4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的综合应用(习题课)(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第2课时　等比数列前n项和的综合应用(习题课) [对应学生用书P32] 题型一　等比数列前n项和的实际应用问题(一题多解) 　王老师在手机店买了一部手机，价值10 000元．双方协商，按分期付款方式，以月利率为1%，每月以复利计息还款，王老师从拿到手机后第二个月开始等额还款，分6个月还清，试问每月应还款多少元？(1.016≈1.061，1.015≈1.051) [解析]　法一　设每个月还款a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还款a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)， 则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a， a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a， … a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a. 由题意，可知a6＝0， 即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0， ∴a＝. ∵1.016≈1.061，∴a＝≈1 739. 故每月应还款1 739元． 法二　一方面，将10 000元以相同的条件存储6个月，则它的本利和为 S1＝104(1＋0.01)6＝104×1.016(元). 另一方面，设每个月还款a元，分6个月还清，到还清时，其本利和为 S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a ＝＝a(1.016－1)×102(元). 由S1＝S2，得a＝. 以下解法同方法一，得a≈1 739，故每月应还款1 739元． 解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学(数列)问题，弄清该数列的结构和特征． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到实际问题中． [触类旁通] 1．某电商平台今年销售某国产品牌手机5 000部，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000部(结果保留到个位)？(提示：lg 1.6≈0.20，lg 1.1≈0.041) 解析　根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同．所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列{an}，其中a1＝5 000，q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30 000. 于是得到＝30 000. 整理，得1.1n＝1.6. 两边取对数，得n lg 1.1＝lg 1.6. 根据提示算得n＝≈≈5(年). 即大约5年可以使总销售量达到30 000部． 题型二　数列中的探索性问题 　在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，______________． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. [解析]　方案一：选条件① (1)∵a3＝5，a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，d>1， ∴ 解得或 ∴ ∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1. (2)∵cn＝， ∴cn＝＝(2n－1)×， ∴Tn＝1＋3×＋5×＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×， ∴Tn＝＋3×＋5×＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×， ∴Tn＝1＋2－(2n－1)× ＝1＋2×－(2n－1)× ＝3－(2n＋3)×， ∴Tn＝6－(2n＋3)×. 方案二：选条件② (1)∵b2＝2，a3＋a4＝3b3，a1＝b1，d＝q，d>1， ∴ ∴ 解得或 ∴ ∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1 . (2)同方案一中(2)解答． 方案三：选条件③ (1)∵S3＝9，a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q，d>1， ∴ 解得或 ∴ ∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1. (2)同方案一中(2)解答． 在探索性问题中，多个条件都可以填入求解，总体思想就是代入，通过基本公式求出首项、公差、公比即可． [触类旁通] 2．在①a4＝b4，②S6＝－24这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k存在，求k的值；若k不存在，请说明理由． 设Sn为等差数列{an}的前n项和，{bn}是等比数列，__________，b1＝a5，b3＝－9，b6＝243.是否存在k，使得Sk>Sk－1且Sk＋1<Sk? 解析　选择①， 设等比数列{bn}的公比为q，等差数列{an}的公差为d， 由b3＝－9，b6＝b3·q3＝－9×q3＝243，得q＝－3，又b3＝b1q2＝b1×(－3)2＝－9， 所以b1＝－1，故bn＝－(－3)n－1. 又a5＝b1＝－1，a4＝b4＝27， 所以d＝a5－a4＝－28， a1＝27－3×(－28)＝111， 所以an＝－28n＋139. 由Sk>Sk－1且Sk＋1<Sk， 可得 可知 解得<k<， 又k为正整数，则k＝4， 所以存在k＝4，使得Sk>Sk－1且Sk＋1<Sk. 选择②， 由b3＝－9，b6＝b3·q3＝－9×q3＝243， 得q＝－3. 又b3＝b1q2＝b1×(－3)2＝－9，则b1＝－1， 故bn＝－(－3)n－1. 由a5＝b1＝－1，S6＝－24，得d＝2，a1＝－9， 所以an＝2n－11. 由Sk>Sk－1且Sk＋1<Sk， 可得 可知 得k>且k<，所以k不存在． 题型三　等差数列、等比数列及前n项和的综合应用 　设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2. (1)求{an}的通项公式； [解析]　(1)设{an}的公差为d. 因为a2＋a3＝5ln 2， 所以2a1＋3d＝5ln 2. 又a1＝ln 2，所以d＝ln 2. 所以an＝a1＋(n－1)d＝n ln 2. [素养聚焦] 通过等差、等比数列及前n项和的综合运用，把逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 解决等差数列与等比数列综合问题(即双数列问题)的关键在于用好它们的有关知识，理顺两个数列间的关系．注意运用等差数列与等比数列的基本量，还应注意等差数列与等比数列之间的相互转化． [触类旁通] 3．已知公差不为0的等差数列{an}满足S7＝77，a1，a3，a11成等比数列． (1)求an； (2)若bn＝，求{bn}的前n项和Tn. 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 由S7＝＝77可得7a4＝77， 则a1＋3d＝11.① 因为a1，a3，a11成等比数列， 所以a＝a1a11，整理得2d2＝3a1d. 又d≠0，所以2d＝3a1，② 联立①②，解得a1＝2，d＝3，所以an＝3n－1. (2)因为bn＝2an＝23n－1＝4·8n－1，所以{bn}是首项为4，公比为8的等比数列． 所以Tn＝＝. 知识落实 技法强化 (1)等比数列前n项和的实际应用． (2)数列中的探索性问题． (3)数列中的综合问题． 在实际应用中进行计算时首项和项数常常弄错． 学科网（北京）股份有限公司 $$