4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

栏目导航 第四章　数 列 * 第四章　数 列 4.2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前 n 项和 栏目导航 第四章　数 列 * 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第四章　数 列 * 学业标准 素养目标 1．了解等差数列前n项和公式的推导过程，掌握等差数列五个量a1，n，d，an，Sn之间的关系．(重点) 2．掌握等差数列前n项和公式、性质及其应用．(难点) 3．能利用等差数列前n项和解决实际问题． 1．通过对等差数列前n项和的推导，培养逻辑推理、数学运算等核心素养． 2．借助等差数列的前n项和公式及性质的应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 3．通过等差数列中的实际问题，培养数学建模等核心素养． 栏目导航 第四章　数 列 * 01 课前案·自主学习 栏目导航 4687.psd 4693.psd 栏目导航 第四章　数 列 * 导学　等差数列的前n项和 　如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根． 栏目导航 第四章　数 列 * (1)共有几层？图形的横截面是什么形状？ (2)假设在这堆钢管旁边再倒放上捆扎着的同样的一堆钢管，如图所示，则这样共有多少根钢管？ (3)原来有多少根钢管？ (4)能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn＝a1＋a2＋…＋an? (5)试用a1，d，n表示Sn. 栏目导航 第四章　数 列 * [提示]　(1)六层，等腰梯形．(2)(4＋9)×6＝78. (3) eq \f(1,2) ×78＝39. (4)能．Sn＝a1＋a2＋…＋an，Sn＝an＋an－1＋…＋a1， 相加，得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)， ∴Sn＝ eq \f(n(a1＋an),2) . (5)∵an＝a1＋(n－1)d，∴Sn＝ eq \f(n[a1＋a1＋(n－1)d],2) ＝na1＋ eq \f(n(n－1),2) d. 栏目导航 第四章　数 列 * ◎结论形成 　等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用公式 Sn＝______________ Sn＝____________________ eq \f(n(a1＋an),2) na1＋ eq \f(n(n－1),2) d 栏目导航 第四章　数 列 * 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知等差数列的首项、公差，可求S10.(　　) (2)在等差数列中涉及a1，d，n，an，Sn五个量，知道其中三个，可求出另外两个．(　　) (3)在等差数列{an}中，若a1＝2，a9＝10，则S9＝45.(　　) (4)公式an＝Sn－Sn－1成立的条件是n∈N*.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　 (4)× 栏目导航 第四章　数 列 * 2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　) A．13　　　　　　　 B．35 C．49 D．63 解析　∵a2＋a6＝a1＋a7＝14， ∴S7＝ eq \f(7(a1＋a7),2) ＝49. 答案　C 栏目导航 第四章　数 列 * 3．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是(　　) A．12 B．24 C．36 D．48 解析　由S10＝ eq \f(10(a1＋a10),2) ＝120，得a1＋a10＝24. 答案　B 栏目导航 第四章　数 列 * 4．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝__________． 解析　因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得3d＝6，得d＝2. 答案　2 栏目导航 第四章　数 列 * 02 课堂案·互动探究 栏目导航 4688.psd 4699.psd 栏目导航 第四章　数 列 * 题型一　等差数列前n项和的有关计算(一题多解) 　在等差数列{an}中． (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8； (2)已知a2＋a4＝ eq \f(48,5) ，求S5. 栏目导航 第四章　数 列 * [解析]　(1)法一　∵a6＝10，S5＝5， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∴a1＋5d＝10，,5a1＋10d＝5，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝3.)) ∴a8＝a6＋2d＝16. 法二　∵S6＝S5＋a6＝15，∴15＝ eq \f(6(a1＋a6),2) ，即3(a1＋10)＝15. ∴a1＝－5，d＝ eq \f(a6－a1,5) ＝3. ∴a8＝a6＋2d＝16. 栏目导航 第四章　数 列 * (2)法一　a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝ eq \f(48,5) ， 所以a1＋2d＝ eq \f(24,5) . 所以S5＝5a1＋ eq \f(1,2) ×5×(5－1)d＝5a1＋2×5d ＝5(a1＋2d)＝5× eq \f(24,5) ＝24. 栏目导航 第四章　数 列 * 法二　a2＋a4＝a1＋a5，所以a1＋a5＝ eq \f(48,5) . 因为Sn＝ eq \f(n(a1＋an),2) ， 所以S5＝ eq \f(5×(a1＋a5),2) ＝ eq \f(5,2) × eq \f(48,5) ＝24. 栏目导航 第四章　数 列 * 1．本题解答中，第(1)小题法一运用了方程的思想，属基本运算，通性通法；法二使用了Sn＝Sn－1＋an.第(2)小题因为条件只有一个，所以运用整体代换的思想． 2．由于Sn＝ eq \f(n(a1＋an),2) ，故计算时考虑一下“a1＋an”这个小团体是否可以借助等差数列的性质求解． 3．等差数列的通项公式和前n项和公式共涉及“a1，an，d，n及Sn”五个量，反映了“知三求二”的方程思想． 栏目导航 第四章　数 列 * [触类旁通] 1．在等差数列{an}中． (1)已知a1＝ eq \f(3,2) ，d＝－ eq \f(1,2) ，Sm＝－15，求m及am； (2)已知a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d； (3)已知S5＝24，求a2＋a4. 栏目导航 第四章　数 列 * 解析　(1)∵Sm＝m· eq \f(3,2) ＋ eq \f(m(m－1),2) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) ＝－15，整理，得m2－7m－60＝0，解得m＝12或m＝－5(舍去)， ∴am＝a12＝ eq \f(3,2) ＋(12－1)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) ＝－4. (2)由Sn＝ eq \f(n(a1＋an),2) ＝ eq \f(n·(－512＋1),2) ＝－1 022， 得n＝4，又由an＝a1＋(n－1)d， 即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171. 