5.1.2 第2课时 极差、方差与标准差(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

第2课时　极差、方差与标准差 学业标准 素养目标 1．理解极差、方差和标准差的意义和作用．(难点) 2．会计算样本数据的这些数字特征，并能解答有关实际问题．(重点) 1．通过计算极差、方差与标准差，主要提升学生数学运算核心素养． 2．通过数字特征的统计含义的简单应用，重点培养学生数据分析核心素养． [对应学生用书P57] 导学　极差、方差与标准差 　方差与标准差与原始数据的单位如何？试分析在解决实际问题中的差异． [提示]　标准差与原始数据的单位相同，方差的单位是原始数据单位的平方，方差主要是平方后夸大了偏离的程度，虽然它们均反映了样本数据的离散程度，但在实际问题中常用标准差． ◎结论形成 1．极差 一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的__差__．极差反映了一组数的变化范围，描述了这组数的__离散__程度． 2．方差 (1)定义 如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差为s2＝__(xi－)2__. (2)性质 若a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为__a2s2__． 3．标准差：即方差的算术平方根． 4．方差和标准差的统计含义 方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差、方差较大，数据的离散程度较__大__；标准差、方差较小，数据的离散程度较__小__． [对应学生用书P57] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)极差反映了一组数据变化的最大幅度．(　　) (2)方差与原始数据单位相同．(　　) (3)给定一组数据，标准差是不唯一的．(　　) (4)x1，x2，x3，x4的方差为s2，则3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2的标准差为.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是(　　) A．平均数　 B．中位数　 C．方差　 D．众数 解析　由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度． 答案　C 3．已知样本中共有5个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本方差为________． 解析　依题意得(a＋0＋1＋2＋3)＝1，∴a＝－1.∴样本方差s2＝[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2－(3－1)2]＝2. 答案　2 4．甲、乙两人在相同条件下练习射击，每人打5发子弹，命中环数如下： 甲 6 8 9 9 8 乙 10 7 7 7 9 则两人射击成绩的稳定程度是________． 解析　∵甲＝8，乙＝8，而s＝1.2，s＝1.6，s＜s，∴甲稳定性强． 答案　甲比乙稳定 [对应学生用书P58] 题型一　极差、方差与标准差的计算 　从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高： 甲：25，41，40，37，22，14，19，39，21，42. 乙：27，16，44，27，44，16，40，40，16，40. 试计算甲、乙两组数据的方差和标准差． (参考数据：≈10.208，≈11.349) [自主解答]　甲＝×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30，s＝×[(25－30)2＋(41－30)2＋…＋(42－30)2]＝104.2，s甲＝≈10.208.乙＝×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31. 同理s＝128.8，s乙＝≈11.349. 计算方差、标准差的步骤 (1)算出样本数据的平均数. (2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差：xi－(i＝1，2，3，…，n). (3)算出(2)中xi－(i＝1，2，3，…，n)的平方． (4)算出(3)中n个平方数的平均数，即为样本方差． (5)算出(4)中方差的算术平方根，即为样本标准差． [触类旁通] 1．一组数据1，10，5，2，x，2，且2＜x＜5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的方差为________． 解析　根据题意知，该组数据的众数是2，则中位数是2÷＝3， 把这组数据从小到大排列为1，2，2，x，5，10， 则＝3，解得x＝4， 所以这组数据的平均数为＝×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4，s2＝[(1－4)2＋(10－4)2＋(5－4)2＋(2－4)2＋02＋(2－4)2]＝9. 答案　9 题型二　方差性质及其应用 　设样本数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1，2，…，10)，则y1，y2，…，y10的平均数和方差分别为(　　) A．1＋a，4　　　　　 B．1＋a，4＋a C．1，4 D．1，4＋a [自主解答]　∵x1，x2，…，x10的平均数＝1，方差s＝4，且yi＝xi＋a(i＝1，2，…，10)，∴y1，y2，…，y10的平均数＝·(y1＋y2＋…＋y10)＝·(x1＋x2＋…＋x10＋10a)＝·(x1＋x2＋…＋x10)＋a＝＋a＝1＋a， 其方差s＝·[(y1－)2＋(y2－)2＋…＋(y10－)2]＝[(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2]＝s＝4.故选A. [答案]　A 若样本数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则yi＝axi＋b，i＝1，2，…，n的平均数为a＋b，方差为a2s2. [触类旁通] 2．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为(　　) A．8 B．15 C．16 D．32 解析　样本数据x1，x2，…，x10的标准差s＝8，则样本数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差s′＝2×8＝16. 答案　C 题型三　数字特征的实际应用 　从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下： 甲：7，8，6，9，6，5，9，9，7，4. 乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. (1)分别计算甲、乙两人射击命中环数的极差、众数和中位数； (2)分别计算甲、乙两人射击命中环数的平均数、方差、标准差； (3)比较两人的成绩，然后决定选择哪一个人参赛． (参考数据：≈1.673，≈1.095) [自主解答]　(1)对于甲：极差是9－4＝5，众数是9，中位数是7； 对于乙：极差是9－5＝4，众数是7，中位数是7. (2)甲＝＝7， s＝×[(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝2.8，s甲＝＝≈1.673. 乙＝＝7， s＝×[(9－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2]＝1.2，s乙＝＝≈1.095. (3)因为甲＝乙，s甲＞s乙，所以甲、乙两人的平均成绩相等，乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可以选择乙参赛． [素养聚焦]　　通过数字特征的应用，重点提升数据分析核心素养． 平均数、方差、标准差在决策中的应用 (1)在实际应用中，常常把平均数与方差(标准差)结合起来进行决策．在平均数相等的情况下，比较方差(标准差)以确定稳定性．当平均数差异较大时，不必考虑方差． (2)平均数和标准差是工业生产中监测产品质量的重要指标，当样本的平均数或标准差超过规定界限时，说明这批产品的质量可能离生产要求有较大的偏差，应该进行检查，找出原因，从而及时解决问题． [触类旁通] 3．为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展“中国汉字听写大会”的活动．为响应学校号召，某校高二9班组建了兴趣班，甲、乙两人近期8次成绩所得数据分别为 甲：68，69，71，72，74，78，83，85； 乙：65，70，70，73，75，80，82，85. (1)求甲、乙两人成绩的平均数和中位数； (2)现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度你认为派哪位学生参加比较合适？ 解析　(1)甲的平均数为＝(68＋69＋71＋72＋74＋78＋83＋85)÷8＝75，中位数为(72＋74)÷2＝73，乙的平均数为＝(65＋70＋70＋73＋75＋80＋82＋85)÷8＝75，中位数为(73＋75)÷2＝74. (2)甲的方差为s＝[(68－75)2＋(69－75)2＋(71－75)2＋(72－75)2＋(74－75)2＋(78－75)2＋(83－75)2＋(85－75)2]÷8＝35.5，乙的方差为s＝[(65－75)2＋(70－75)2＋(70－75)2＋(73－75)2＋(75－75)2＋(80－75)2＋(82－75)2＋(85－75)2]÷8＝41，因为s＜s，所以甲成绩稳定．所以应派甲参加比赛比较合适． 知识落实 技法强化 1．极差、方差与标准差的计算公式． 2．极差、方差与标准差的统计含义． 在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差).标准差越大，说明数据的离散性越大；标准差越小，说明数据的离散性越小或数据越集中、稳定． 学科网（北京）股份有限公司 $$