第01讲 二次函数（1个知识点+4种题型+分层练习） -2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第01讲 二次函数（1个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 题型强化 题型一．二次函数的定义 1．（2022秋•金华期末）若是二次函数，则的值为　　 A． B．2 C． D． 2．（2023秋•柯桥区月考）函数是二次函数，则　　． 3．（2022秋•西湖区校级月考）已知函数为常数），根据下列条件求的值： （1）是的一次函数； （2）是的二次函数． 题型二、列二次函数关系式 4．（九年级上·浙江·课后作业）正方形的边长为3，若边长增加x时，面积增加y，则y关于x的函数表达式为( ) A．y＝x2＋9 B．y＝(x＋3)2 C．y＝x2＋6x D．y＝9－3x2 5．（浙江杭州·中考真题）某函数满足当自变量时，函数值；当自变量时，函数值，写出一个满足条件的函数表达式 . 6．（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，矩形绿地的长、宽各增加，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式． 题型三、二次函数的识别 7．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 8．二次函数的二次项系数是 ． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 题型四、根据二次函数的定义求参数 10．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）若函数是二次函数，即m的值是（　　） A． B．或3 C．2 D．3 11．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如果函数y=（k-2）+kx+1是关于x的二次函数，那么k的值是 ． 12．（九年级·全国·课后作业）已知函数． (1)当m为何值时，y是x的二次函数? (2)当m为何值时，y是x的一次函数? 分层练习 一、单选题 1．二次函数的常数项为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 2．下列函数中，y关于x的二次函数是（  ） A． B． C． D． 3．下列函数解析式中，一定是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 4．若表示是的二次函数，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 5．长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 6．线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系 7．下列解析式中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 8．若是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B． C． D．或 9．一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 10．某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，与之间的关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．二次函数的一次项系数是 ． 12．下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是 ． 13．二次函数的概念：一般的，形如 (是常数，)的函数叫做二次函数．其中 是自变量，分别是函数解析式的 、 、常数项． 14．如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是 ． 15．若是二次函数，则的值是 ． 16．已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为 ． 三、解答题 17．当为何值时，函数是二次函数． 18．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 19．当系数a，b，c满足什么条件时，函数y=ax2+bx+c是二次函数？是一次函数？是正比例函数？ 20．已知函数． (1)当m为何值时，此函数是一次函数？ (2)当m为何值时，此函数是二次函数？ 21．某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 22．荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元． (1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）． (2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式． (3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？ 23．阅读下列材料，解决材料后的问题： 材料一：对于实数x、y，我们将x与y的“友好数”用f（x，y）表示，定义为：f（x）＝，例如17与16的友好数为f（17，16）＝＝． 材料二：对于实数x，用[x]表示不超过实数x的最大整数，即满足条件[x]≤x＜[x]+1，例如： [﹣1.5]＝[﹣1.6]＝﹣2，[0]＝[0.7]＝0，[2.2]＝[2.7]＝2，…… （1）由材料一知：x2+2与1的“友好数”可以用f（x2+2，1）表示，已知f（x2+2，1）＝2，请求出x的值； （2）已知[a﹣1]＝﹣3，请求出实数a的取值范围； （3）已知实数x、m满足条件x﹣2[x]＝，且m≥2x+，请求f（x，m2﹣m）的最小值． 24．如图，已知抛物线经过点A（，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于轴对称，点P是轴上的一个动点，设点P的坐标为（，0），过点P作轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD于点M． （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）点P在线段AB上运动的过程中，是否存在点Q，使得以B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）已知点F（0，），点P在轴上运动，试求当为何值时，以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次函数（1个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 题型强化 题型一．二次函数的定义 1．（2022秋•金华期末）若是二次函数，则的值为　　 A． B．2 C． D． 【分析】利用二次函数定义可得：，且，再计算出的值即可． 【解答】解：是关于的二次函数， ，且， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数． 2．（2023秋•柯桥区月考）函数是二次函数，则　　． 【分析】根据二次函数的定义得到，解方程求出即可． 