4.7 数学建模活动：生长规律的描述(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

4．7　数学建模活动：生长规律的描述 [对应学生用书P40] 数学问题一直是数学发展的重要源泉，解决实际问题也一直是数学价值的重要体现．解决实际问题的重要手段就是数学建模．数学建模是一个重要的核心素养． 1．数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型解决问题的素养．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题． 数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题． 2．数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式，数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力． 3．通过高中数学课程的学习，同学们能有意识地用数学语言表达现实世界，感悟数学与现实之间的关联，学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学建模在解决科学、社会、工程技术等问题中的作用；加深对数学内容的理解；学会交流与合作；提升应用能力，增强创新意识和科学精神． [对应学生用书P40] 类型一　数学模型检验 [案例]　某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表： 投资A种商品金额/万元 1 2 3 4 5 6 获纯利润/万元 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B种商品金额/万元 1 2 3 4 5 6 获纯利润/万元 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少才最合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者下个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字). [自主解答]　以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中描点如图． 根据图象，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系． y＝－a(x－4)2＋2(a＞0)，① y＝bx，② 把x＝1，y＝0.65代入①式， 得0.65＝－a(1－4)2＋2， 解得a＝0.15. 故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数解析式可近似地用y＝－0.15(x－4)2＋2表示； 把x＝4，y＝1代入②式，解得b＝0.25， 故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数解析式可近似地用y＝0.25x表示．设下个月投入A，B两种商品的资金分别为xA万元，xB万元，总利润为W万元，得 即W＝－＋×＋. 所以当xA＝≈3.2时， W取得最大值，约为4.1万元， 此时，xB＝≈8.8. (1)根据原始数据、表格，绘出散点图． (2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线． (3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． 类型二　数学建模实践 [案例]　茶水的最佳口感问题 1．发现问题，提出问题 中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．那么在25 ℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ 例如，某研究人员每隔1 min测量一次茶水温度，得下表的一组数据． 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 85.00 79.19 74.75 71.19 68.19 65.10 茶水温度是时间的函数，但没有现成的函数模型．为此，可以先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型． 设茶水温度从85 ℃开始，经过x min后的温度为y ℃.根据上表，画散点图(图1). 图1 2．分析问题，建立模型 观察散点图的分布状况，并考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，可选择函数y＝kax＋25(k∈R，0<a<1，x≥0)来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律． 3．确定参数，改进模型 根据实际情况可知，当x＝0时，y＝85，可得k＝60. 为了求出温度的衰减比例a，可从第2 min的温度数据开始，计算每分(y－25)的值与上一分(y－25)值的比值，列出下表． x 0 1 2 3 4 5 y－25 60.00 54.19 49.75 46.19 43.19 40.10 比值 0.903 2 0.918 1 0.928 4 0.935 1 0.928 5 计算各比值的平均值，得 a＝(0.903 2＋0.918 1＋0.928 4＋0.935 1＋0.928 5)＝0.922 7. 我们把这个平均值作为衰减比例，就得到一个函数模型 y＝60×0.922 7x＋25(x≥0).① 4．验证结果，改进模型 将已知数据代入①式，或画出函数①的图象(图2)，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，这说明它能较好地反映茶水温度随时间的变化规律． 图2 将y＝60代入y＝60×0.922 7x＋25，得 60×0.922 7x＋25＝60. 解得x＝log0.922 7≈6.699 97. 所以，泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约是7 min. 数学建模的一般步骤 (1)提出问题 实际情境中的问题往往是模糊的和笼统的，原始的问题往往是一个希望得到优化的期待，或是某个不良现象的消失．这就需要透过现象，明确地提出问题． (2)建立模型 在一定的知识积累的基础上，预测建立的数学模型，抓住主要因素，摒弃次要因素，做出适当简化和假设． 在假设的基础上，用数学概念表示实际问题，用数学结构反映实际问题中各个量之间的关系．从不同角度，用不同知识表示同样的问题，就会得到不同的模型． (3)求解模型 这个过程是求解数学问题．值得注意的是，如果目标是求值，一般不容易求得精确值，这就要根据需要求近似解． (4)检验结果 用实际现象或数据检验求得的解是否符合实际．如果不符合实际情况，就要重新建模． [对应学生用书P42] 了解人口增长的规律，一直都是人们特别感兴趣的事情，与其他同学合作，查找某一地区或某一国家人口的历史数据，尝试建立相关的数学模型，并利用数学模型加以预测． 数学建模活动研究报告 ________年级________班　　完成时间________ 1.课题名称 2.课题组成员及分工 3.选题的意义 4.研究计划(包括对选题的分析，解决问题的思路等) 5.研究过程(收集数据、分析数据、建立模型、求解模型的过程，以及过程中出现的难点及解决方案等) 6.研究结果 7.收获与体会 学科网（北京）股份有限公司 $$