11.2.1 第2课时 直角三角形的两个锐角互余 主书（习题课件）-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学（人教版，河北专版）

2024 人教版 八年级上册 数学 2 第十一章　三角形 11.2 与三角形有关的角 11.2.1　三角形的内角　 第2课时　直角三角形的两个锐角互余 直角三角形的两个锐角互余 1. (2023·唐山路北区期中)在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ B ＝40°，则∠ A ＝(　C　) A. 60° B. 30° C. 50° D. 40° 【解析】∵∠ C ＝90°，∴∠ A ＋∠ B ＝90°. ∵∠ B ＝40°，∴∠ A ＝50°. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.2.1　三角形的内角　 第2课时　直角三角形的两个锐角互余 素养达标 能力突破 基础通关 2. (2023·保定顺平县月考)如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，沿 CD 折叠△ CBD ，使点 B 恰好落在 AC 边上的点 E 处，∠ A ＝22°，则∠ DEC 等于(　C　) A. 44° B. 60° C. 68° D. 58° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.2.1　三角形的内角　 第2课时　直角三角形的两个锐角互余 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ A ＝22°， ∴∠ B ＝90°－∠ A ＝68°. 由折叠的性质，得∠ DEC ＝∠ B ＝68°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.2.1　三角形的内角　 第2课时　直角三角形的两个锐角互余 素养达标 能力突破 基础通关 3. 将一副透明三角尺如图放置，若∠ AOD ＝20°，则∠ BOC 的度数为 (　B　) A. 140° B. 160° C. 170° D. 150° B 【解析】∵∠ COD ＝90°，∠ AOD ＝20°， ∴∠ COA ＝∠ COD －∠ AOD ＝90°－20°＝70°. 又∵∠ AOB ＝90°， ∴∠ BOC ＝∠ AOB ＋∠ AOC ＝90°＋70°＝160°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.2.1　三角形的内角　 第2课时　直角三角形的两个锐角互余 素养达标 能力突破 基础通关 4. 【教材第14页练习第1题改编】如图，∠ ACB ＝90°， CD ⊥ AB ，垂足为 D . 下列结论中，不一定成立的是(　D　) A. ∠ A 与∠1互余 B. ∠ B 与∠2互余 C. ∠ A ＝∠2 D. ∠1＝∠2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.2.1　三角形的内角　 第2课时　直角三角形的两个锐角互余 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】A. 在Rt△ ACD 中，∠ ADC ＝90°，∴∠ A 与∠1互余，正确； B. 在Rt△ BCD 中，∠ BDC ＝90°，∴∠ B 与∠2互余，正确； C. ∵∠ A ＋∠1＝90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠ A ＝∠2，正确； D. 当∠ A ＝∠ B 时， AC ＝ BC ， CD 既是∠ ACB 的平分线，也是斜边上的高与中线，∴∠1＝∠2；当∠ A ≠∠ B 时，∠1≠∠2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.2.1　三角形的内角　 第2课时　直角三角形的两个锐角互余 素养达标 能力突破 基础通关 5. (2023·唐山丰南区期中)如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， DE 过点 C 且平行于 AB ，若∠ BCE ＝35°，求∠ A 的度数. 解：∵ DE ∥ AB ， ∴∠ B ＝∠ BCE ＝35°. ∴∠ A ＝90°－35°＝55°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.2.1　三角形的内角　 第2课时　直角三角形的两个锐角互余 素养达标 能力突破 基础通关 两锐角互余的三角形是直角三角形 6. 若三角形三个内角的度数之比为2∶4∶6，则这个三角形一定是 (　B　) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.2.1　三角形的内角　 第2课时　直角三角形的两个锐角互余 素养达标 能力突破 基础通关 7. 有下列说法： ①三角形的三个内角中至少有一个钝角； ②三角形的三个内角中至少有两个锐角； ③一个三角形中，至少有一个角不小于60°； ④钝角三角形中，任意两个内角的和必大于90°； ⑤直角三角形中两锐角互余. 其中正确的说法有 (填序号). ②③⑤　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.2.1　三角形的内角　 第2课时　直角三角形的两个锐角互余 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】锐角三角形中三个角都是锐角，∴①错误；三角形的三个内角 中至少有两个角是锐角，∴②正确；一个三角形的三个内角中至少有一 个角不小于60°，∴③正确；钝角三角形中两个锐角的和小于90°，∴④ 错误；直角三角形中两锐角互余，∴⑤正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.2.1　三角形的内角　 第2课时　直角三角形的两个锐角互余 素养达标 能力突破 基础通关 8. 如图，∠ C ＝90°，∠1＝∠2，△ ADE 是直角三角形吗？为什么？ 解：△ ADE 是直角三角形. 