4.1 第1课时 数列的概念与简单表示法(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

栏目导航 第四章　数 列 * 第四章　数 列 4.1　数列的概念 第1课时　数列的概念与简单表示法 栏目导航 第四章　数 列 * 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第四章　数 列 * 学业标准 素养目标 1．理解数列的概念，了解数列的函数特性． 2．掌握数列的通项公式及应用． (重点) 3．理解递推公式并能应用．(难点) 4．掌握数列前n项和的概念，能由Sn求an.(重点) 1．通过数列概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过学习递推公式，培养逻辑推理等核心素养． 3．通过由Sn求an，培养数学运算、逻辑推理等核心素养． 栏目导航 第四章　数 列 * 01 课前案·自主学习 栏目导航 4687.psd 4693.psd 栏目导航 第四章　数 列 * 导学1　数列的概念 观察下列示例，回答后面问题． (1)正整数1，2，3，4，5，6的倒数依次是1， eq \f(1,2) ， eq \f(1,3) ， eq \f(1,4) ， eq \f(1,5) ， eq \f(1,6) . (2)－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂依次是－2，4，－8，16. 栏目导航 第四章　数 列 * (3)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，2072，…. (4)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为 eq \f(1,2) ， eq \f(1,4) ， eq \f(1,8) ， eq \f(1,16) ， eq \f(1,32) ，…. 栏目导航 第四章　数 列 * 　观察上面4个例子，它们都涉及了一些数，这些数的呈现有什么特点？ [提示]　按照一定的顺序排列． 栏目导航 第四章　数 列 * 顺序 每一个数 首项 {an} ◎结论形成 (1)定义：按照确定的________排列的一列数称为数列． (2)项：数列中的____________叫做这个数列的项．a1称为数列{an}的第1项(或称为________)，a2称为第2项，…，an称为第n项． (3)数列的表示：数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为__________． 栏目导航 第四章　数 列 * 导学2　数列的分类 　观察“导学1”中4个例子对应的数列，它们的项数分别是多少？这些数列从第2项起每一项与它前一项的大小关系又是怎样的？ [提示]　数列(1)中有6项，数列(2)中有4项，数列(3)(4)中有无穷多项；数列(1)中每一项都小于它的前一项，数列(2)中每一项的大小不确定，数列(3)中每一项都大于它的前一项，数列(4)中每一项都小于它的前一项． 栏目导航 第四章　数 列 * 大于 小于 相等 大于 ◎结论形成 类别 含义 按项的 变化趋 势划分 递增数列 从第2项起，每一项都________它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都________它的前一项的数列 常数列 各项都________的数列 摆动数列 从第2项起，有些项________它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 栏目导航 第四章　数 列 * 导学3　数列的通项公式 　观察“导学1”中的4个例子，你能否发现这些数列中，每一项与这一项的项数之间存在着某种关系？这种关系是否可以表示为一个公式？ [提示]　每一项与这一项的项数间存在一定的关系，有些可用公式表示，有些不能用公式表示． 栏目导航 第四章　数 列 * 　能够表示出的通项公式是否是函数关系式？ [提示]　数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，3，…，n}为定义域的函数解析式． 栏目导航 第四章　数 列 * 序号n ◎结论形成 1．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与它的__________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 栏目导航 第四章　数 列 * 正整数集N* 从小到大依次取值 列表 图象 2．数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表： 定义域 ______________(或它的有限子集{1，2，3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量____________________时对应的一列函数值 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)________法；(3)________法 栏目导航 第四章　数 列 * 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一个数列．(　　) (2)数列中的每一项都与它的序号有关．(　　) (3)an与{an}是不同的概念．(　　) (4)有些数列没有通项公式．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 栏目导航 第四章　数 列 * 2．数列3，4，5，6，…的一个通项公式为(　　) A．an＝n　　　　　　 B．an＝n＋1 C．an＝n＋2 D．an＝2n 答案　C 栏目导航 第四章　数 列 * 3．数列{an}的通项公式是an＝n＋1，n∈N*，则它的图象是(　　) A．直线 B．直线上孤立的点 C．抛物线 D．抛物线上孤立的点 答案　B 栏目导航 第四章　数 列 * 4．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－1，则a8＝__________． 解析　a8＝2×8－1＝15. 答案　15 栏目导航 第四章　数 列 * 02 课堂案·互动探究 栏目导航 4688.psd 4699.psd 栏目导航 第四章　数 列 * 题型一　数列的概念及分类 　(1)(多选题)下列说法不正确的是(　　) A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列 栏目导航 第四章　数 列 * [解析]　{1，3，5，7}不表示数列，故A错误；数列具有有序性，故B错误；在D中，当a＝c时，数列a，b，c和数列c，b，a表示同一数列，故D错误；数列的项可以相等，故C正确． [答案]　ABD 栏目导航 第四章　数 列 * (2)下列数列，哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？ ①2 014，2 016，2 018，2 020，2 022，2 024； ②0， eq \f(1,2) ， eq \f(2,3) ，…， eq \f(n－1,n) ，…； ③1， eq \f(1,2) ， eq \f(1,4) ，…， eq \f(1,2n－1) ，…； 栏目导航 第四章　数 列 * ④－ eq \f(1,1×2) ， eq \f(1,2×3) ，－ eq \f(1,3×4) ， eq \f(1,4×5) ，…； ⑤1，0，－1，…，sin eq \f(nπ,2) ，…； ⑥9，9，9，9，9，9. [解析]　①②是递增数列；③是递减数列；④⑤是摆动数列；⑥是常数列． 