4.1.2 第2课时 指数函数的性质与图象的应用(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(　　) A．f(－2)＞f(－1)　　 B．f(－1)＞f(－2) C．f(1)＞f(2) D．f(－4)＞f(3) 解析　由f(2)＝a－2＝4得a＝，即f(x)＝＝2|x|，故f(－2)＞f(－1)，f(2)＞f(1)，f(－4)＝f(4)＞f(3)，所以A，D正确． 答案　AD 2．已知a＝0.3－0.2，b＝，c＝3－0.2，则(　　) A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a 解析　∵y＝3x在R上单调递增，且b＝＝3－0.3，∴0＜3－0.3＜3－0.2＜30，∴0＜b＜c＜1，又y＝0.3x在R上单调递减，∴a＝0.3－0.2＞0.30＝1，∴0＜b＜c＜1＜a. 答案　D 3.，，的大小关系是(　　) A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 解析　由y＝在R上单调递减， 知＜， 而＜1＜， 所以＜＜. 答案　B 4．已知函数f(x)＝2x－，则f(x)(　　) A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 解析　因为f(x)的定义域为R且f(－x)＝2－x－＝－2x＝－f(x)，所以f(x)是R上的奇函数．又y＝2x是R上的增函数，y＝是R上的减函数，所以函数f(x)＝2x－是R上的增函数． 答案　A 5．(2023·新课标Ⅰ卷改编)设函数f(x)＝2x在区间上单调递减，则a的取值范围是____________． 解析　函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝－在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞). 答案　[2，＋∞) 6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)＜－的解集是__________． 解析　当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝1－2x＝－f(x)， 则f(x)＝2x－1. 当x＝0时，f(0)＝0，易知f(x)是R上的增函数． 由f(x)＜－，解得x＜－1. 答案　(－∞，－1) 7．若函数的定义域为R，则a的取值范围为________． 解析　函数的定义域为R， 所以恒成立，等价于x2－2ax＋9≥0恒成立， 即Δ＝4a2－36≤0，解得－3≤a≤3. 答案　[－3，3] 8．已知f(x)＝ax－(其中a＞1，x∈R). (1)判断并证明f(x)的奇偶性与单调性； (2)解不等式f(2x)＞f(x＋1). 解析　(1)f(x)为奇函数且单调递增． 证明　函数f(x)的定义域为R且关于原点对称， 又因为f(－x)＝a－x－＝－ax＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． 设x1，x2∈R且x1＜x2， 所以f(x1)－f(x2)＜0即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)单调递增． (2)由(1)可知f(x)在R上为增函数， 由f(2x)＞f(x＋1)得2x＞x＋1，∴x＞1. ∴原不等式的解集为(1，＋∞). [关键能力·综合提升] 9．(多选题)已知实数a，b满足等式＝，下列关系式不可能成立的是(　　) A．0<b<a B．a<b<0 C．0<a<b D．b<a<0 解析　作y＝与y＝的图象．当a<b<0时，可以使＝；当a>b>0时，也可以使＝.故A、B都可能成立，不可能成立的关系式是C、D. 答案　CD 10．(多选题)已知函数f(x)＝2x＋，则(　　) A．f(－1)＝ B．f(x)的最小值为2 C．f(x)为偶函数 D．f(x)在R上单调递增 解析　f(－1)＝2－1＋＝＋＝＋2＝，A错误；令t＝2x＞0，则有g(t)＝t＋≥2＝2，当且仅当t＝1，即x＝0时取等号，此时f(x)有最小值2，B正确；易知g(t)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，D错误；f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，且x∈R，故f(x)为偶函数，C正确．故选BC. 答案　BC 11．设函数f(x)＝若f(a＋1)≤f(2a－1)，则实数a的取值范围是________． 解析　当x＜2时，f(x)＝2x为增函数，且f(x)＜f(2)＝4； 当x≥2时，f(x)＝x2为增函数，且f(x)≥f(2)＝4，∴f(x)在R上为增函数， ∵f(a＋1)≤f(2a－1)， ∴a＋1≤2a－1，解得a≥2， ∴实数a的取值范围为[2，＋∞). 答案　[2，＋∞) 12．已知奇函数f(x)的定义域为[－1，1]，当x∈(0，1]时，f(x)＝2x，则当x∈[－1，0)时，f(x)＝________；函数f(x)在定义域内的值域为____________． 解析　设x∈[－1，0)，则－x∈(0，1]，f(－x)＝2－x， 因为f(x)为奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)＝－2－x， 又f(x)是定义域为[－1，1]上的奇函数， 所以f(0)＝0 所以f(x)＝函数图象如图所示： 所以f(x)∈[－2，－1)∪{0}∪(1，2]. 答案　－2－x　[－2，－1)∪{0}∪(1，2] 13．已知函数. (1)若a＝1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的最大值为3，求实数a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求实数a的值． 解析　(1)当a＝1时，， 令g(x)＝x2－4x＋3，易知g(x)在(－∞，2)上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 又y＝在R上为减函数， 所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，即函数f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)，单调递增区间是(－∞，2). (2)令h(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝， 因为f(x)的最大值为3，所以h(x)的最小值为－1，当a＝0时， f(x)＝，无最大值； 当a≠0时，有解得a＝1. 综上，当f(x)的最大值为3时，实数a的值为1. (3)若要使的值域为(0，＋∞)，则需h(x)＝ax2－4x＋3的值域为R. 当a＝0时，h(x)＝－4x＋3，值域为R，符合题意； 当a≠0时，h(x)为二次函数，其值域不为R，不符合题意． 综上，当f(x)的值域是(0，＋∞)时，实数a的值为0. [核心价值·探索创新] 14．若函数f(x)＝3|x|＋x2，则不等式f(x＋1)≥f(2x－4)的解集为(　　) A．[3，＋∞) B．(－∞，2] C．[2，3] D．[1，5] 解析　因为f(x)的定义域为R，f(－x)＝3|－x|＋(－x)2＝3|x|＋x2＝f(x)， 所以f(x)为定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称； 当x≥0时，f(x)＝3x＋x2， 又y＝3x，y＝x2在[0，＋∞)上均为增函数， 所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数， 则f(x)在[－∞，0]上为减函数； 由f(x＋1)≥f(2x－4)可得|x＋1|≥|2x－4|， 即(x＋1)2≥(2x－4)2，解得1≤x≤5， 即不等式f(x＋1)≥f(2x－4)的解集为[1，5]. 答案　D 15．已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m.如果对于∀x1∈[－2，2]，总∃x2∈[－2，2]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数m的取值范围是____________． 解析　因为f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数， 所以f(0)＝0， 当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1∈(0，3]， 则当x∈[－2，2]时，f(x)∈[－3，3]， 若对于∀x1∈[－2，2]，∃x2∈[－2，2]， 使得g(x2)≥f(x1)，则等价为g(x)max≥3， 因为g(x)＝x2－2x＋m ＝(x－1)2＋m－1，x∈[－2，2]， 所以g(x)max＝g(－2)＝8＋m， 则满足8＋m≥3，解得m≥－5. 答案　[－5，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $$