5.2.3 简单复合函数的导数(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(　　) A．y＝un，u＝x2－1　 B．y＝(u－1)n，u＝x2 C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1 答案　A 2．若函数f(x)＝3cos ，则f′等于(　　) A．－3 B．3 C．－6 D．6 解析　f′(x)＝－6sin ， ∴f′＝－6sin ＝6sin ＝3. 答案　B 3．曲线y＝f(x)＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于(　　) A．2e　　　 B．e C．2　　　 D．1 解析　y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1，1)处的切线斜率为f′(1)＝2. 答案　C 4．(多选题)下列结论中不正确的是(　　) A．若y＝cos ，则y′＝－sin B．若y＝sin x2，则y′＝2x cos x2 C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x D．若y＝x sin 2x，则y′＝x sin 2x 解析　对于A，y＝cos ，则y′＝sin ，故错误； 对于B，y＝sin x2，则y′＝2x cos x2，故正确； 对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误； 对于D，y＝x sin 2x， 则y′＝sin 2x＋x cos 2x，故错误． 答案　ACD 5．函数y＝cos 的导数为________． 解析　y′＝′＝－sin ·(－3)＝3sin . 答案　3sin 6．设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________． 解析　令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝(eax)·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2. 答案　2 7．曲线y＝e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________． 解析　∵y′＝e，∴y′|x＝4＝e2. ∴曲线在点(4，e2)处的切线方程为 y－e2＝e2(x－4)， 整理得y＝e2x－e2， 切线与坐标轴的交点分别是(0，－e2)，(2，0)， 则切线与坐标轴围成的三角形面积 S＝×|－e2|×|2|＝e2. 答案　e2 8．求下列函数的导数． (1)y＝cos (1＋x2)； (2)y＝ln (2x2＋x). 解析　(1)设u＝1＋x2，y＝cos u，所以y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(1＋x2)′＝－sin u·2x＝－2x sin (1＋x2). (2)设u＝2x2＋x， 则y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(2x2＋x)′＝·(4x＋1)＝. [关键能力·综合提升] 9．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln (x＋a)相切，则a的值为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 解析　设切点坐标是(x0，x0＋1)， 依题意有 由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2. 答案　B 10．曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　) A． B．2 C．3 D．0 解析　设曲线y＝ln (2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行． ∵y′＝， ∴＝＝2， 解得x0＝1， ∴y0＝ln (2－1)＝0，即切点坐标为(1，0). ∴切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝， 即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是. 答案　A 11．函数y＝ln 在x＝0处的导数为________． 解析　y＝ln ＝ln ex－ln (1＋ex)＝x－ln (1＋ex)， 则y′＝1－.当x＝0时， y′＝1－＝. 答案　 12．(2024·南通模拟)写出一个同时具有性质①②的函数f(x)＝____________[f(x)不是常值函数].①f′(x)为偶函数；②f′＝f′(x). 解析　由f′＝f′(x)知函数f′(x)的周期为π，则f′(x)＝cos 2x， 同时满足f′(x)为偶函数， 所以f(x)＝sin 2x满足条件(答案不唯一). 答案　sin 2x(答案不唯一) 13．曲线y＝esin x在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程． 解析　∵y＝esin x，∴y′＝esin xcos x， ∴y′|x＝0＝1. ∴曲线y＝esin x在(0，1)处的切线方程为 y－1＝x，即x－y＋1＝0. 又直线l与x－y＋1＝0平行， 故可设为x－y＋m＝0. 由＝得m＝－1或3. ∴直线l的方程为：x－y－1＝0或x－y＋3＝0. [核心素养·探索创新] 14．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益，假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系P＝P02，其中P0为初始时该放射性同位素的含量．已知t＝15时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为－，则该放射性同位素含量为4.5贝克时所需衰变的时间为(　　) A．20天 B．30天 C．45天 D．60天 解析　由P＝P02，得P′＝－·P0·2·ln 2，因为t＝15时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为－，所以P′＝－P0＝－，解得P0＝18，则P(t)＝18·2，当该放射性同位素含量为4.5贝克，即P＝4.5时，18×2＝4.5，即2＝，所以－＝－2，解得t＝60.故选D. 答案　D 15．曲线y＝f(x)＝e2x·cos 3x在(0，1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程． 解析　∵f′(x)＝(e2x)′·cos 3x＋e2x·(cos 3x)′ ＝2e2x·cos 3x－3e2x·sin 3x， ∴f′(0)＝2. ∴f(x)在点(0，1)的切线方程为y－1＝2(x－0)， 即y＝2x＋1. 设适合题意的直线方程为y＝2x＋b， 根据题意，得＝， ∴b＝6或－4. ∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4. 学科网（北京）股份有限公司 $$