4.3 指数函数与对数函数的关系(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

4．3　指数函数与对数函数的关系 学业标准 素养目标 1．了解反函数的定义及存在反函数的条件，知道y＝ax与y＝logax互为反函数，会求简单函数的反函数．(难点) 2．掌握互为反函数的定义域、值域、单调性、图象间的关系，并能简单应用．(重点) 1．通过从教材实例中归纳出反函数的定义，培养学生数学抽象等核心素养． 2．通过利用互为反函数间的关系解决问题，提升学生逻辑推理、数学运算等核心素养． [对应学生用书P26] 导学1　反函数的定义 　函数y＝x2，定义域为[－1，1]，求函数的值域，并判定x是y的函数吗？若定义域改为[0，1]呢？ [提示]　函数的值域为[0，1]，如y＝1∈[0，1]，则x＝±1∈[－1，1]，故不能构成x是y的函数． 若定义域为[0，1]时，y＝x2是增函数，由函数的定义知x是y的函数． ◎结论形成 1．反函数的定义及表示 (1)定义 如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么__x__是__y__的函数，这个函数称为y＝f(x)的__反__函数． (2)表示方法 函数y＝f(x)的反函数记作__y＝f－1(x)__． 2．反函数的求法 对调y＝f(x)中的x与y，然后从x＝f(y)中求出y得到． ●点睛　如果y＝f(x)是单调函数，那它的反函数y＝f－1(x)一定存在． 导学2　指数函数与对数函数的比较 名称 指数函数 对数函数 解析式 y＝ax y＝logax 关系 互为反函数 定义域　 __R__ __(0，＋∞)__ 值域 __(0，＋∞)__ __R__ 图象及关系　 图象关于y＝x对称 单调 性　 当a＞1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上是__增__函数； 当0＜a＜1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上是__减__函数 当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上是__增__函数； 当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上是__减__函数 函数值变化情况 当a＞1时， ax 当0＜a＜1时， ax 当a＞1时， logax 当0＜a＜1时， logax 导学3　函数与其反函数的性质的关系 (1)定义域、值域：原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域． (2)图象：互为反函数的图象关于直线y＝x对称；图象关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数． (3)单调性：互为反函数的两函数单调性一致． ●点睛　f[f－1(x)]＝x，f－1[f(x)]＝x. [对应学生用书P27] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x2的反函数为y＝.(　　) (2)函数y＝10x的反函数为y＝lg x．(　　) (3)函数y＝f(x)的定义域为[0，1)，则其反函数的值域为[0，1).(　　) (4)若f－1(1)＝2，则f(2)＝1.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．在同一坐标系中函数y＝－log2x与y＝2－x的图象(　　) A．关于y轴对称　　　 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．关于y＝x对称 解析　y＝－log2x＝logx与y＝2－x＝是互为反函数，图象关于y＝x对称，故选D. 答案　D 3．函数y＝1＋(x＞0)的反函数为________． 解析　∵x＞0，∴y＝1＋＞1， 由y＝1＋对调其中的x和y得y＝， 即f－1(x)＝(x＞1). 答案　f－1(x)＝(x＞1) 4．函数f(x)＝2x＋b的反函数过点(1，2)，则实数b的值为________． 解析　依题意函数f(x)＝2x＋b过点(2，1)， 即2×2＋b＝1，∴b＝－3. 