a上的投影向量为 知识点3　平面向量数量积的性质 设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则 (1)a·e=e·a=　　　　　　　.  (2)a⊥b⇔　　　　　　　.  (3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=_______　　　　或|a|=　　　　　　　.  常记作a2 (4)|a·b|　　　|a||b|. |a|cos θ a·b=0 |a|2　 ≤ 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若a·b=0,则a与b中至少有一个是零向量.(　　) (2)若a·b>0,则a与b的夹角为锐角.(　　) (3)对于任意向量a,都有a·a=|a|2.(　　) 2.已知|a|=7,则a·a=　　　　　.  3.在△ABC中, =0,则△ABC为　 三角形.  × × √ 49 解析 a·a=|a|2=72=49. 直角 知识点4　平面向量数量积的运算律 交换律 　　　　　　　  数乘的结合律 　　　　 　　　  分配律 　　　　　　　  名师点睛 1.向量数量积的运算不适合约分,即a·b=a·c b=c. 2.向量数量积运算也不适合结合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量. a·b=b·a 　(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)　 (a+b)·c=a·c+b·c 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)a·b-a·c=a·(b-c)=(b-c)·a.(　　) (2)若a·c=b·c(c为非零向量),则a=b.(　　) (3)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2.(　　) 2.设a,b,c是向量,(a·b)c=a(b·c)一定成立吗? √ × √ 提示 因为向量的数量积是实数,所以(a·b)c是与c共线的向量,同理,a(b·c)是与a共线的向量,而a与c的关系不确定,所以这个式子不一定成立. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　求平面向量的数量积 角度1　数量积的简单计算 【例1】 已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求: (1)a·b;(2)a2-b2; (3)(2a-b)·(a+3b). (2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5. (3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5|a||b|cos 120°-3|b|2=8-15-27=-34. 规律方法　求向量的数量积时,需明确两个关键点:相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简. 变式训练1若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,且(a+2b)·(a-3b)=-72,则a的模为(　　) A.2 B.4 C.6 D.12 C 解析 由(a+2b)·(a-3b)=-72,得a2-a·b-6b2=-72, 即|a|2-4|a|cos 60°-96=-72,即|a|2-2|a|-24=0, 解得|a|=6(负值舍去).故选C. 角度2　求向量的投影向量 【例2】 已知|a|=4,e为单位向量,它们的夹角θ为 ,则向量a在向量e上的投影向量是　　　　　;向量e在向量a上的投影向量是　　　　　.  -2e 规律方法　向量a在向量b上的投影向量的求法 将已知量代入a在b方向上的投影向量公式|a|cos θ e(θ为向量a与向量b的夹角,e是与b方向相同的单位向量,且e= )中计算即可. 变式训练2已知|a|=4,|b|=6,a与b的夹角为60°,则向量a在向量b上的投影向量是　　　　　.  角度3　几何图形中向量数量积的计算 规律方法　平面向量的数量积在平面几何中的应用 (1)解决几何图形中的向量的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量. (2)向量的夹角是由向量的方向确定的,在△ABC中, 的夹角不是角C,角A,角B,而是它们的补角. 变式训练3已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则 1 探究点二　向量模的相关问题 角度1　利用数量积求向量的模 【例4】 (1)已知向量a,b满足|a|=|b|=5,且a与b的夹角为60°,则|2a+b|=　　　　　.  解析 ∵|2a+b|2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=4|a|2+4|a||b|cos 60°+|b|2 (2)已知向量a,b满足|a|= ,a与b的夹角为135°,|a+b|= ,则|b|=　　　　　.  3 解析 ∵|a+b|= ,∴a2+2a·b+b2=5. ∴|a|2+2|a||b|cos 135°+|b|2=5. ∴|b|2-2|b|-3=0. ∴|b|=3或|b|=-1(舍去). 规律方法　向量模的求解方法 根据数量积的定义a·a=|a||a|cos 0°=|a|2,得|a|= ,这是求向量的模的一种方法.即要求一个向量的模,先求这个向量模的平方,再求它的算术平方根.对于复杂的向量也是如此.例如,求|a+b|,可先求(a+b)2=(a+b)·(a+b),再取其算术平方根即为|a+b|. 