理由：∵∠ C ＝90°，∴∠ A ＋∠2＝90°. ∵∠1＝∠2，∴∠ A ＋∠1＝90°. ∴∠ ADE ＝90°.∴△ ADE 是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.2.1　三角形的内角　 第2课时　直角三角形的两个锐角互余 素养达标 能力突破 基础通关 9. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ CAB ＝90°，∠ ABC ＝70°， AD 是∠ CAB 的平分线，交 BC 于点 D ，则∠ ADC 的度数为(　B　) A. 120° B. 115° C. 110° D. 105° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.2.1　三角形的内角　 第2课时　直角三角形的两个锐角互余 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】∵∠ CAB ＝90°， AD 是∠ CAB 的平分线， ∴∠ CAD ＝∠ BAD ＝ ∠ CAB ＝45°. ∵∠ ABC ＝70°，∴∠ C ＝20°. ∴∠ ADC ＝180°－∠ C －∠ CAD ＝180°－20°－45°＝115°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.2.1　三角形的内角　 第2课时　直角三角形的两个锐角互余 素养达标 能力突破 基础通关 10. 如图， AD 是△ ABC 的高， CE 是△ ADC 的角平分线.若∠ BAD ＝ ∠ ECD ，∠ B ＝70°，则∠ CAD ＝ ⁠°. 50　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.2.1　三角形的内角　 第2课时　直角三角形的两个锐角互余 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】∵ AD 是△ ABC 的高， ∴∠ ADB ＝∠ ADC ＝90°. ∵∠ B ＝70°，∴∠ BAD ＝20°. ∵ CE 是△ ADC 的角平分线， ∴∠ ACD ＝2∠ ECD . ∵∠ BAD ＝∠ ECD . ∴∠ ECD ＝20°，∴∠ ACD ＝40°. 在△ ACD 中，∠ CAD ＝180°－90°－40°＝50°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.2.1　三角形的内角　 第2课时　直角三角形的两个锐角互余 素养达标 能力突破 基础通关 11. 如图，在△ ABC 中，∠ A ＝30°，∠ B ＝60°， CE 平分∠ ACB 交 AB 于点 E . (1)求∠ ACE 的度数； (1)解：∵在△ ABC 中，∠ A ＝30°，∠ B ＝60°， ∴∠ ACB ＝180°－30°－60°＝90°. 又∵ CE 平分∠ ACB ， ∴∠ ACE ＝ ∠ ACB ＝45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.2.1　三角形的内角　 第2课时　直角三角形的两个锐角互余 素养达标 能力突破 基础通关 (2)若 CD ⊥ AB 于点 D ，∠ CDF ＝75°，求证：△ CFD 是直角三角形. (2)证明：∵ CD ⊥ AB ，∠ B ＝60°， ∴∠ BCD ＝90°－60°＝30°. 又∵∠ BCE ＝∠ ACE ＝45°， ∴∠ DCF ＝∠ BCE －∠ BCD ＝15°. 又∵∠ CDF ＝75°， ∴∠ CFD ＝180°－75°－15°＝90°. ∴△ CFD 是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.2.1　三角形的内角　 第2课时　直角三角形的两个锐角互余 素养达标 能力突破 基础通关 12. 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， D ， E 分别是 AC ， BC 边上的点， P 是线段 AB 上一动点.令∠ PDA ＝∠1，∠ PEB ＝∠2，∠ DPE ＝∠α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.2.1　三角形的内角　 第2课时　直角三角形的两个锐角互余 素养达标 能力突破 基础通关 解：(1)∵∠ C ＝90°，∴∠ A ＋∠ B ＝90°. ∵∠α＝60°， ∴∠ APD ＋∠ BPE ＝180°－60°＝120°. ∵∠1＝180°－∠ APD －∠ A ，∠2＝180°－∠ B －∠ BPE ， (1)如图1所示，∠α＝60°，求∠1＋∠2的度数； ∴∠1＋∠2＝180°－∠ APD －∠ A ＋180°－∠ B －∠ BPE ＝360°－ (∠ APD ＋∠ BPE ＋∠ A ＋∠ B )＝360°－(120°＋90°)＝150°. ∴∠1＋∠2＝150°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.2.1　三角形的内角　 第2课时　直角三角形的两个锐角互余 素养达标 能力突破 基础通关 (2)如图2所示，求∠α，∠1，∠2之间的数量关系. 解：(2)∵∠ C ＝90°， ∴∠ A ＋∠ B ＝90°. ∵∠α＋∠ APD ＋∠ BPE ＝180°， ∴∠ APD ＋∠ BPE ＝180°－∠α. ∵∠1＝180°－∠ APD －∠ A ， ∠2＝180°－∠ B －∠ BPE ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.2.1　三角形的内角　 第2课时　直角三角形的两个锐角互余 素养达标 能力突破 基础通关 ∴∠1＋∠2＝180°－∠ APD －∠ A ＋180°－∠ B －∠ BPE ＝360°－ (180°－∠α＋90°)＝90°＋∠α. ∴∠1＋∠2＝90°＋∠α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.2.1　三角形的内角　 第2课时　直角三角形的两个锐角互余 素养达标 能力突破 基础通关 $$