11.3.2 多边形的内角和（教学课件）-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学（人教版，河北专版）

八年级上册 数学 人教版 2024 第十一章 三角形 11.3 多边形及其内角和 11.3.2 多边形的内角和 1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式. 2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题. 学习目标 学习重点：能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式. 学习难点：学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题. 学习重难点 法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的想象力结合，创造了这个“abeilles bee pavilion”. 导入新课 思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？ 导入新课 你知道长方形和正方形的内角和是多少度？ 三角形内角和是多少度？ 三角形内角和是180°. 都是360°. 多边形的内角和 知识点 1 问题1： 问题2： 学生活动一 【一起探究】 探究新知 猜想任意四边形的内角和是多少度？ 问题3： 探究新知 猜想：四边形ABCD的内角和是360°. 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？ 解法一：如图，连接AC， 所以四边形被分为两个三角形， 所以四边形ABCD内角和为 180°×2=360°. A B C D 猜想与证明 问题4： 探究新知 解法二：如图，在BC边上任取一点E，连接AE，DE， 所以该四边形被分成三个三角形， 所以四边形ABCD的内角和为 180°×3–(∠AEB+∠AED+∠CED) =180°×3–180° =360°. A B C D E 探究新知 解法三：如图，在四边形ABCD内部取一点E， 连接AE，BE，CE，DE， 把四边形分成四个三角形： △ABE，△ADE，△CDE，△CBE. 所以四边形ABCD内角和为： 180°×4–(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB) =180°×4–360°=360°. A B C D E 探究新知 A B C D P 解法四：如图，在四边形外任取一点P，连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形. 所以四边形ABCD内角和为180°×3 –180°= 360°. 这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解. 探究新知 结论： 四边形的内角和为360°. 探究新知 例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由. A B C D 素养考点 1 运用四边形内角和定理进行证明或计算 探究新知 解： 如图，四边形ABCD中，∠A+ ∠C =180°. ∠A+∠B+∠C+∠D=(4–2) ×180 ° = 360 °， 因为 ∠B＋∠D= 360°–（∠A＋∠C） = 360°– 180° =180°. 所以 A B C D 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补. 探究新知 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数． 巩固练习 16 解：连接BE.∵∠DOB＝∠C＋∠D， ∠DOB＝∠CBE＋∠DEB， ∴∠C＋∠D＝∠CBE＋∠DEB， ∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F ＝∠A＋∠ABC＋∠CBE＋∠DEB＋∠DEF＋∠F ＝∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F. ∵在四边形ABEF中， ∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F＝(4–2)×180°＝360°， ∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＝360°. 巩固练习 17 A C D E B A B C D E F 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五 边形和六边形内角和吗? 内角和为180°×3 = 540°. 内角和为180°×4 = 720°. 问题5： 探究新知 n 边形 六边形 五边形 四边形 三角形 多边形内角和 分割出三角形的个数 从多边形的一顶点引出的对角线条数 图形 边数 ······ 0 n –3 1 2 3 1 2 3 4 n –2 （ n –2 ）·180º 1×180º=180º 2×180º=360º 3×180º=540º 4×180º=720º ······ ······ ······ ······ 由特殊到一般 探究新知 分割 多边形 三角形 分割点与多边形的位置关系 顶点 边上 内部 外部 转化思想 多边形的内角和公式 n边形内角和等于(n–2)×180 °. 归纳总结 探究新知 注意：①n边形的内角和随边数的增加而增加，每增加一条边其内角和增加180°.②多边形的内角和是180°的整倍数. 探究新知 例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？ 素养考点 2 利用多边形内角和公式求角度或边数 探究新知 解：设这个多边形边数为n，则 （n–2）•180=360+720， 解得n=8， ∵这个多边形的每个内角都相等， （8–2）×180°=1080°， ∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°． 探究新知 根据多边形的内角和完成下列题目. (1) 一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是(　　) A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 (2) 若一个多边形的边数为8条，则这个多边形的内角和是(　　) A．900° B．540° C．1080° D．360° (3) 若一个多边形增加一条边，那么它的内角和(　　) A．增加180° B．增加360° C．减少360° D．不变 C C A 巩固练习 例3 已知n边形的内角和θ=（n–2）×180°． （1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°． 甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由； 探究新知 解：∵ 360°÷180°=2， 630°÷180°=3......90°， ∴甲的说法对，乙的说法不对， 360°÷180°+2=4． 