11.3 多边形及其内角和（Word教案）-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学（人教版，河北专版）

11.3.1　多边形 课时目标 1.了解多边形及其有关概念,理解正多边形及其有关概念,区别凸多边形与凹多边形. 2.学生经历观察、探究等教学过程,探索多边形的边数与对角线的数量之间的关系,发展学生的思维能力,培养学生的创新能力. 3.学生通过自主探究、合作交流,激发学生的学习兴趣,提高学习效率. 学习重点 了解多边形及其有关概念,理解正多边形及其有关概念. 学习难点 多边形的边数与对角线的数量之间的关系. 课时活动设计 回顾导入 什么是三角形,什么是三角形的边、内角? 老师提出问题,学生举手回答. 设计意图:回顾三角形的有关概念,引起学生注意,为本节课所学内容作铺垫. 探究新知 探究1　多边形及有关概念 在实际生活当中,除三角形外,还有许多由线段围成的图形.观察下列图片,它们由哪些基本图形组成? 这些图形中有三角形、四边形、五边形、六边形、八边形,它们有什么特点? 学生自主探究,小组合作交流. 总结:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 多边形按组成它的线段条数分成三角形、四边形、五边形……n边形.也就是说,如果一个多边形由n条线段组成,那么这个多边形就叫做n边形,三角形是最简单的多边形.　　 1.多边形的边、顶点、内角和外角. 与三角形类似,多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角,如图1中的∠A,∠B,∠C,∠D,∠E,多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.如图2中的∠1是五边形ABCDE的一个外角. 2.多边形的对角线. 连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线. 教师给出概念,然后提出问题,学生通过画图回答问题. 问题:从五边形的一个顶点出发可以得到几条对角线?一共能画出几条对角线?它们将五边形分成几个三角形?过六边形的一个顶点能画出几条对角线,一共能画出几条对角线?它们将六边形分成几个三角形?n边形呢? 师生共同归纳:通过画出从一个顶点出发的五边形、六边形的对角线,教师引导学生类比得出,从n边形的一个顶点出发可以得到(n-3)条对角线,一共能画出n(n-3)条对角线,所分三角形个数为(n-2)个. 探究2　凸多边形和凹多边形 如图,下面两个多边形有什么不同? 解:在图1中,画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线,整个四边形都在这条直线的同一侧,这样的四边形叫做凸四边形;而图2就不满足上述凸多边形的特征,因为我们画边CD所在直线,整个四边形不都在这条直线的同一侧,这样的多边形称为凹多边形. 注意:今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形. 探究3　正多边形的概念 正方形的边、角有什么特点?类比正方形边、角的特点,你能给正多边形下定义吗?请你举一些正多边形的例子. 解:正方形的各个角都相等,各条边都相等.像正方形这样,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.如图是正多边形的一些例子. 设计意图:通过实例让学生理解多边形及其相关概念,使学生体会到生活中处处有数学,从学生已有的知识出发,激发学生强烈的好奇心和求知欲,通过实际操作,感受图形特征,经历将实际问题转化为数学问题的建模过程. 典例精讲 例　请画出下列多边形的对角线.并说说哪个图形是正多边形? 解:对角线如图所示. 图形①是正多边形. 设计意图:通过例题,使学生熟练掌握并学会应用所学知识. 巩固练习 1.下列多边形中,不是凸多边形的是(　B　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.九边形的对角线有(　C　) A.25条 B.31条 C.27条 D.30条 3.把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角,剩下的部分是一个四边形,则这张纸片原来的形状不可能是(　A　) A.六边形 B.五边形 C.四边形 D.三角形 4.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以画10条对角线,则这是　十三　边形.  5.过八边形的一个顶点画对角线,把这个八边形分割成　六　个三角形.  设计意图:通过练习,进一步巩固所学知识,当堂检测,及时反馈,查漏补缺. 课堂小结 本节课我们学习了哪些内容? 1.多边形及有关概念. 2.区分凸多边形和凹多边形. 3.正多边形的概念. 4.n边形有n(n-3)条对角线. 设计意图:及时总结反思,巩固本节课所学知识,培养学生归纳总结的能力. 课堂8分钟. 1.教材第21页练习第1,2题. 2.七彩作业. 教学反思   11.3.2　多边形的内角和 课时目标 1.能通过不同方法探索并证明多边形的内角和及外角和公式. 2.通过把多边形转化为三角形,体会转化思想和从具体到抽象的研究问题的方法,锻炼学生的探究能力,增强学生的合作意识. 3.学会运用多边形的内角和及外角和公式解决简单问题,并在此过程中培养学生思维的多样性,促进了学生对教学内容的整体理解和把握,提高学生的核心素养. 学习重点 探索多边形的内角和及外角和公式. 学习难点 会运用多边形的内角和及外角和公式解决问题. 课时活动设计 复习导入 三角形内角和等于多少度?外角和等于多少度?正方形、长方形的内角和等于多少度? 学生思考并回答问题. 设计意图:从学生熟悉的、已知的特例出发,为后续内容作铺垫. 探究新知 探究1　四边形的内角和 问题:你知道任意一个四边形的内角和等于多少度吗? 1.教师引导学生可从正方形、长方形这两个特殊四边形的内角和入手,猜想四边形的内角和等于360°. 2.学生自我探究,小组交流展示方法,进一步论证自己的猜想. (1)学生任意画一个凸四边形,借助量角器测量四边形的各个内角,并求四边形的内角和. (2)解法一:如图1,从四边形ABCD的一个顶点出发,引出一条对角线BD,将四边形分割成2个三角形,180°×2=360°. 