5.2.1 基本初等函数的导数(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 第五章　一元函数的导数及其应用 5.2　导数的运算 5.2.1　基本初等函数的导数 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 学业标准 素养目标 1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝ eq \f(1,x) ，y＝ eq \r(x) 的导数(难点)． 2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用(重点)． 1.通过常用导数的推导的学习，培养数学运算等核心素养． 2．借助基本初等函数的导数的计算，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 01 课前案·自主学习 栏目导航 4687.psd 4693.psd 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 导学　基本初等函数的导数公式 已知函数：(1)y＝f(x)＝c；(2)y＝f(x)＝x；(3)y＝f(x)＝x2；(4)y＝f(x)＝ eq \f(1,x) ；(5)y＝f(x)＝ eq \r(x) . 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 　函数y＝f(x)＝c的导数是什么？ [提示]　∵ eq \f(Δy,Δx) ＝ eq \f(f(x＋Δx)－f(x),Δx) ＝ eq \f(c－c,Δx) ＝0， ∴y′＝ eq \o(lim,\s\do14(Δ x→0)) eq \f(Δy,Δx) ＝0. 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 　函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？ [提示]　由导数的定义得(2)x′＝1，(3)(x2)′＝2x， (4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))) ′＝－ eq \f(1,x2) ，(5)( eq \r(x) )′＝ eq \f(1,2\r(x)) . 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 　函数(2)(3)(5)均可表示为y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？ [提示]　∵(2)x′＝1·x1－1，(3)(x2)′＝2·x2－1， (5)( eq \r(x) )′＝(x eq \s\up16(\f(1,2)) )′＝ eq \f(1,2) x eq \s\up16(\f(1,2) -1) ＝ eq \f(1,2\r(x)) ， ∴(xα)′＝αxα－1. 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 0 αxα－1 cos x －sin x ◎结论形成 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝____ f(x)＝xα(α∈R且α≠0) f′(x)＝_______ f(x)＝sin x f′(x)＝_________ f(x)＝cos x f′(x)＝___________ 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * axln a ex f(x)＝ax f′(x)＝_________(a>0，且a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝______ f(x)＝logax f′(x)＝ eq \f(1,x ln a) (a>0，且a≠1) f(x)＝ln x f′(x)＝ eq \f(1,x) 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(π,3))) ′＝cos eq \f(π,3) .(　　) (2)因为(ln x)′＝ eq \f(1,x) ，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))) ′＝ln x．(　　) (3)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．(　　) (4)函数f(x)图象上在某点处可能存在两条切线．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 2．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 答案　C 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 3．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于(　　) A． eq \f(1,10) B．10 C．10ln 10 D． eq \f(1,10ln 10) 答案　C 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 4．已知f(x)＝cos x，则f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) ＝________． 答案　－ eq \f(\r(3),2) 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 02 课堂案·互动探究 栏目导航 4688.psd 4699.psd 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 题型一　利用导数公式求函数的导数 　(1)y＝x12；(2)y＝ eq \f(1,x4) ；(3)y＝ eq \r(5,x3) ； (4)y＝3x；(5)y＝log5x. 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * [解析]　(1)y′＝(x12)′＝12x11； (2)y′＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x4))) ′＝(x－4)′＝－4x－5＝－ eq \f(4,x5) ； (4)y′＝(3x)′＝3xln 3； (5)y′＝(log5x)′＝ eq \f(1,x ln 5) . 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解． 2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误． 3．要特别注意“ eq \f(1,x) 与ln x”“ax与logax”“sin x与cos x”的导数区别． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * [触类旁通] 1．若f(x)＝x3，g(x)＝log3x, 则f′(x)－g′(x)＝________． 解析　∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝ eq \f(1,x ln 3) ， ∴f′(x)－g′(x)＝3x2－ eq \f(1,x ln 3) . 答案　3x2－ eq \f(1,x ln 3) 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 题型二　求函数在某点处的导数 　质点的运动方程是s＝sin t. (1)求质点在t＝ eq \f(π,3) 时的速度； (2)求质点运动的加速度． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * [解析]　(1)v(t)＝s′(t)＝cos t， ∴v eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) ＝cos eq \f(π,3) ＝ eq \f(1,2) . 即质点在t＝ eq \f(π,3) 时的速度为 eq \f(1,2) . (2)∵v(t)＝cos t， ∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数． 2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * [触类旁通] 2．(1)求函数f(x)＝ eq \f(1,\r(3,x)) 在点(1，1)处的导数； (2)求函数f(x)＝cos x在点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(\r(2),2))) 处的导数． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 解析　(1)∵f′(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x)))) ′＝(x eq \s\up6(－\f(1,3)) )′＝－ eq \f(1,3) x eq \s\up6(－\f(4,3)) ＝－ eq \f(1,3\r(3,x4)) ， ∴f′(1)＝－ eq \f(1,3\r(3,1)) ＝－ eq \f(1,3) . (2)∵f′(x)＝－sin x，∴f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))) ＝－sin eq \f(π,4) ＝－ eq \f(\r(2),2) . 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 题型三　利用导数公式求曲线的切线方程(一题多变) 　已知点P(－1，1)，点Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * [解析]　因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则＝2x0， 又因为直线PQ的斜率为k＝ eq \f(4－1,2＋1) ＝1，而切线平行于直线PQ， 所以k＝2x0＝1，即x0＝ eq \f(1,2) ，所以切点为M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4))) . 所以所求的切线方程为y－ eq \f(1,4) ＝x－ eq \f(1,2) ，即4x－4y－1＝0. 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * [母题变式] (变结论)在本例中是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，请说明理由． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 解析　假设存在与直线PQ垂直的切线， 因为PQ的斜率为k＝ eq \f(4－1,2＋1) ＝1， 所以与PQ垂直的切线斜率k′＝－1， 设切点为(x′0，y′0)，则＝2x′0， 令2x′0＝－1，则x′0＝－ eq \f(1,2) ，y′0＝ eq \f(1,4) ， 切线方程为y－ eq \f(1,4) ＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2))) ，即4x＋4y＋1＝0. 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * [素养聚焦] 通过利用导数求曲线的切线方程问题，把逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 求曲线方程或切线方程的三点注意 (1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率； (3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * [触类旁通] 3．已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，求c的值． 解析　设切点为(x0，ln x0)，由y＝ln x得y′＝ eq \f(1,x) . 因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线为x－y＋c＝0，其斜率为1. 所以＝ eq \f(1,x0) ＝1，即x0＝1， 所以切点为(1，0). 所以1－0＋c＝0，所以c＝－1. 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 知识落实 技法强化 (1)常用函数的导数． (2)基本初等函数的导数公式及应用． (3)利用导数研究曲线的切线方程． (1)牢记和运用好导数公式．能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． (2)有些函数可先化简再应用公式求导． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 03 课后案·学业评价 点击进入Word 栏目导航 4969.psd 4972.psd 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 谢谢观看 4691.psd $$