4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于(　　) A．93　　　　　　　　 B．－93 C．45 D．－45 解析　S5＝＝＝93. 答案　A 2．已知数列{an}是公比为3的等比数列，其前n项和Sn＝3n＋k(n∈N*)，则实数k为(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2 解析　由数列{an}的前n项和Sn＝3n＋k(n∈N*)，当n＝1时，a1＝S1＝3＋k；当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－(3n－1＋k)＝2×3n－1. 因为数列{an}是公比为3的等比数列，所以a1＝2×31－1＝3＋k，解得k＝－1. 答案　C 3．(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析　∵Sn为等比数列{an}的前n项和，S2＝4，S4＝6， 由等比数列的性质，可知S2，S4－S2，S6－S4成等比数列， ∴4，2，S6－6成等比数列， ∴22＝4(S6－6)，解得S6＝7. 故选A. 答案　A 4．(多选题)下列结论不正确的是(　　) A．若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数，则这个数列是等差数列 B．等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数 C．等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列 D．如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn 解析　对于A选项，根据等差数列的定义可知A选项正确； 对于B选项，对任意n∈N*，an＝1，则数列{an}为等差数列，且该数列的前n项和Sn＝n，B选项错误； 对于C选项，若等比数列{an}的公比q＝－1，且当n为正偶数时，Sn＝＝0， 所以Sn＝S2n－Sn＝S3n－S2n＝0，此时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列，C选项错误； 对于D选项，对任意的n∈N*， Sn＋1＝(a1＋a2＋…＋an)＋an＋1＝Sn＋an＋1，可得an＋1＝Sn＋1－Sn，D选项正确． 答案　BC 5．在公比为整数的等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则这个数列的前8项之和S8＝__________． 解析　a1＋a4＝a1(1＋q3)＝18，a2＋a3＝a1(q＋q2)＝12，两式联立解得q＝2或，而q为整数， 所以q＝2，a1＝2，代入公式求得S8＝＝510. 答案　510 6．记Sn为等比数列{an}的前n项和. 若a1＝，a＝a6，则S5＝________． 解析　由a＝a6可得aq6＝a1q5，解得a1q＝1，即q＝3，故S5＝＝. 答案　 7．(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________． 解析　若q＝1，则由8S6＝7S3得8·6a1＝7·3a1，则a1＝0，不合题意． 所以q≠1. 当q≠1时，因为8S6＝7S3， 所以8·＝7·， 即8·(1－q6)＝7·， 即8·＝7·， 即8·＝7， 解得q＝－. 故答案为－. 答案　－ 8．已知等比数列{an}的首项a1＝1，且公比q＝2，求数列{nan}的前10项的和． 解析　由题意，an＝2n－1，设{nan}的前n项和为Sn， 则S10＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋10×29， 2S10＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋10×210， 两式相减得：－S10＝1＋21＋22＋23＋…＋29－10×210＝－1－9×210，所以S10＝1＋9×210. [关键能力·综合提升] 9．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和等于(　　) A．或5 B．或5 C． D． 解析　设数列{an}的公比为q，显然q≠1，由已知得＝，解得q＝2(q＝1舍去)，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，前5项和为＝. 答案　C 10．等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1)，则Tn的最大值为(　　) A．　 　 B． C．1　　　 D．2 解析　设数列{an}共有(2m＋1)项，由题意得 S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝， S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝， 因为项数为奇数时，＝q， 即2＋q＝，所以q＝. 所以Tn＝a1·a2·…·an＝aq1＋2＋…＋n－1 故当n＝1或n＝2时，Tn取最大值2. 答案　D 11．在正项等比数列{an}中，S30＝13S10，S30＋S10＝140，则S20＝________． 解析　设等比数列{an}的公比为q，由题意知q≠±1，由条件可得S10＝10，S30＝130，因为数列S10，S20－S10，S30－S20成等比数列， 所以(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)， 即(S20－10)2＝10(130－S20)，故S20＝－30或S20＝40.又S20＞0，所以S20＝40. 答案　40 12．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为________． 解析　由题意可知q＝2.设该数列为a1，a2，…，a2n，则an＋an＋1＝24. 又a1＝1，所以qn－1＋qn＝24， 即2n－1＋2n＝24， 解得n＝4，故项数为8. 答案　8 13．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，＝. (1)求等比数列{an}的公比q； (2)求a＋a＋…＋a. 解析　(1)由＝，a1＝－1，知公比q≠1，＝－. 由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，所以q＝－. (2)由(1)得an＝(－1)×，所以a＝，所以数列{a}是首项为1，公比为的等比数列． 故a＋a＋…＋a＝＝. [核心素养·探索创新] 14．设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y).若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn＝________． 解析　令x＝n，y＝1，则f(n)·f(1)＝f(n＋1)， 又an＝f(n)， ∴＝＝f(1)＝a1＝， ∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列， ∴Sn＝＝1－. 答案　1－ 15．(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝，已知a1，3a2，9a3成等差数列． (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜. (1)解析　∵a1，3a2，9a3成等差数列， ∴6a2＝a1＋9a3，∵{an}是首项为1的等比数列，设其公比为q， 则6q＝1＋9q2，∴q＝， ∴an＝a1qn－1＝， ∴bn＝＝n·. (2)证明　由(1)知an＝，bn＝n·， ∴Sn＝＝－×， Tn＝1×＋2×＋…＋n·，① ∴Tn＝1×＋2×＋…＋n·，② ①－②得，Tn＝－n·， ∴Tn＝－×－·， ∴Tn－＝－×－·－＜0， ∴Tn＜. 学科网（北京）股份有限公司 $$