5.2.2 导数的四则运算法则(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

5．2.2　导数的四则运算法则 学业标准 素养目标 1．熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点) 2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点) 1．通过导数的四则运算法则的学习，培养数学运算等核心素养． 2．通过利用导数的四则运算法则求复杂函数的导数，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． [对应学生用书P54] 导学　导数的运算法则 已知f(x)＝x，g(x)＝. 　f(x)，g(x)的导数分别是什么？ [提示]　f′(x)＝1，g′(x)＝－. 　试求Q(x)＝x＋，H(x)＝x－的导数． [提示]　∵Δy＝(x＋Δx)＋－＝Δx＋， ∴＝1－， ∴Q′(x)＝ ＝ ＝1－. 同理H′(x)＝1＋. 　Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？ [提示]　Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差． 　[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)对吗？ [提示]　不对，因为f(x)g(x)＝1，[f(x)g(x)]′＝0，而f′(x)g′(x)＝1×＝－. ◎结论形成 导数的四则运算法则 　设两个函数分别为f(x)和g(x)，则： 两个函数和的导数 [f(x)＋g(x)]′＝__f′(x)＋g′(x)__ 两个函数差的导数 [f(x)－g(x)]′＝__f′(x)－g′(x)__ 两个函数积的导数 [f(x)g(x)]′＝__f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)__，特别地有[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数). 两个函数商的导数 ′＝____[g(x)≠0] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f(x)＝a2＋2ax＋x2，则f′(a)＝2a＋2x.(　　) (2)函数f(x)＝xex＋1的导数是f′(x)＝ex(x＋1).(　　) (3)函数f(x)＝sin 2x的导数为f′(x)＝cos x．(　　) (4)若f′(x)＝2x＋1，则f(x)＝x2＋x.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．已知函数f(x)＝sin x＋cos ，则f′＝(　　) A.　　　　　　　　 B． C． D． 解析　因为f(x)＝sin x＋cos ， 则f′(x)＝cos x， 故f′＝cos ＝. 故选B. 答案　B 3．函数y＝的导数是(　　) A．－ B．－sin x C．－ D．－ 解析　y′＝′＝＝＝－. 答案　C 4．函数y＝x ln x的导数为________． 答案　ln x＋1 [对应学生用书P55] 题型一　导数的四则运算(一题多解) 　(1)函数y＝(2x2＋3)(3x－2)的导数是__________； (2)函数y＝2xcos x－3x ln x的导数是________； (3)函数y＝的导数是________． [解析]　(1)法一　y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9. 法二　∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9. (2)y′＝(2xcos x－3x ln x)′ ＝(2x)′cos x＋2x(cos x)′－3[x′ln x＋x(ln x)′] ＝2xln 2cos x－2xsin x－3· ＝2xln 2cos x－2xsin x－3ln x－3. (3)y′＝′ ＝ ＝＝. 答案　(1)y′＝18x2－8x＋9 (2)y′＝2x ln 2 cos x－2x sin x－3 ln x－3 (3)y′＝ 求导数的两点要求 (1)先区分函数的结构特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的四则运算法则求导数． (2)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程． [触类旁通] 1．求下列各函数的导数． (1)y＝(＋1)； (2)y＝x－sin cos ； (3)y＝. 解析　(1)化简得y＝·－＋－1＝－x＋x， ∴y′＝－x－x＝. (2)∵y＝x－sin cos ＝x－sin x， ∴y′＝′＝x′－(sin x)′＝1－cos x. (3)y′＝＝. 题型二　利用导数求曲线的切线方程 　已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8. (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程． [解析]　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)， 所以f′(x)＝2ax＋b， 又知f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8. (2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3， 所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7，又知g(0)＝3， 所以g(x)在x＝0处的切线方程为 y－3＝－7(x－0). 即7x＋y－3＝0. 解决有关切线问题的关注点 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系． (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． [触类旁通] 2．(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x　　　　　 B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 解析　设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)， 因为y＝， 所以y′＝＝， 所以k＝y′|x＝1＝， 所以y－＝(x－1)， 所以曲线y＝在点处的切线方程为 y＝x＋. 故选C. 答案　C 题型三　导数运算法则的综合应用(一题多变) 　已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，求函数y＝f(x)的解析式． [解析]　由函数f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，知 －1＋2f(－1)＋5＝0， 即f(－1)＝－2，由切点为M得f′(－1)＝－. ∵f′(x)＝， ∴即 解得a＝2，b＝3或a＝－6，b＝－1(由b＋1≠0，故b＝－1舍去). 所以所求的函数解析式为f(x)＝. [母题变式] 　(变条件)若将本例题改为“已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0”，则a，b的值分别为________． 解析　f′(x)＝－. 由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1，1)， 故即解得 答案　1，1 [素养聚焦] 利用导数的运算法则解决切线问题，把逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 解决与切线有关的问题时，要充分运用切点的坐标．特别是切点的横坐标，因为切点的横坐标与导数有着直接的联系． [触类旁通] 3．(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A．　　 B． C．　　 D． 解析　 f′(x)＝， 所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝，故选A. 答案　A 知识落实 技法强化 (1)导数的运算法则． (2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数． 学科网（北京）股份有限公司 $$