5.1.2 第2课时 导数的几何意义(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 第五章　一元函数的导数及其应用 5.1.2　导数的概念及其几何意义 第2课时　导数的几何意义 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 01 课前案·自主学习 栏目导航 4687.psd 4693.psd 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 导学1　导数的几何意义 　函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为 eq \f(Δy,Δx) ，你能说出它的几何意义吗？ [提示]　表示过P0(x0，f(x0))和P(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的割线P0P的斜率． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 　当Δx变化时，直线如何变化？ [提示]　直线P0P绕点P转动． 　当Δx→0时，直线变化到哪里？ [提示]　直线过点P与曲线y＝f(x)相切位置． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * P0(x0，f(x0)) 确定 点P0 ◎结论形成 1．切线的定义 如图，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点________________时，割线P0P无限趋近于一个________的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在________处的切线． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 切线的斜率 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是______________． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 导函数 y′ 导学2　导数 对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0) 是一个唯一确定的数．当x变化时，f′(x) 就是x的一个函数，我们称它为y＝f(x)的__________(简称导数).y＝f(x)的导函数有时也记作______， 即f′(x)＝y′＝_________________________． eq \o(lim,\s\do14(Δ x→0)) eq \f(f(x＋Δx)－f(x),Δx) 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数．(　　) (2)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．(　　) (3)函数f(x)＝0没有导函数．(　　) (4)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 2．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2，8)，则点A处的切线斜率为(　　) A．4　　　　　　　　 B．16 C．8 D．2 答案　C 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 3．已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 解析　由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)<f′(xB)，故选B. 答案　B 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 4．曲线y＝ eq \f(1,x) 在点P(1，1)处的切线方程为________． 答案　x＋y－2＝0 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 02 课堂案·互动探究 栏目导航 4688.psd 4699.psd 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 题型一　求曲线在某点处切线的方程(一题多变) 　已知曲线C：y＝x3.求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程． [解析]　将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1，1). ∴y′＝ eq \o(lim,\s\do14(Δ x→0)) eq \f(Δy,Δx) ＝ eq \o(lim,\s\do14(Δ x→0)) eq \f((1＋Δx)3－1,Δx) ＝ eq \o(lim,\s\do14(Δ x→0)) [3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.∴k＝3. ∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0. 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * [母题变式] (变结论)例题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？ 解析　由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3x－2，,y＝x3，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－8，)) 从而求得公共点为P(1，1)或M(－2，－8)， 即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8). 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 (1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)； (2)写出切线方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0). [注意]　若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为 eq \f(π,2) ，此时所求的切线平行于y轴，所以直线的切线方程为x＝x0. 2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * [触类旁通] 1．若函数f(x)在点A(1，2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________． 解析　∵切线的斜率为k＝－1. ∴点A(1，2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋y－3＝0. 答案　x＋y－3＝0 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 题型二　求切点坐标 　已知曲线f(x)＝x2＋6在点P处的切线平行于直线4x－y－3＝0，求点P的坐标． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * [解析]　设切点P的坐标为(x0，y0). f′(x)＝ eq \o(lim,\s\do14(Δ x→0)) eq \f(f(x＋Δx)－f(x),Δx) ＝ eq \o(lim,\s\do14(Δ x→0)) eq \f((x＋Δx)2＋6－(x2＋6),Δx) ＝ eq \o(lim,\s\do14(Δ x→0)) (2x＋Δx)＝2x. 所以点P在(x0，y0)处的切线的斜率为2x0. 因为切线与直线4x－y－3＝0平行， 所以2x0＝4，x0＝2，y0＝x eq \o\al(2,0) ＋6＝10，即切点为(2，10). 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0)； (2)求导函数f′(x)； (3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * [触类旁通] 2．若抛物线y＝4x2上的点P到直线y＝4x－5的距离最短，则点P的坐标为________． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 解析　由点P到直线y＝4x－5的距离最短知，抛物线y＝4x2在点P处的切线与直线y＝4x－5平行． y′＝ eq \o(lim,\s\do14(Δ x→0)) eq \f(Δy,Δx) ＝ eq \o(lim,\s\do14(Δ x→0)) eq \f(4(x＋Δx)2－4x2,Δx) ＝ eq \o(lim,\s\do14(Δ x→0)) (8x＋4Δx)＝8x. 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8x＝4，,y＝4x2，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝1.)) 故点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) . 答案　 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 题型三　求曲线过某点的切线方程 　已知曲线f(x)＝ eq \f(1,x) . (1)求曲线过点A(1，0)的切线方程； (2)求满足斜率为－ eq \f(1,3) 的曲线的切线方程． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * [解析]　(1)f′(x)＝ eq \o(lim,\s\do14(Δ x→0)) eq \f(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x),Δx) ＝ eq \o(lim,\s\do14(Δ x→0)) eq \f(1,(x＋Δx)x) ＝－ eq \f(1,x2) . 设过点A(1，0)的切线的切点为P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,x0))) ， 则f′(x0)＝－eq \o\al(2,0) eq \f(1,x) ， 即该切线的斜率为k＝－eq \o\al(2,0) eq \f(1,x) . 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 因为点A(1，0)，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,x0))) 在切线上， 所以 eq \f(\f(1,x0)－0,x0－1) ＝－eq \o\al(2,0) eq \f(1,x) ， 解得x0＝ eq \f(1,2) .故切线的斜率k＝－4. 故曲线过点A(1，0)的切线方程为y＝－4(x－1)， 即4x＋y－4＝0. 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * (2)设斜率为－ eq \f(1,3) 的切线的切点为Q eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a))) ， 由(1)知，k＝f′(a)＝－ eq \f(1,a2) ＝－ eq \f(1,3) ，得a＝± eq \r(3) . 所以切点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),3))) 或 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，－\f(\r(3),3))) . 故满足斜率为－ eq \f(1,3) 的曲线的切线方程为 y－ eq \f(\r(3),3) ＝－ eq \f(1,3) (x－ eq \r(3) )或y＋ eq \f(\r(3),3) ＝－ eq \f(1,3) (x＋ eq \r(3) )， 即x＋3y－2 eq \r(3) ＝0或x＋3y＋2 eq \r(3) ＝0. 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * [素养聚焦] 利用“在切点”与“过切点”的切线方程的求解，把逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 1．注意区分“在点A”与“过点A”，“过点A”其切点未必是点P. 2．“过点A(a，b)”时，设出切点坐标M(x0，y0)，利用切点M既在曲线上，又在切线上，联立方程组，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝f(x0)，,y0－a＝f′(x0)(x0－b))) 求出切点M. 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * [触类旁通] 3．求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1，0)的切线方程． 解析　设切点为Q(a，a2＋1)， eq \f(f(a＋Δx)－f(a),Δx) ＝ eq \f((a＋Δx)2＋1－(a2＋1),Δx) ＝2a＋Δx， 所以所求切线的斜率为k＝ eq \o(lim,\s\do14(Δ x→0)) (2a＋Δx)＝2a. 因此， eq \f((a2＋1)－0,a－1) ＝2a，解得a＝1± eq \r(2) ， 所求的切线方程为y＝(2＋2 eq \r(2) )x－(2＋2 eq \r(2) )或 y＝(2－2 eq \r(2) )x－(2－2 eq \r(2) ). 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 知识落实 技法强化 (1)导数的几何意义． (2)求曲线在某点处的切线方程和切点坐标． (3)求曲线过某点的切线方程． 利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，或利用已知直线上两点坐标的斜率公式，求出切点． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 03 课后案·学业评价 点击进入Word 栏目导航 4969.psd 4972.psd 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 谢谢观看 4691.psd $$