【解答】解：函数是关于的二次函数， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义：函数，、、为常数）叫二次函数． 3．（2022秋•西湖区校级月考）已知函数为常数），根据下列条件求的值： （1）是的一次函数； （2）是的二次函数． 【分析】根据一次函数和二次函数的定义可以解答． 【解答】解：（1）是的一次函数，则可以知道，，解之得：，或，又因为，所以，． （2）是的二次函数，只须， 和． 【点评】本题考查了一次函数与二次函数的定义，熟记概念是解答本题的关键． 题型二、列二次函数关系式 4．（九年级上·浙江·课后作业）正方形的边长为3，若边长增加x时，面积增加y，则y关于x的函数表达式为( ) A．y＝x2＋9 B．y＝(x＋3)2 C．y＝x2＋6x D．y＝9－3x2 【答案】C 【详解】原正方形的边长为3，增加x，则边长为3＋x，面积为(3＋x)2，∴y＝(3＋x)2－32＝9＋6x＋x2－9＝x2＋6x. 故选C. 5．（浙江杭州·中考真题）某函数满足当自变量时，函数值；当自变量时，函数值，写出一个满足条件的函数表达式 . 【答案】或或等. 【分析】由于题中没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，二次函数等方面考虑，只要符合题中的两个条件即可． 【详解】符合题意的函数解析式可以是或或等，(本题答案不唯一) 故答案为如或或等. 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的解析式，解题的关键是知道一次函数、二次函数的定义. 6．（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，矩形绿地的长、宽各增加，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式． 【答案】 【分析】根据题意可知，增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m，再由矩形面积公式求解即可． 【详解】解：∵矩形原来的长和宽分别为30m、20m，矩形绿地的长、宽各增加xm， ∴增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m， ∴. 【点睛】本题主要考查了从实际问题出抽象出二次函数，解题的关键在于能够熟练掌握矩形面积公式． 题型三、二次函数的识别 7．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．根据二次函数的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是正比例函数，故不符合题意； B．是二次函数，故符合题意； C．不是二次函数，故不符合题意； D．是一次函数，故不符合题意； 故选：B． 8．二次函数的二次项系数是 ． 【答案】 【分析】根据二次项系数的定义即可进行解答． 【详解】解：二次函数的二次项系数是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的相关定义，解题的关键是掌握二次函数中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 【答案】见解析 【分析】根据二次函数的定义，二次函数的解析式处理． 【详解】解： 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） 2 （2） 0 （3） 1 0 （4） 1 0 0 【点睛】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键． 题型四、根据二次函数的定义求参数 10．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）若函数是二次函数，即m的值是（　　） A． B．或3 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义及一元二次方程的解法，即可求解． 【详解】解∶∵函数是二次函数， ∴且， 解得∶． 故选∶D 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 11．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如果函数y=（k-2）+kx+1是关于x的二次函数，那么k的值是 ． 【答案】0 【分析】根据二次函数的定义得到k-2≠0且，然后解不等式和方程即可得到k的值． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，解得k=0，或k=2， ∵k-2≠0，∴k≠2， 所以k=0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了二次函数的定义． 12．（九年级·全国·课后作业）已知函数． (1)当m为何值时，y是x的二次函数? (2)当m为何值时，y是x的一次函数? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的概念，二次项的系数不为0，自变量的最高次数为2，求解即可； （2）根据一次函数的概念，一次项系数不为0，二次项的系数为0，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵y是x的二次函数， ∴， 解得：， ∴当时，y是x的二次函数． （2）解：y是x的一次函数， ∴，且 由得：， 由得：，， ∴， ∴当时，y是x的一次函数． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，列出关于m的方程或不等式． 分层练习 一、单选题 1．二次函数的常数项为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，根据常数项是指不含字母的项，即可解答． 【详解】二次函数的常数项为， 故选：D． 2．下列函数中，y关于x的二次函数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论，牢记二次函数的定义是解题的关键． 【详解】A、当时，不是二次函数，不符合题意； B、是二次函数，符合题意； C、不是二次函数，不符合题意； D、为一次函数，不符合题意． 故选：B． 3．下列函数解析式中，一定是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的识别，形如的函数是二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A，当时，，不是二次函数，不合题意； B，，是的一次函数，不合题意； C，，一定是的二次函数，符合题意； D，中含有分式，不是二次函数，不合题意； 故选C． 4．若表示是的二次函数，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的定义．根据二次函数的定义得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：表示是的二次函数， ， 解得． 故选：D． 5．长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先根据周长，将长方形的另一边表示出来，再根据长方形的面积=长×宽，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得： ∵长方形的周长为，其中一边为， ∴长方形的另一边长为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是掌握长方形的面积计算方法. 