5.1.3 第2课时 频数分布直方图与频率分布直方图(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

第2课时　频数分布直方图与频率分布直方图 学业标准 素养目标 1．了解频数与频率的关系，会列频数、频率分布表，会画频数分布直方图、频率分布直方图及其折线图．(难点) 2．能从统计图表中获取有价值的信息．(重点) 1．通过对频率(数)直方图的学习，培养学生直观想象等核心素养． 2．通过统计图表的应用，提升学生的数据分析、逻辑推理核心素养． [对应学生用书P64] 导学　频数分布直方图与频率分布直方图 　 频数分布直方图和频率分布直方图有什么区别和联系？ [提示]　频数分布直方图，能使我们清楚地知道数据分布在各小组的个数；而频率分布直方图则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律．它可以使我们看到整个样本数据的频率分布． ◎结论形成 1．频数分布直方图与频率分布直方图 (1)图示 频数分布直方图的纵坐标是__频数__，每一组数对应的矩形的高度与频数成__正比__；频率分布直方图的纵坐标是____，每一组数对应的矩形高度与频率成__正__比，而且每个矩形的面积等于这一组数对应的__频率__，从而可知频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为__1__． (2)优缺点 虽然作频数分布直方图与频率分布直方图过程中，原有数据被“压缩”了，从这两种图中也得不到所有原始数据．但是，由这两种图可以清楚地看出数据分布的总体态势，而且也可以得出有关数字特征的大致情况．比如，估计出平均数、中位数、百分位数、方差． 2．频数分布折线图和频率分布折线图 把频数分布直方图和频率分布直方图中每个矩形上面一边的中点用线段连接起来，且画成与横轴相交(折线图与横轴的左右两个交点没有实际意义). [对应学生用书P64] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)频率分布直方图中矩形的高是这一组的频率．(　　) (2)频数分布折线图和频率分布折线图与横轴的左、右两个交点有实际意义．(　　) (3)频率分布直方图中纵轴表示频率．(　　) (4)频率分布直方图中每个小长方形的面积等于相应组的频率．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率直方图如图所示，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100].若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是(　　) A．45　　 B．50　　 C．55　　 D．60 解析　∵[20，40)，[40，60)的频率和为(0.005＋0.01)×20＝0.3， ∴该班的学生人数是＝50.故选B. 答案　B 3．从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31，5.33)，[5.33，5.35)，…，[5.45，5.47)，[5.47，5.49]，并整理得到如图所示频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为(　　) A．10　　 B．18　　 C．20　　 D．36 解析　由题意可得，直径落在区间之间的零件频率为： ×0.02＝0.225，则区间内零件的个数为：80×0.225＝18. 答案　B 4．将一个容量为n的样本，分成若干组，已知甲组的频数和频率分别为36和，则容量n＝________，频率为的乙组的频数是________． 解析　＝，所以n＝36×4＝144，同理＝，x＝24. 答案　144　24 [对应学生用书P65] 题型一　频数与频率 　某市共有5 000名高三学生参加联考，为了解这些学生对数学知识的掌握情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成频率分布表： 分组/分 频数 频率 [80，90) ① ② [90，100) 0.050 [100，110) 0.200 [110，120) 36 0.300 [120，130) 0.275 [130，140) 12 [140，150] 0.050 合计 根据上面的频率分布表，可知①处的数值为____________，②处的数值为________． [自主解答]　设样本量为n，由位于[110，120)的频数为36，频率为＝0.300，得样本量n＝120， 所以[130，140)的频率为＝0.100. ②处的数值为1－0.050－0.200－0.300－0.275－0.100－0.050＝0.025， ①处的数值为0.025×120＝3. [答案]　3　0.025 对于频数与频率的问题，首先要明确几个关系，即各组的频数之和等于样本容量，各组的频率之和为1，频率＝.在解题过程中，要明确频数、频率以及样本容量之间的关系，弄清楚已知和所求，选择合适的公式解题． [触类旁通] 1．(1)将容量为100的样本数据分为8个组，如下表： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 10 13 x 14 15 13 12 9 则第3组的频率为(　　) A．0.03　　　　　　　 B．0.07 C．0.14 D．0.21 (2)一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，若样本中数据在[20，60)上的频率为0.8，则估计样本在[40，50)，[50，60)内的数据个数共为(　　) A．15 B．16 C．17 D．19 解析　(1)由题意得x＝100－(10＋13＋14＋15＋13＋12＋9)＝14，所以第3组的频率为＝0.14. (2)由题意得样本在[40，50)，[50，60)内的数据个数共为30×0.8－4－5＝15. 答案　(1)C　(2)A 题型二　频数、频率分布直方图的绘制 　为了了解一大片经济林的生长情况，工人们随机测量其中的100株树木的底部周长(单位：cm)，得到如下数据： 135 98 102 110 99 121 110 96 100 103 125 97 117 113 110 92 102 109 104 112 105 124 87 131 97 102 123 104 104 128 109 123 111 103 105 92 114 108 104 102 129 126 97 100 115 111 106 117 104 109 111 89 110 121 80 120 121 104 108 118 129 99 90 99 121 123 107 111 91 100 99 101 116 97 102 108 101 95 107 101 102 108 117 99 118 106 119 97 126 108 123 119 98 121 101 113 102 103 104 108 绘制频率分布直方图、频率分布折线图． [自主解答]　从数据中可以看出，这组数据的最大值为135，最小值为80，故极差为55，可将其分为11组，组距5.