变式训练4已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是(　　) A 角度2　与模有关的最值问题 【例5】 (1)若平面向量a,b,c满足:|a|=|c|=1,|b|=2,且c·(a-b)=0,则|b-c|的取值范围是(　　) B (2)若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,则|a+b-c|的最小值为(　　) A 规律方法　向量模的最值问题的求法 涉及向量模的最值问题,一般是把模平方,利用平面向量的数量积运算,把问题转化为关于某个量的函数,进而求出最值.需要掌握向量模的一些简单几何意义:①|a|为正值,则说明当表示向量的有向线段的起点确定后,其终点在以起点为圆心,以|a|为半径的圆上运动;②若|a+b|=|a-b|,则有a⊥b;③若(a+b)·(a-b)=0,则|a|=|b|. 变式训练5若两个单位向量a,b的夹角为120°,k∈R,则|a-kb|的最小值为(　) B 探究点三　利用数量积解决向量的夹角与垂直问题 【例6】 (1)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(2a+b)⊥b,则a与b的夹角为(　　) A.30° 　B.60° C.120° D.150° C 解析 因为(2a+b)⊥b,所以(2a+b)·b=0, 所以2a·b+|b|2=0. 设a,b的夹角为θ, 则2|a||b|cos θ+|b|2=0. 又|a|=|b|,所以2|b|2cos θ+|b|2=0, 因此cos θ=- ,从而θ=120°.故选C. (2)[苏教版教材例题]已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量, a=e1+2e2,b=5e1-4e2.求证:a⊥b. 变式探究本例(1)中,若非零向量a,b的夹角为60°,且|a|=|b|,当(a+2b)⊥ (ka-b)时,求实数k的值. 解 因为(a+2b)⊥(ka-b), 所以(a+2b)·(ka-b)=0, 即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0, 规律方法　1.求平面向量夹角的方法 2.求向量的夹角,还可以结合向量线性运算、模的几何意义,利用数形结合的方法求解. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)向量数量积的定义. (2)向量数量积的性质. (3)向量数量积的运算律. 2.方法归纳:数形结合. 3.常见误区:(1)向量夹角共起点;(2)向量数量积不满足结合律. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一(角度1)]若p与q是相反向量,且|p|=3,则p·q等于(　　) A.9 B.0 C.-3 D.-9 D 解析 由已知得p·q=3×3×cos 180°=-9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.[探究点三]若平面向量a与b的夹角为120°,|a|=2,(a-2b)·(a+3b)=3,则|b|=(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A.3 B.-3 C.6 D.-6 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.(多选题)[探究点二]已知a,b,c是三个非零向量,则下列选项正确的 有( ) A.|a·b|=|a||b|⇔a∥b B.a,b反向⇔a·b=-|a||b| C.a⊥b⇔|a+b|=|a-b| D.|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c| ABC 解析 A.∵a·b=|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角), ∴由|a·b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cos θ|=1, ∴θ=0或π,∴a∥b且以上各步均可逆.故A正确. B.若a,b反向,则a,b的夹角为π,∴a·b=|a|·|b|cos π=-|a||b|且以上各步均可逆.故B正确. C.当a⊥b时,在平面内任取一点O,作 =b,则以OA,OB为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,在平面内任取一点O,作 =b,则以OA,OB为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b. 故C正确. D.当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.[探究点三(角度2)·2023黑龙江哈尔滨期中]已知e1,e2是单位向量,且e1·e2=0,设向量a=λe1+μe2,当λ=μ=1时,<a,e1>=　　　　　;当λ+μ=4时, |a-e1|的最小值为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.[探究点一(角度1)]如图所示,在Rt△ABC中,A=90°,AB=1,则 的值是　　　　　.  -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.[探究点三]已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.求证:(a-b)⊥c. 证明 (a-b)·c=a·c-b·c =|a||c|cos 120°-|b||c|cos 120° 故(a-b)⊥c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9.[探究点一(角度2)·2023山东威海检测]已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b) =61. (1)求|a+b|; (2)求向量a在向量a+b方向上的投影向量的模. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解 (1)(2a-3b)·(2a+b)=4a2-3b2-4a·b=4×16-3×9-4a·b=61,解得a·b=-6. ∴|a+b|2=a2+b2+2a·b=16+9-12=13, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 B 级 关键能力提升练 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=1,则|a-b|的最大值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.5 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列四个选项,其中正确的有(　　) A.a·c-b·c=(a-b)·c B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直 C.|a|-|b|<|a-b| D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 ACD　 解析 根据向量数量积的分配律知,A正确; 因为[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0, 所以(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直,B错误; 因为a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形三边,所以|a|-|b|<|a-b|成立, C正确; 根据向量数量积的分配律以及性质知,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.(多选题)已知正三角形ABC的边长为2,设 ,则下列结论正确的是(　　) A.|a+b|=1 B.a⊥b C.(4a+b)⊥b D.a·b=-1 CD　 解析 由题意知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角是120°,故B错误; (a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=3,∴|a+b|= ,故A错误; (4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×cos 120°+4=0,∴(4a+b)⊥b,故C正确; a·b=1×2×cos 120°=-1,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.已知a,b是单位向量,c=a+2b且a⊥c,则a·b=　　　　,|c|=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15.已知向量e1,e2分别是与向量a,b方向相同的单位向量,若a·b=-9,a在b上的投影向量为-3e2,b在a上的投影向量为- e1,则a与b的夹角θ=　　　　.  120° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解 ∵a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d), ∴(a+b)2=(c+d)2,即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2. 又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2, 即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.① 同理可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2.② ①-②,得|b|2=|d|2, ①变形为|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,再加②式得|a|2=|c|2,即|b|=|d|,|a|=|c|. 同理可得|a|=|b|,|c|=|d|,故四边形ABCD是菱形. 又a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,即b·(2a)=0.∴a·b=0,∴ .故四边形ABCD为正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.已知|a|=2,|b|=1,(a-3b)·(a+b)=3. (1)求|a+b|的值; (2)求a与a-2b的夹角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解 (1)∵|a|=2,|b|=1,(a-3b)·(a+b)=3, ∴22-3×12-2a·b=3,解得a·b=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C 级 学科素养创新练 18.如图所示为正六边形P1P2P3P4P5P6,则下列向量的数量积中最大的是(　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.设两个向量a,b,满足|a|=2,|b|=1. (1)若(a-2b)·(a+b)=2+ ,求a,b的夹角; (2)若a,b的夹角为60°,向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角,求实数t的取值 范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)由题意得(2ta+7b)·(a+tb)=2ta2+(2t2+7)a·b+7tb2<0,且2ta+7b与a+tb不共线,a·b=1, =a, A.