6．线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系 【答案】C 【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型． 【详解】解：由题意，得 ，属于正比例函数关系， ，属于二次函数关系， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 7．下列解析式中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数． 按照二次函数的定义逐个选项分析即可． 【详解】解：A、y是关于x的一次函数，故此选项不符合题意； B、y是关于x的二次函数，故此选项符合题意； C、y是关于x的反比例函数，故此选项不符合题意； D、x的最高次数是3，y不是关于x的二次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 8．若是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义等知识点，根据二次函数定义可得且，求解即可． 【详解】∵函数是关于x的二次函数， ∴且， 解得， 故选：B． 9．一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以（每次降价的百分率），列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是x， ∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是． 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 10．某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，与之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格，列出函数关系式即可求解． 【详解】解：每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格，则， 故选：C． 【点睛】本题考查了列二次函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 二、填空题 11．二次函数的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数一次项系数的定义，解答即可． 【详解】解：∵二次函数的一次项为， ∴二次函数的一次项系数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的系数，解本题的关键在熟练掌握二次函数一次项系数的定义．在中，二次项前面的系数叫做二次项系数，一次项前面的系数叫做一次项系数，叫做常数项． 12．下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是 ． 【答案】②④/④② 【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断． 【详解】解：①为一次函数； ②为二次函数； ③自变量次数为3，不是二次函数； ④为二次函数； ⑤函数式为分式，不是二次函数． 故答案为②④． 【点睛】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键． 13．二次函数的概念：一般的，形如 (是常数，)的函数叫做二次函数．其中 是自变量，分别是函数解析式的 、 、常数项． 【答案】 x 二次项系数 一次项系数 【分析】根据二次函数的概念可直接得出答案． 【详解】解：二次函数的概念：一般的，形如 (是常数，)的函数叫做二次函数．其中x是自变量，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项． 故答案为：x，二次项系数，一次项系数． 【点睛】本题考查了二次函数的概念，熟练掌握基础知识是解题的关键． 14．如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式． 【详解】解：由题意可得： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是根据题意，找到所求量的等量关系，此题主要利用了长方形的面积公式解题． 15．若是二次函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 16．已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键． 三、解答题 17．当为何值时，函数是二次函数． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：， 即当为时，函数是二次函数． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如的函数关系是解题的关键． 18．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 【答案】(1)、m=0；(2)、m≠0且m≠1. 【分析】根据一次函数与二次函数的定义求解． 【详解】解：（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m=0 解得m=0或m=1 又∵m﹣1≠0即m≠1； ∴当m=0时，这个函数是一次函数； （2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0 解得m1≠0，m2≠1 ∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数． 【点睛】考点：二次函数的定义；一次函数的定义 19．当系数a，b，c满足什么条件时，函数y=ax2+bx+c是二次函数？是一次函数？是正比例函数？ 【答案】a≠0，b和c为任意常数时是二次函数； a=0，b≠0，c为任意常数时是一次函数； a=0，b≠0，c=0时是正比例函数． 【分析】根据二次函数和一次函数、正比例函数定义进行解答即可． 【详解】解：函数y=ax2+bx+c中当a≠0，b和c为任意常数时该函数是二次函数， 当a=0，b≠0，c为任意常数时该函数是一次函数； 当a=0，b≠0，c=0时该函数是正比例函数． 【点睛】此题主要考查了二次函数和一次函数、正比例函数定义，熟练掌握三种函数定义是解题的关键． 20．已知函数． (1)当m为何值时，此函数是一次函数？ (2)当m为何值时，此函数是二次函数？ 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）根据一次函数的定义即可求解； （2）根据二次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得：； 当时，此函数是一次函数； （2）解：∵函数是二次函数， ∴， 解得：且， 当且时，此函数是二次函数． 【点睛】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如的函数关系称为一次函数；形如的函数关系称为二次函数是解题的关键． 21．某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 【答案】(1)()； (2)() 【分析】（1）根据与写成一次函数解析式，设为，把与的两对值代入求出与的值，即可确定出与的解析式，并求出的范围即可； （2）根据利润=单价销售量列出关于的二次函数解析式即可． 