栏目导航 第四章　数 列 * (3)法一　设等差数列的首项为a1，公差为d，则S5＝5a1＋ eq \f(5×(5－1),2) d＝24，得5a1＋10d＝24，a1＋2d＝ eq \f(24,5) . ∴a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2× eq \f(24,5) ＝ eq \f(48,5) . 法二　由S5＝ eq \f(5(a1＋a5),2) ＝24，得a1＋a5＝ eq \f(48,5) . ∴a2＋a4＝a1＋a5＝ eq \f(48,5) . 栏目导航 第四章　数 列 * 题型二　an与Sn的关系的应用(一题多变) 　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n. (1)求a1及an； (2)判断这个数列是否是等差数列． 栏目导航 第四章　数 列 * [解析]　(1)因为Sn＝2n2－30n，所以当n＝1时， a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 经验证当n＝1时上式成立，所以an＝4n－32. (2)由an＝4n－32，得an－1＝4(n－1)－32(n≥2)， 所以an－an－1＝4n－32－[4(n－1)－32]＝4(常数)， 所以数列{an}是等差数列． 栏目导航 第四章　数 列 * [母题变式] (变条件、变结论)将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an并判断数列{an}是否是等差数列． 栏目导航 第四章　数 列 * 解析　因为Sn＝2n2－30n＋1，所以当n＝1时， a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27， 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32. 经验证当n＝1时上式不成立， 所以an＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－27，n＝1，,4n－32，n≥2，)) 所以数列{an}不是等差数列． 栏目导航 第四章　数 列 * 利用Sn判断{an}是否为等差数列 如果数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}成等差数列． 栏目导航 第四章　数 列 * [触类旁通] 2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋3n＋1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)问数列{an}是否为等差数列？ 栏目导航 第四章　数 列 * 解析　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋3n＋1)－[－2(n－1)2＋3(n－1)＋1]＝－4n＋5.又当n＝1时，a1＝2不满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,－4n＋5，n≥2.)) (2)由(1)知，当n≥2时，an＋1－an＝－4(n＋1)＋5－(－4n＋5)＝－4，但a2－a1＝－3－2＝－5，所以数列{an}不是等差数列． 栏目导航 第四章　数 列 * 题型三　等差数列前n项和的性质 　(1)已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为(　　) A．130　　　　　　　 B．170 C．210 D．260 (2)已知等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n))) 的前10项和为__________． 栏目导航 第四章　数 列 * [解析]　(1)利用等差数列的性质，知S3，S6－S3，S9－S6成等差数列． 所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)， 即30＋(S9－100)＝2(100－30)，解得S9＝210. (2)因为an＝2n＋1，所以a1＝3，所以Sn＝ eq \f(n(3＋2n＋1),2) ＝n2＋2n， 所以 eq \f(Sn,n) ＝n＋2，所以 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n))) 是公差为1，首项为3的等差数列， 所以数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n))) 的前10项和为3×10＋ eq \f(10×9,2) ×1＝75. 答案　(1)C　(2)75 栏目导航 第四章　数 列 * [素养聚焦] 通过等差数列的前n项和的性质的应用，把逻辑推理和数学运算等核心素养体现在解题过程中． 栏目导航 第四章　数 列 * 等差数列前n项和的常用性质 (1)等差数列的连续n项的和仍成等差数列，即Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等差数列． (2)数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n))) 是等差数列，公差为数列{an}的公差的 eq \f(1,2) . (3)若{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn与S′n，则 eq \f(an,bn) ＝ eq \f(S2n－1,S′2n－1) . 栏目导航 第四章　数 列 * [触类旁通] 3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________． 解析　数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6).因为S3＝9，S6－S3＝27，所以S9－S6＝45，所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45. 答案　45 栏目导航 第四章　数 列 * 4．在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中， eq \f(S奇,S偶) ＝ eq \f(11,13) ，则公差d＝________． 解析　由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S奇＋S偶＝120，,\f(S奇,S偶)＝\f(11,13))) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S奇＝55，,S偶＝65，)) 所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2. 答案　2 栏目导航 第四章　数 列 * 知识落实 技法强化 (1)等差数列前n项和公式的推导过程与基本计算． (2)an与Sn的应用． (3)等差数列前n项和的性质． 在等差数列中常涉及倒序相加法、公式法、整体代换法．由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论． 栏目导航 第四章　数 列 * 03 课后案·学业评价 点击进入Word 栏目导航 4969.psd 4972.psd 栏目导航 第四章　数 列 * 谢谢观看 4691.psd $$