-3 C.6 D.2 解析 a·b=|a||b|cos 135°=3×4×-=-6. A. 解析 设a与b的夹角为θ,则cos θ==-,又0≤θ≤π,∴θ=. 1.如图(1),设a,b是两个非零向量,叫做向量a在向量b上的　　　　　.  2.如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,对于任意的θ∈[0,π],都有=|a|cos θ e. -e -e ·e=-e. (5)cos θ=. 解 (1)a·b=|a||b|cos 120°=2×3×=-3. -a 解析 向量a在向量e上的投影向量是|a|cos θ e=4cose=-2e. 因为与向量a方向相同的单位向量为a, 所以向量e在向量a上的投影向量是|e|cos θ=cosa)=-a. b 解析 向量a在向量b上的投影向量是|a|cos 60°=4×b. 【例3】 在▱ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°,求:①;②. 解 ①因为,且方向相同,所以的夹角是0°, 所以=||||·cos 0°=3×3×1=9. ②因为的夹角为60°,所以的夹角为120°, 所以=||||·cos 120°=4×3×-=-6. 的值为　　　　　.  解析 如图所示,根据平面向量的数量积的定义可得 =||·||cos θ. 由图可知,||·cos θ=||,因此=||2=1. 5 =4×25+4×5×5×+25=175,∴|2a+b|=5. A.[-1,+1] B.[-1,+2] C.[1,+1] D.[1,+2] 解析 ∵a,b是单位向量,∴|a|=|b|=1.∴|c-a-b|2=c2-2c·(a+b)+2a·b+a2+b2=1.又|a|=|b|=1,且a·b=0,∴2c·(a+b)=c2+1,又|a+b|=,∴c2+1=2|c|cos θ(θ是c与a+b的夹角).又-1≤cos θ≤1,∴1≤c2+1≤2|c|,∴c2-2|c|+1≤0.根据二次函数y=x2-2x+1的图象(图象略),可得-1≤|c|≤+1. A.[] B.[] C.[] D.[1,3] 解析 设向量a,c的夹角为θ,因为c·(a-b)=0,所以b·c=a·c=|a||c|cos θ=cos θ,所以-1≤b·c≤1,|b-c|=,因为,所以|b-c|的取值范围是[]. A.-1 B.1 C.+1 D. 解析 ∵a·b=0,a,b,c是单位向量, ∴|a+b|2=a2+b2+2a·b=2,则|a+b|=, ∴|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a·b-2(a+b)·c=3-2(a+b)·c,则当c与a+b同向时,(a+b)·c最大,|a+b-c|2最小,此时(a+b)·c=,所以|a+b-c|2≥3-2,故|a+b-c|≥-1,即|a+b-c|的最小值为-1. A. B. C.1 D. 解析 ∵单位向量a,b的夹角为120°, ∴a·b=|a||b|cos 120°=-,则|a-kb|2=a2-2ka·b+k2b2=1+k+k2=,可得当k=-时,|a-kb|的最小值为. 证明 依题意,得=1,e1·e2=1×1×cos 60°=. 因为a·b=(e1+2e2)·(5e1-4e2)=5-8+6e1·e2=5-8+6×=0,所以a⊥b. 所以k|a|2+|a|2-2|a|2=0, 化简得k+-2=0,解得k=. A. B. C.2 D.3 解析 化简(a-2b)·(a+3b)=a2+a·b-6b2=4-|b|-6|b|2=3,|b|=或|b|=-(舍去). 3.[探究点一(角度1)]已知正方形ABCD的边长为3,=2,则 =(　　) 4.[探究点三]已知平面向量a,b满足|a|=,|b|=1,a⊥(a+2b),则向量a,b的夹角为(　　) A. B. C. D. 解析 ∵a⊥(a+2b), ∴a·(a+2b)=0,即a2+2a·b=0,∴a·b=-1, ∴cos<a,b>==-. ∵<a,b>∈[0,π],∴<a,b>=.故选D. =a, =a, =1×1×-1×1×=0, ∴|a+b|=. (2)设a与a+b的夹角为θ,∵a·(a+b)=a2+a·b=10, ∴cos θ=,则a在a+b方向上的投影向量的模为 ||a|cos θ|=4×. 10.若O为△ABC所在平面内任一点,且满足()·(-2)=0,则△ABC的形状为(　　) 解析 因为()·(-2)=0,即·()=0,又因为,所以()·()=0,即||=||,所以△ABC是等腰三角形. 解析 ∵|a|=2,|b|=1,∴|a-b|=, 又a·b∈[-2,2],∴|a-b|∈[1,3], ∴|a-b|的最大值为3. =2a,=b - 　 解析 因为c=a+2b且a⊥c,则a·c=a·(a+2b)=a2+2a·b=1+2a·b=0,可得a·b=-,|c|2= (a+2b)2=a2+4a·b+4b2=1+4×-+4=3,故|c|=. 解析 由题意,得解得 ∴cos θ==-. ∵0°≤θ≤180°,∴θ=120°. 16.如图,在四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,且a·c=b·d,则四边形ABCD是什么形状? ∵,∴a=-c. 故|a+b|=. (2)设a与a-2b的夹角为θ,则 cos θ=, 又θ∈[0,π],∴θ=. A. B. C. D. 解析 由于,故其数量积是0;的夹角是,故其数量积小于0;设正六边形的边长是a,则=||||cos 30°=a2,=||||cos 60°=a2.故选A. 解 (1)设向量a与b的夹角是θ. ∵(a-2b)(a+b)=a2-a·b-2b2=4-a·b-2=2+, ∴a·b=-,则cos θ==-. ∵θ∈[0,π],∴θ=. ∴2t2+15t+7<0,且t2≠.∴-7<t<-,且t≠±,∴t∈-7,-∪-,-. $$