列表如下： 分组 频数 频率 [80，85) 1 0.01 [85，90) 2 0.02 [90，95) 4 0.04 [95，100) 14 0.14 [100，105) 24 0.24 [105，110) 15 0.15 [110，115) 12 0.12 [115，120) 9 0.09 [120，125) 11 0.11 [125，130) 6 0.06 [130，135] 2 0.02 合计 100 1.00 画频率分布直方图、频率分布折线图如图所示． 绘制频率分布直方图的注意点 (1)频率分布直方图比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律． (2)每一组的频率可以用该组的组距为底、为高的小矩形的面积来表示． (3)同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴单位不同，得到的频率分布直方图的形状也会不同． (4)同一个总体，由于抽样的随机性，如果随机抽取另外一个容量为100的样本，所形成的样本频率分布直方图一般会与前一个样本频率分布直方图有所不同，但它们都可以近似地看作总体的分布． [触类旁通] 2．有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下： [－20，－15)，7；[－15，－10)，11；[－10，－5)，15；[－5，0)，40；[0，5)，49；[5，10)，41；[10，15)，20；[15，20)，17. (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图和频率分布折线图； (3)求样本数据不足0的频率． 解析　(1)频率分布表如下： 分组 频数 频率 [－20，－15) 7 0.035 [－15，－10) 11 0.055 [－10，－5) 15 0.075 [－5，0) 40 0.200 [0，5) 49 0.245 [5，10) 41 0.205 [10，15) 20 0.100 [15，20) 17 0.085 合计 200 1.000 (2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示． (3)样本数据不足0的频率为0.035＋0.055＋0.075＋0.200＝0.365. 题型三　频率(数)分布直方图的应用(一题多变) 　为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如下图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12. (1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2)若次数在110以上(含110)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？ [自主解答]　(1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为＝0.08. 又因为第二小组的频率＝， 所以样本容量＝＝＝150. (2)由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100%＝88%. [母题变式] 1．(变结论)若本例条件不变，试求样本中不达标的学生人数． 解析　由本例的解析知达标率为88%，样本容量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12.所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18(人). 2．(变结论)若本例条件不变，试求第三小组的频数． 解析　第三小组的频率为＝0.34. 又因为样本容量为150. 所以第三小组的频数为150×0.34＝51. [素养聚焦]　　通过频率分布直方图的应用，把直观想象、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 解决与频率分布直方图有关问题要掌握的结论 (1)因为小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小． (2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1. (3)样本容量＝频数/相应的频率． (4)在频率分布直方图中，各矩形的面积之比等于频率之比，各矩形的高度之比也等于频率之比． [触类旁通] 3．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：h)，制成了如下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5 h的人数为________． 解析　由直方图可知每周自习时间不少于22.5 h的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，则每周自习时间不少于22.5 h的人数为0.7×200＝140. 答案　140 [缜密思维提能区]　易错案例 未理解频率分布直方图中纵坐标的含义而致误 [典例]　中小学生的视力状况受到全社会的广泛关注，某市有关部门从全市60 000名高一新生中随机抽取了400名学生，对他们的视力状况进行了一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如下图所示，从左到右五个小组的频率之比依次是5∶7∶12∶10∶6，则全市高一新生视力在[3.95，4.25]范围内的学生约有多少人？ [错解]　因为第五小组的频率是0.5，所以第一小组的频率为0.5×＝.所以全市6万名高一新生中视力在[3.95，4.25]范围内的学生约有60 000×＝25 000(人). [正解]　因为第五小组的频率是0.5×0.3＝0.15，所以第一小组的频率为0.15×＝0.125.所以全市6万名高一新生中视力在[3.95，4.25]范围内的学生约有60 000×0.125＝7 500(人). ●纠错心得 (1)图表试题解题的三个步骤：一观、二识、三解，要做到观图要细、识图要全、解图要准．如本例中频率分布直方图中的纵轴表示而不是频率． (2)在频率分布直方图中，小长方形的高＝，小长方形的面积＝×组距＝频率． 知识落实 技法强化 1．频数分布直方图与频率分布直方图． 2．频数分布折线图与频率分布折线图． 频率分布直方图中的纵坐标为，易误认为频率． 学科网（北京）股份有限公司 $$