栏目导航 第四章　数 列 * 数列单调性的判断 判断数列的单调性，需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足an<an＋1，则数列是递增数列；若满足an>an＋1，则数列是递减数列；若满足an＝an＋1，则数列是常数列；若an与an＋1的大小不确定时，则数列是摆动数列． 栏目导航 第四章　数 列 * [触类旁通] 1．给出下列数列： (1)天文学家提丢斯(1729－1796)得出太阳到行星平均距离的经验定律时，研究了一列数：3，6，12，24，48，96，192，…. (2)无穷多个 eq \r(3) 构成数列 eq \r(3) ， eq \r(3) ， eq \r(3) ， eq \r(3) ，…. (3)－1的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂…构成数列－1，1，－1，1，…. 其中，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________. 答案　(1)　(2)　(3) 栏目导航 第四章　数 列 * 题型二　由数列的前几项求通项公式 　写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数． (1)－1， eq \f(1,2) ，－ eq \f(1,3) ， eq \f(1,4) ； (2) eq \r(3) ，3， eq \r(15) ， eq \r(21) ； (3)0.9，0.99，0.999，0.999 9； (4)3，5，3，5. 栏目导航 第四章　数 列 * [解析]　(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列各项的绝对值可以看作是自然数列的倒数， 正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为an＝(－1)n· eq \f(1,n) . (2)数列可化为 eq \r(3) ， eq \r(9) ， eq \r(15) ， eq \r(21) ，即 eq \r(3×1) ， eq \r(3×3) ， eq \r(3×5) ， eq \r(3×7) ，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝ eq \r(3(2n－1)) ＝ eq \r(6n－3) . 栏目导航 第四章　数 列 * (3)原数列可变形为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10))) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,102))) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,103))) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,104))) ，…，故数列的一个通项公式为an＝1－ eq \f(1,10n) . (4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3，n为奇数，,5，n为偶数．)) 此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为 eq \f(3＋5,2) ＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为an＝4＋(－1)n. 栏目导航 第四章　数 列 * 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或 (－1)n＋1处理符号． (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 栏目导航 第四章　数 列 * [触类旁通] 2．写出下列数列的一个通项公式． (1)0，3，8，15，24，…； (2)1，－3，5，－7，9，…； (3)0， eq \f(22－2,5) ， eq \f(32－3,10) ， eq \f(42－4,17) ，…； (4)1，11，111，1 111，…. 栏目导航 第四章　数 列 * 解析　(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1. (2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1). (3)因为5＝22＋1，10＝32＋1，17＝42＋1，所以数列的一个通项公式为an＝ eq \f(n2－n,n2＋1) (n∈N*). 栏目导航 第四章　数 列 * (4)原数列的各项可变为 eq \f(1,9) ×9， eq \f(1,9) ×99， eq \f(1,9) ×999， eq \f(1,9) ×9 999，…，易知数列9，99，999，9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为an＝ eq \f(1,9) (10n－1). 栏目导航 第四章　数 列 * 题型三　根据通项公式写数列的项(一题多变) 　已知数列{an}的通项公式an＝ eq \f((－1)n(n＋1),(2n－1)(2n＋1)) ，n∈N*.写出它的第10项． [解析]　a10＝ eq \f((－1)10×11,19×21) ＝ eq \f(11,399) . 栏目导航 第四章　数 列 * [母题变式] (变结论)对于本例中的数列{an}． (1)求an＋1； (2)求a2n. 解析　(1)an＋1＝ eq \f((－1)n＋1[(n＋1)＋1],[2(n＋1)－1][2(n＋1)＋1]) ＝ eq \f((－1)n＋1(n＋2),(2n＋1)(2n＋3)) . (2)a2n＝ eq \f((－1)2n(2n＋1),(2×2n－1)(2×2n＋1)) ＝ eq \f(2n＋1,(4n－1)(4n＋1)) . 栏目导航 第四章　数 列 * [素养聚焦] 利用通项公式写出数列中的项，把数学抽象、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． 栏目导航 第四章　数 列 * [触类旁通] 3．根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项． (1)an＝ eq \f(n,n＋1) ； (2)an＝(－1)nn. 解析　(1)a1＝ eq \f(1,2) ，a2＝ eq \f(2,3) ，a3＝ eq \f(3,4) ，a4＝ eq \f(4,5) ，a5＝ eq \f(5,6) . (2)a1＝－1，a2＝2，a3＝－3，a4＝4，a5＝－5. 栏目导航 第四章　数 列 * 知识落实 技法强化 (1)数列的概念与分类． (2)数列的通项公式． (3)数列与函数的关系． 用归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系． 栏目导航 第四章　数 列 * 03 课后案·学业评价 点击进入Word 栏目导航 4969.psd 4972.psd 栏目导航 第四章　数 列 * 谢谢观看 4691.psd $$