4.6 函数的应用(二)(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

4．6　函数的应用(二) 学业标准 素养目标 　　收集、阅读一些现实生活、生产实际或经济领域中的数学模型，体会人们如何借助函数刻画实际问题．(重点、难点) 　　通过实例了解指数型函数模型、对数型函数模型在实际问题中的应用，主要提升学生数学建模核心素养． [对应学生用书P36] 导学　函数模型的应用 　我们在必修第一册学习了函数的应用(一)，常用的函数模型有哪些？ [提示]　一次函数模型f(x)＝kx＋b；二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；对勾函数模型f(x)＝ax＋；分段函数模型． ◎结论形成 1．指数型函数模型 函数y＝abx＋c(b＞0，b≠1，a≠0)图象的增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快(b＞1，a＞0)，常形象地称为指数爆炸． 2．对数型函数模型 y＝mlogax＋n(a＞0，a≠1，m≠0)图象的增长特点是随着自变量x的增长，函数值增大的速度越来越慢(a＞1，m＞0). 3．解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． [对应学生用书P36] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)解决某一实际问题的函数模型是唯一的．(　　) (2)对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好．(　　) (3)根据收集到的数据作出散点图，结合已知的函数选择适当的函数模型，这样得到的函数模型的模拟效果较好．(　　) (4)函数y＝kx＋8(k≠0)在R上是增函数．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．计算机成本不断降低，若每隔2年计算机价格降低，现在价格为8 100元的计算机6年后价格可降为(　　) A．3 600元　　　　　　　 B．2 400元 C．900元 D．300元 解析　由题意，计算机6年后的价格为：8 100×＝2 400(元). 答案　B 3．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c(x)＝20＋2x＋x2(万元)，若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为获取最大利润，应生产这种商品的数量为(　　) A．18件 B．36件 C．22件 D．9件 解析　y＝20x－c(x)＝20x－20－2x－x2＝－x2＋18x－20.∴x＝18时，y有最大值． 答案　A 4．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到________只． 解析　由题意，繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，这种动物第1年有100只，所以100＝alog2(1＋1)， 所以a＝100，所以y＝100log2(x＋1)， 所以当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300. 答案　300 [对应学生用书P37] 题型一　指数型函数模型的应用 　某行业计划从2024年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为x(0＜x＜1). (1)设n年后(2024年记为第1年)年产能为2023年的a倍，请用a，n表示x. (2)若x＝10%，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2023年的25%? 参数数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477. [自主解答]　(1)依题意得：(1－x)n＝a， 所以1－x＝，即x＝1－. (2)设n年后年产能不超过2023年的25%， 则(1－10%)n≤25%，即≤， 即n lg ≤lg ，即n(2lg 3－1)≤－2lg 2， 所以n≥，即n≥， 因为13＜＜14，且n∈N*，所以n的最小值为14， 所以，至少要到2037年才能使年产能不超过2023年的25%. 指数型函数模型的应用 (1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． (2)增长率问题多抽象为指数函数形式，当由指数函数形式来确定相关的量的值要求不严格时，可以通过图象近似求解．用函数的图象求解未知量的值或确定变量的取值范围，是数学常用的方法之一． [触类旁通] 1．根据相关规定血液中酒精含量大于(等于)0.02 mg/mL且小于(等于)0.08 mg/mL的为酒驾，大于0.08 mg/mL的为醉驾．某驾驶员喝了少量酒后，血液中酒精含量上升到0.3 mg/mL；在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．以y(单位：mg/mL)表示该驾驶员在停止喝酒x小时后血液中的酒精含量． (1)将y表示为x的函数； (2)为了保障交通安全，该驾驶员停止喝酒后至少要过几小时才能驾驶？(精确到1小时) 解析　(1)1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3×mg/mL，2小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3×mg/mL，即0.3×2mg/mL，x小时后其血液中酒精含量为0.3×xmg/mL， 所以y＝0.3×x＝0.3×x. (2)由题意可知0.3×x＜，即x＜ 采用估算法，x＝1时，1＝＞；x＝2时，2＝＝＜， x＝3时，3＝＞， x＝4时，4＝＜，由于y＝x是减函数，所以满足要求的x的最小值为4， 故至少要经过4小时驾驶员才能驾驶车辆． 题型二　对数型函数模型的应用(一题多变) 　声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg 给出，其中I为声强(单位：W/m2). (1)平时常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级． (2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少． (3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？ [自主解答]　(1)当I＝10－6W/m2时， 代入得Y＝10lg ＝10lg 106＝60， 即声强级为60分贝． (2)当Y＝0时，即为10lg ＝0， 所以＝1，I＝10－12W/m2， 则能听到的最低声强为10－12W/m2. (3)当声强I＝5×10－7W/m2时， 声强级Y＝10lg ＝10lg (5×105)＝50＋10lg 5＞50， 所以这两位同学会影响其他同学休息． [母题变式] 1．(变结论)例2中条件不变，则达到比较理想的睡眠环境声强I的取值范围是什么？ 解析　由0≤Y≤50得0≤10lg ≤50， 所以lg 1＝0≤lg ≤5＝lg 105， 所以1≤≤105，10－12≤I≤10－12×105＝10－7， 所以声强I的取值范围是10－12≤I≤10－7. 2．(变结论)例2中条件不变，若声强级Y≥100分贝为噪音，试求产生噪音的最低声强是多少． 解析　由题意知10lg ≥100，lg ≥10， 所以≥1010，I≥10－2， 即产生噪音的最低声强是10－2W/m2. [素养聚焦]　　本题主要考查对数型函数模型的实际应用，突出考查数学建模核心素养． 对数型函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数型函数的应用题一般都会给出函数解析式，然后根据实际问题再求解． (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． [触类旁通] 2．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的关系为v＝2 000ln .当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12 km/s? 解析　由12 000＝2 000ln ，即6＝ln ，1＋＝e6， 利用计算器算得≈402，即当燃料质量约是火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12 km/s. [缜密思维提能区]　规范答题 构建函数模型解决实际问题 [典例]　(13分)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式． (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？ [审题指导] [规范解答]　 (1)设药物释放过程中即t∈(0，0.1]时，y与t的函数关系式为y＝kt①，(1分) 第一步，据条件设出y与t的函数关系式 将(0.1，1)代入y＝kt，得1＝0.1k，所以k＝10，y＝10t.(2分) t∈[0.1，＋∞)时，将(0.1，1)代入y＝，得＝1，a＝.(4分) 故所求函数关系式为y＝(6分) 第二步，利用待定系数法求函数关系式 (2)由(1)知：当t∈[0.1，＋∞)时，y为t的减函数．令 <0.25＝③，所以t－>，所以t>.(11分) 即小时，也就是36分钟后，学生才能回到教室．(13分) 第三步，分析出何时药物含量降低到0.25毫克以下，并将数学模型还原为实际问题作答 知识落实 技法强化 函数模型的应用实例主要包括三个方面： (1)利用给定的函数模型解决实际问题． (2)建立确定性的函数模型解决实际问题． (3)建立拟合函数模型解决实际问题． 在引入自变量建立函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求． 学科网（北京）股份有限公司 $$