故甲同学说的边数n是4； 探究新知 （2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x． 解：依题意有 （n+x–2）×180°–（n–2）×180°=360°， 解得x=2． 故x的值是2． 探究新知 如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数． 分析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C，∠D，∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数，再根据角平分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和，进一步求得∠P的度数． 巩固练习 解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°， ∴∠EAB+∠ABC=540°–∠C–∠D–∠E=230°. ∵AP平分∠EAB， ∴∠PAB＝ ∠EAB， 同理可得∠ABP＝ ∠ABC， ∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°， ∴∠P=180°–∠PAB–∠PBA =180°− (∠EAB+∠ABC)=180°− ×230°=65°． 巩固练习 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 用形状、大小完全相同的任意四边形可拼成一块无空隙的地板，你知道这是为什么吗？ 探究新知 多边形的外角和 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和． E B C D 1 2 3 4 5 A 知识点 2 探究新知 任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？ 五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？ 互补 5×180°=900° 学生活动二 【一起探究】 探究新知 E B C D 1 2 3 4 5 A 五边形外角和 =360 ° =5个平角 –五边形内角和 =5×180° –(5–2) × 180° 结论：五边形的外角和等于360°. 这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？ 探究新知 33 在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和． 探究新知 n边形外角和 n边形的外角和等于360°. –(n–2) × 180° =360 ° =n个平角–n边形内角和 = n×180 ° An A2 A3 A4 1 2 3 4 n A1 【思考】n边形的外角和又是多少呢？ 与边数无关 探究新知 回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？ 每个内角的度数是 每个外角的度数是 探究新知 练一练： (1)若一个正多边形的内角是120 °，那么这是正____边形. (2)已知多边形的每个外角都是45°，则这个多边形是 ______边形. 六 正八 探究新知 例1 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数. 多边形的内角和公式和外角和公式的综合应用 素养考点 1 探究新知 解： 设多边形的边数为n. ∵它的内角和等于 (n–2)•180°， 多边形外角和等于360°， ∴ (n–2)•180°=2× 360º. 解得 n=6. ∴这个多边形的边数为6. 探究新知 例2 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数. 解法一：设这个多边形的内角为7x °，外角为2x°， 根据题意得 7x+2x=180， 解得x=20. 即每个内角是140 °，每个外角是40 °. 360° ÷40 °=9. 答：这个多边形是九边形. 还有其他解法吗？ 探究新知 解法二：设这个多边形的边数为n ，根据题意得 解得 n=9. 答：这个多边形是九边形. 探究新知 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求∠BED的度数． 解：由题意得 AB=AE，所以∠AEB= (180°–∠A)=36°， 所以∠BED=∠AED–∠AEB=108°–36°=72°. 巩固练习 1.判断． (1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.( ) (2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.( ) (3)三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( ) 2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于______． 120° 当堂训练 3.一个多边形的内角和不可能是（ ） A.1800° B.540 ° C.720 ° D.810 ° D 4.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，则这个多边形的 内角和等于（ ） A.360° B.540 ° C.720 ° D.900 ° C 当堂训练 5.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是_____米． 150 当堂训练 6.如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数. 解：如图， ∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 ＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7 ＝五边形的内角和＝540°. 8 9 当堂训练 7.一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数． 解：设该正多边形的内角是x°，外角是y°， 则得到一个方程组 解得 而任何多边形的外角和是360°， 则该正多边形的边数为360÷120=3， 故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是3． 当堂训练 多边形的 内角和 内角和计算公式 (n-2) × 180 °(n ≥3的整数） 外角和 多边形的外角和等于360° 特别注意：与边数无关. 正多边形 内角= ，外角= 课堂小结 1.课本第24页练习题：第1~3题. 2.七彩作业. 课后作业 $$