4.1 第2课时 数列的递推公式与数列的和(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

栏目导航 第四章　数 列 * 第四章　数 列 4.1　数列的概念 第2课时　数列的递推公式与数列的和 栏目导航 第四章　数 列 * 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第四章　数 列 * 01 课前案·自主学习 栏目导航 4687.psd 4693.psd 栏目导航 第四章　数 列 * 导学1　数列的递推关系 　某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位． (1)写出前五排座位数； (2)第n排与第n＋1排座位数有何关系？ (3)第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式表示吗？ 栏目导航 第四章　数 列 * [提示]　(1)20，22，24，26，28. (2)第n＋1排比第n排多2个座位． (3)能．an＋1＝an＋2. 栏目导航 第四章　数 列 * 两项或多项 ◎结论形成 数列的递推公式：如果一个数列的相邻______________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式． 栏目导航 第四章　数 列 * 导学2　数列的前n项和Sn与an的关系 　已知一个数列的前9项的和为90，前10项的和为120，你能求出第10项吗？ [提示]　能. 第10项是30. 栏目导航 第四章　数 列 * a1＋a2＋…＋an Sn－Sn－1 ◎结论形成 1．数列的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝____________________． 2．数列中an与Sn的关系：an＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,__________，n≥2.)) 栏目导航 第四章　数 列 * 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)递推公式也是表示数列的一种方法．(　　) (2)所有数列都有递推公式．(　　) (3)仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列．(　　) (4)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4) × 栏目导航 第四章　数 列 * 2．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝ eq \f(2,an) ＋1，则这个数列的第2项是(　　) A． eq \f(11,7) 　　 B．3　　 C． eq \f(21,11) 　 　 D．6 答案　B 栏目导航 第四章　数 列 * 3．数列 eq \f(1,2) ， eq \f(1,4) ， eq \f(1,8) ， eq \f(1,16) ，…的递推公式可以是(　　) A．an＝ eq \f(1,2n＋1) (n∈N*) B．an＝ eq \f(1,2n) (n∈N*) C．an＋1＝ eq \f(1,2) an(n∈N*) D．an＋1＝2an(n∈N*) 解析　数列从第2项起，后一项是前一项的 eq \f(1,2) ， 故递推公式为an＋1＝ eq \f(1,2) an(n∈N*). 答案　C 栏目导航 第四章　数 列 * 4．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋5，则a2＝__________． 答案　2 栏目导航 第四章　数 列 * 02 课堂案·互动探究 栏目导航 4688.psd 4699.psd 栏目导航 第四章　数 列 * 题型一　数列中项的判断 　已知数列{an}的通项公式是an＝ eq \f(n2,n2＋1) . (1)写出该数列的第4项和第7项； (2)试判断 eq \f(9,10) 和 eq \f(1,10) 是否是该数列中的项，若是，求出它是第几项；若不是，请说明理由． 栏目导航 第四章　数 列 * [解析]　(1)由通项公式an＝ eq \f(n2,n2＋1) 可得a4＝ eq \f(42,42＋1) ＝ eq \f(16,17) ， a7＝ eq \f(72,72＋1) ＝ eq \f(49,50) . (2)令 eq \f(n2,n2＋1) ＝ eq \f(9,10) ，得n2＝9，所以n＝3(n＝－3舍去)，故 eq \f(9,10) 是该数列中的项，并且是第3项；令 eq \f(n2,n2＋1) ＝ eq \f(1,10) ，得n2＝ eq \f(1,9) ，所以n＝± eq \f(1,3) ，由于± eq \f(1,3) 都不是正整数，因此 eq \f(1,10) 不是数列中的项． 栏目导航 第四章　数 列 * 1．数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项；反过来，判断一个数是不是一个数列中的项，要看以n为未知数的方程有没有正整数解，有正整数解就是，否则就不是． 2．解决是否存在型问题，可先假设存在，然后代入条件或参数的值或范围，若符合题意，则存在，若不符合题意，则不存在． 栏目导航 第四章　数 列 * [触类旁通] 1．已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出此数列的第4项和第6项； (2)问－49是否是该数列的项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的项呢？ 栏目导航 第四章　数 列 * 解析　(1)a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60. (2)由3n2－28n＝－49解得n＝7或n＝ eq \f(7,3) (舍去)， 所以－49是该数列的第7项； 由3n2－28n＝68解得n＝－2或n＝ eq \f(34,3) ，均不合题意，所以68不是该数列的项． 栏目导航 第四章　数 列 * 题型二　数列的递推公式 　(1)已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝ eq \f(1,2) an＋ eq \f(1,2n) ，则此数列的第3项是(　　) A．1　　　　　　　　 B． eq \f(1,2) C． eq \f(3,4) D． eq \f(5,8) 栏目导航 第四章　数 列 * (2)(2024·武汉模拟)已知数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an)) 中，a1＝2，且满足an＋1＝ eq \f(1,1－an) (n∈N*)，则a2 024＝(　　) A．2 B．－1 C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,2 022) 栏目导航 第四章　数 列 * [答案]　(1)C　(2)B [解析]　(1)a1＝1，a2＝ eq \f(1,2) a1＋ eq \f(1,2) ＝1，a3＝ eq \f(1,2) a2＋ eq \f(1,2×2) ＝ eq \f(3,4) . (2)因为a1＝2且an＋1＝ eq \f(1,1－an) (n∈N*)， 所以a2＝ eq \f(1,1－a1) ＝ eq \f(1,1－2) ＝－1，a3＝ eq \f(1,1－a2) ＝ eq \f(1,1－(－1)) ＝ eq \f(1,2) ， a4＝ eq \f(1,1－a3) ＝ eq \f(1,1－\f(1,2)) ＝2， 所以{ an}是周期为3的周期数列，所以a2 024＝a3×674＋2＝a2＝－1， 故选B. 栏目导航 第四章　数 列 * 由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可． (2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． (3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式． [注意]　由递推公式写出数列的项时，易忽视数列的周期的判断，导致陷入思维误区． 