解法二:如图2,从四边形ABCD内部取一点O,分别连接OA,OB,OC,OD,将四边形分割成4个三角形,180°×4-360°=360°. 解法三:如图3,在四边形ABCD的一边BC上取一点P,分别连接PA,PD,将四边形分割成3个三角形,180°×3-180°=360°. 3.教师在学生的回答基础上小结:借助辅助线把四边形分割成几个三角形,利用三角形的内角和定理求得四边形的内角和. 探究2　多边形的内角和 问题1:你知道任意一个五边形的内角和等于多少度吗? 教师引导学生类比探究1中求四边形内角和的方法,根据图1,2,3求出五边形内角和. 问题2:你知道任意一个n边形的内角和等于多少度吗? 解:n边形的内角和等于180°×(n-2);180°×n-360°;180°×(n-1)-180°. 教师总结,多边形内角和公式:n边形的内角和等于(n-2)×180°. 设计意图:本环节将研究方法进行类比迁移,把n边形问题转化为熟悉的三角形问题,体会化归思想的作用,进一步加深对n边形内角和公式推理过程的理解.整个探究过程把复杂问题转化为简单问题、化未知为已知,再次让学生体会从具体到抽象、从特殊到一般的研究问题的方法. 典例精讲 例1　十边形的内角和是多少?已知一个多边形的内角和为1 080°,则它是几边形? 解:十边形的内角和等于(10-2)×180°=1 440°. 由题意,得(n-2)×180°=1 080°,解得n=8. 所以它是八边形. 例2　如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系? 解:如图,四边形ABCD中,∠A+∠C=180°. 因为∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°, 所以∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=360°-180°=180°. 你能用文字叙述上结论吗? 如果四边形的一组对角互补,那么另一组对角也互补. 设计意图:通过例1,让学生从正反两个方面运用公式,解决与多边形内角和有关的简单计算问题.通过例2,让学生理解文字语言,并会将文字语言转化为图形语言和符号语言,进一步巩固多边形的内角和公式,利用公式解决具体问题. 探究新知 多边形的外角和公式 如图,在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少? 分析:考虑以下问题:(1)任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系? (2)六边形的6个外角加上与它们相邻的内角,所得总和是多少? (3)上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系? 联系这些问题,考虑外角和的求法. 解:(1)六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°. (2)六边形的6个外角加上与它们相邻的内角,所得总和等于6×180°. (3)这个总和就是六边形的外角和加上内角和,所以外角和等于总和减去内角和,即外角和等于6×180°-(6-2)×180°=2×180°=360°. 师生共同研究:n边形(n是不小于3的任意整数)的外角和等于多少度? 教师引导学生类比推理并小结:n边形的外角和等于360°. 设计意图:通过合作探究多边形的外角和公式的过程,锻炼学生的探究能力,增强学生的合作意识. 典例精讲 例　如图,清晨,小明沿一个五边形广场周围按逆时针方向跑步. (1)小明每从一条街道转到下一条街道时,身体转过的角是哪个角? (2)他每跑完一圈,身体转过的角度之和是多少? (3)在图中,你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数吗?你是怎样得到的? (4)对此,你如何理解多边形的外角和等于360°? 解:(1)由图可知,小明身体转过的角是∠1,∠2,∠3,∠4,∠5. (2)∵各角是五边形的外角, ∴身体转过的角度之和是360°. (3)∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°,因为各角是五边形的外角. (4)如图,从多边形的一个顶点A出发,沿多边形的各边走过各顶点,再回到点A,然后转向出发时的方向.在行程中所转的各个角的和,就是多边形的外角和.由于走了一周,所转的各个角的和等于一个周角,所以多边形的外角和等于360°. 设计意图:通过例题,从学生已有的生活经验和知识出发,给学生提供现实的、有意义的、富有创造性的思维方式,激发学生的学习兴趣. 巩固练习 1.一个多边形从一个顶点可引对角线3条,这个多边形内角和等于(　C　) A.360°　　　　　　　　　　　　B.540° C.720°　　　　　　　　　　　　D.900° 2.一个多边形的每一个外角都是36°,则这个多边形的边数是　10　.  3.如图所示,小华从点A出发,沿直线前进10米后左转24°,再沿直线前进10米,又向左转24°,…,照这样走下去,他第一次回到出发地点A时,走的路程一共是　150　米.  4.一个多边形的内角和为1 800°,截去一个角后,求得到的多边形的内角和. 解:设这个多边形的边数为n,则有180°×(n-2)=1 800°,解得n=12. ∴原多边形边数为12. ∵一个多边形截去一个内角后,边数可能减1,可能不变,也可能加1, ∴新多边形的边数可能是11,12,13. ∴新多边形的内角和可能是1 620°,1 800°,1 980°. 设计意图:复习巩固本节课的知识,让学生学会总结反思,体会逆向思维、数形结合及分类讨论的数学思想和思维方式. 课堂小结 1.本节课学习的主要内容有哪些? (1)n边形的内角和等于多少度? (2)n边形的外角和等于多少度? 2.本节课学习新知的过程中运用了哪种重要的思想方法? 设计意图:通过课堂小结,激发学生参与的主动性,培养学生概括归纳的能力. 课堂8分钟. 1.教材第24页练习第1,2,3题. 2.七彩作业. 教学反思   学科网（北京）股份有限公司 $$