【详解】（1）设与的函数关系式为 ． 时，， 时，， ， 解得， ， 根据部门规定，得． （2） 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 22．荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元． (1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）． (2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式． (3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？ 【答案】(1) (2) (3)24元/千克 【分析】（1）根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论； （2）利用利润=（售价-成本）×销售量可得出结论； （3）令y=480，求出x的值，再根据题意对x的值进行取舍即可． 【详解】（1）根据题意得，降价后平均每天可以销售荔枝：（40+10x）千克， 故答案为：（40+10x）． （2）根据题意得， 整理得 （3）令，代入函数得， 解方程，得， 因为要尽可能地清空库存，所以舍去取 此时荔枝定价为（元/千克） 答：应将价格定为24元/千克． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，列代数式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 23．阅读下列材料，解决材料后的问题： 材料一：对于实数x、y，我们将x与y的“友好数”用f（x，y）表示，定义为：f（x）＝，例如17与16的友好数为f（17，16）＝＝． 材料二：对于实数x，用[x]表示不超过实数x的最大整数，即满足条件[x]≤x＜[x]+1，例如： [﹣1.5]＝[﹣1.6]＝﹣2，[0]＝[0.7]＝0，[2.2]＝[2.7]＝2，…… （1）由材料一知：x2+2与1的“友好数”可以用f（x2+2，1）表示，已知f（x2+2，1）＝2，请求出x的值； （2）已知[a﹣1]＝﹣3，请求出实数a的取值范围； （3）已知实数x、m满足条件x﹣2[x]＝，且m≥2x+，请求f（x，m2﹣m）的最小值． 【答案】（1）x＝±2；（2）﹣4≤a＜﹣2；（3）当m＝时，y有最大值是﹣，此时f（x，m2﹣m）有最小值，最小值是﹣． 【分析】（1）由题意得到，计算即可得到答案； （2）由题意得到，解不等式即可得到答案； （3）先由题意得到，则，设，由题意得到，设y＝﹣2m2+3m﹣4，根据二次函数的性质即可得到答案. 【详解】解：（1）∵f（x2+2，1）＝2， ∴， ∴x2＝4， ∴x＝±2； （2）∵[x]≤x＜[x]+1， ∴， 解得﹣4≤a＜﹣2； （3）∵x﹣2[x]＝， ∴[x]＝， ∴， ∴， 设， 又x＝2k+， ∴, ∴整数k＝﹣3， ∴x＝， 又， ∴f（x，m2﹣m）， ＝， ＝， ＝， 设y＝﹣2m2+3m﹣4， 则y＝﹣2（m）2， ∵﹣2＜0， ∴当m＝时，y有最大值是，此时f（x，m2﹣m）有最小值，最小值是＝﹣， 此时最小值为﹣． 【点睛】本题考查分式方程的计算和二次函数，解题的关键是读懂题意，掌握分式方程的计算和二次函数的性质. 24．如图，已知抛物线经过点A（，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于轴对称，点P是轴上的一个动点，设点P的坐标为（，0），过点P作轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD于点M． （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）点P在线段AB上运动的过程中，是否存在点Q，使得以B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）已知点F（0，），点P在轴上运动，试求当为何值时，以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】（1）；（2）存在点Q，使得以B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似，点Q的坐标为（3，2）或（，0）；（3）当或或或时，以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）根据题意可设抛物线的解析式为，得出a的值，再代入解析式即可； （2）存在点Q，使得以B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似，则分为以下两种情况①当∠DOB=∠MBQ=90°时，可以得到△MBQ∽△BPQ即可解答，②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′即可解答； （3）根据题意可知点D坐标为（0，），得到直线BD解析式为，因为QM⊥轴，P（，0），则，因为F，、D（0，），，所以当QM=DF，即时，以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形，即可解答. 【详解】（1）∵抛物线过点A（，0）、B（4，0）， ∴可设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点C（0，2）， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）存在点Q，使得以B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似. 如图所示： ∵QM∥DC， ∴∠ODB=∠QMB， 分以下两种情况： ①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ， 则， ∵∠MBQ=90°， ∴∠MBP+∠PBQ=90°， ∵∠MPB=∠BPQ=90°， ∴∠MBP+∠BMP=90°， ∴∠BMP=∠PBQ， ∴△MBQ∽△BPQ， ∴， ∵P（，0），B（4，0）， ∴BP，， ∴， 解得：， 当时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去， ∴，点Q的坐标为（3，2）； , ②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′， 此时m=-1，点Q的坐标为（，0）； 综上，点Q的坐标为（3，2）或（，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．    （3）∵点D与点C（0，2）关于轴对称， ∴点D坐标为（0，）， 设直线BD解析式为， 则有：，解得：， ∴直线BD解析式为， ∵QM⊥轴，P（，0）， ∴Q、M， 则， ∵F，、D（0，）， ∴， ∵QM∥DF， ∴当QM=DF，即时，以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形， 解得：m=-1或m=3或或， 即m=-1或m=3或或时，以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】此题综合考查了二次函数的性质，三角形相似和平行四边形的判断，解题关键在于熟练掌握各个知识点的性质，并且作出辅助线. 学科网（北京）股份有限公司 $$