答案　－3 [对应学生用书P27] 题型一　求反函数 　求下列函数的反函数： (1)y＝log2x；(2)y＝；(3)y＝x2(x≤0). [自主解答]　(1)由y＝log2x对调x和y， 解得y＝2x， 所以f－1(x)＝2x. (2)由y＝，y＞0， 对调x和y，解得y＝logx， 所以f－1(x)＝logx(x＞0). (3)y＝x2，x≤0，∴y≥0，并对调x和y， 即x＝y2，此时y≤0， 解出y＝－，所以f－1(x)＝－(x≥0). 求反函数的一般步骤 (1)求原函数值域，即由y＝f(x)求y的范围． (2)由y＝f(x)对调x和y，并解出y(用x表示)，即求出f－1(x). (3)注明反函数的定义域即原函数的值域． [触类旁通] 1．求函数y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数． 解析　由y＝0.2x＋1得x＝log0.2(y－1)，对换x，y得y＝log0.2(x－1). 因为原函数中x≤1，y≥1.2，所以反函数的定义域为[1.2，＋∞)， 因此y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数是y＝log0.2(x－1)，x∈[1.2，＋∞). 题型二　原函数与其反函数性质的应用 (一题多变) 　已知函数f(x)＝ax＋b的图象过(1，7)，其反函数f－1(x)的图象过点(4，0)，则f(x)的表达式为(　　) A．4x＋3　　　　　　　 B．3x＋4 C．5x＋2 D．2x＋5 [自主解答]　∵f(x)的反函数图象过点(4，0)， ∴f(x)的图象过(0，4)， 又f(x)＝ax＋b的图象过(1，7)， 所以有方程组 ∴a＝4且b＝3，故f(x)的表达式为4x＋3.选A. [答案]　A [母题变式] 1．(变结论)在本例的条件下，求f[f－1(11)]的值． 解析　根据反函数的性质得f[f－1(11)]＝11. 2．(变结论)函数y＝4x＋3与函数y＝log4(x－3)(x＞3)的图象之间有什么关系？ 解析　∵y＝4x＋3与y＝log4(x－3)是互为反函数， ∴二者的图象关于y＝x对称． 若点P(m，n)在函数y＝f(x)(或在反函数y＝f－1(x))的图象上，则点P′(n，m)在反函数y＝f－1(x)(或在函数y＝f(x))的图象上，利用这种对称性去解题，常常可以避开求反函数的解析式，从而达到简化运算的目的． [触类旁通] 2．若函数y＝f(x)的图象过点(－1，3)，则其反函数y＝f－1(x)的图象一定过点________． 解析　∵函数y＝f(x)与y＝f－1(x)的图象关于直线y＝x对称，且函数y＝f(x)的图象过点(－1，3)，所以y＝f－1(x)的图象一定过点(3，－1). 答案　(3，－1) 题型三　指数函数与对数函数的综合应用 　已知f(x)＝(a∈R)，f(0)＝0. (1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的反函数； (3)解关于x的不等式f－1(x)>log2(k＞0且为常数). [自主解答]　(1)由f(0)＝0，得a＝1， 所以f(x)＝， 因为f(x)＋f(－x)＝＋＝＋＝0，所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数． (2)因为f(x)＝y＝＝1－， ∵2x＞0，∴0＜＜2，即－1＜y＜1， 由y＝1－对调x和y， 即x＝1－解得y＝log2， 所以f－1(x)＝log2(－1<x<1). (3)因为f－1(x)>log2， 即log2>log2(k＞0)， 所以解得 当0＜k＜2时，原不等式的解集为(1－k，1)； 当k≥2时，原不等式的解集为(－1，1). [素养聚焦]　　本题主要考查指数函数与对数函数性质的综合应用，突出考查数学运算、逻辑推理核心素养． 首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路． [触类旁通] 3．设函数f(x)＝2x＋p(p为常数且p∈R). (1)若f(3)＝5，求f(x)的解析式； (2)在(1)的条件下，解方程：f－1(x)＝log2(x＋1)＋log2(2x－1). 解析　(1)由题设可得23＋p＝5⇒p＝－3， 所以f(x)＝2x－3. (2)由(1)可得f－1(x)＝log2(x＋3)(x＞－3)， 于是方程log2(x＋3)＝log2(x＋1)＋log2(2x－1)，即x＋3＝(x＋1)(2x－1)， 解得x1＝，x2＝－(舍去)，所以方程的根为x＝. 知识落实 技法强化 1．反函数的定义． 2．反函数的性质． 原函数的定义域是反函数的值域，值域是反函数的定义域，在求值的过程中，可以利用这一关系，转化已知函数来求值，不必求出反函数或原函数． 学科网（北京）股份有限公司 $$