栏目导航 第四章　数 列 * [触类旁通] 2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ eq \f(n,n＋1) an. (1)写出数列{an}的前5项； (2)猜想数列{an}的通项公式； (3)画出数列{an}的图象． 栏目导航 第四章　数 列 * 解析　(1)a1＝1，a2＝ eq \f(1,1＋1) ×1＝ eq \f(1,2) ，a3＝ eq \f(2,1＋2) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,3) ， a4＝ eq \f(3,1＋3) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(1,4) ，a5＝ eq \f(4,1＋4) × eq \f(1,4) ＝ eq \f(1,5) ， (2)猜想：an＝ eq \f(1,n) . (3)图象如图所示： 栏目导航 第四章　数 列 * 题型三　由递推公式求通项公式 　(1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋ eq \f(1,n(n＋1)) ，n∈N*，求通项公式an； (2)设数列{an}中，a1＝1，an＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n))) an－1(n≥2)，求通项公式an. 栏目导航 第四章　数 列 * [解析]　(1)∵an＋1－an＝ eq \f(1,n(n＋1)) ， ∴a2－a1＝ eq \f(1,1×2) ；a3－a2＝ eq \f(1,2×3) ；a4－a3＝ eq \f(1,3×4) ； … an－an－1＝ eq \f(1,(n－1)n) (n≥2). 栏目导航 第四章　数 列 * 以上各式累加得，an－a1＝ eq \f(1,1×2) ＋ eq \f(1,2×3) ＋…＋ eq \f(1,(n－1)n) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2))) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3))) ＋…＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n))) ＝1－ eq \f(1,n) (n≥2). ∴an＋1＝1－ eq \f(1,n) (n≥2)， ∴an＝－ eq \f(1,n) (n≥2). 又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，∴an＝－ eq \f(1,n) (n∈N*). 栏目导航 第四章　数 列 * (2)∵a1＝1，an＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n))) an－1(n≥2)， ∴ eq \f(an,an－1) ＝ eq \f(n－1,n) (n≥2)， an＝ eq \f(an,an－1) × eq \f(an－1,an－2) × eq \f(an－2,an－3) ×…× eq \f(a3,a2) × eq \f(a2,a1) ×a1＝ eq \f(n－1,n) × eq \f(n－2,n－1) × eq \f(n－3,n－2) ×…× eq \f(2,3) × eq \f(1,2) ×1＝ eq \f(1,n) (n≥2). 又∵n＝1时，a1＝1，符合上式， ∴an＝ eq \f(1,n) (n∈N*). 栏目导航 第四章　数 列 * 由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即： (1)累加法：当an＝an－1＋f(n)(n≥2)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－ an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式． (2)累乘法：当 eq \f(an,an－1) ＝g(n)(n≥2)时，常用an＝ eq \f(an,an－1) · eq \f(an－1,an－2) ·…· eq \f(a2,a1) ·a1求通项公式． 栏目导航 第四章　数 列 * [触类旁通] 3．已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求an. 解析　因为ln an－ln an－1＝1，所以ln eq \f(an,an－1) ＝1，即 eq \f(an,an－1) ＝e(n≥2). 所以an＝ eq \f(an,an－1) · eq \f(an－1,an－2) ·…· eq \f(a2,a1) ·a1 又a1＝1也符合上式，所以an＝en－1，n∈N*. 栏目导航 第四章　数 列 * 题型四　利用Sn与an 的关系求通项公式(一题多变) 　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝n2－10n.求a1及an. [解析]　因为Sn＝n2－10n，所以当n＝1时， a1＝S1＝12－10×1＝－9， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11. 经验证当n＝1时上式成立， 所以an＝2n－11. 栏目导航 第四章　数 列 * [母题变式] (变条件)将本例的条件“Sn＝n2－10n”改为“Sn＝n2－10n＋1”，其他条件不变，求an. 解析　因为Sn＝n2－10n＋1，所以当n＝1时， a1＝S1＝12－10×1＋1＝－8，当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝n2－10n＋1－[(n－1)2－10(n－1)＋1]＝2n－11. 经验证当n＝1时上式不成立， 所以an＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－8，n＝1，,2n－11，n≥2.)) 栏目导航 第四章　数 列 * [素养聚焦] 通过利用Sn与an 的关系求通项公式，把逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 栏目导航 第四章　数 列 * 已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤： (1)当n＝1时，a1＝S1. (2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1. (3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.)) 栏目导航 第四章　数 列 * [触类旁通] 4．已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an. (1)Sn＝2n2＋3n＋2； (2)Sn＝3n－1. 栏目导航 第四章　数 列 * 解析　(1)当n＝1时，a1＝S1＝7， 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n＋2)－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1， 又a1＝7不适合上式， 所以an＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7，n＝1，,4n＋1，n≥2.)) 栏目导航 第四章　数 列 * (2)当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1， 显然a1适合上式， 所以an＝2×3n－1(n∈N*). 栏目导航 第四章　数 列 * 知识落实 技法强化 (1)数列的递推公式． (2)数列的前n项和Sn与an的关系． 累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式；由Sn求an时忽略验证n＝1时的情况． 栏目导航 第四章　数 列 * 03 课后案·学业评价 点击进入Word 栏目导航 4969.psd 4972.psd 栏目导航 第四章　数 列 * 谢谢观看 4691.psd $$