4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4．3.2　等比数列的前n项和公式 学业标准 素养目标 1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点) 2．会用错位相减法求数列的和．(重点) 3．能利用等比数列的前n项和解决实际问题．(难点) 1．通过等比数列前n项和公式的推导，培养逻辑推理、数学抽象等核心素养． 2．通过运用错位相减法求和，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 第1课时　等比数列的前n项和 [对应学生用书P29] 导学　等比数列的前n项和公式 　已知等比数列{an}，公比为q，Sn是其前n项的和，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. (1)若q＝1，则Sn与a1有何关系？ (2)若q≠1，你能用a1，q直接表示Sn吗？如何表示？ [提示]　(1)Sn＝na1. (2)能．∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，① 两边同乘以q，可得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，② ①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn， ∴当q≠1时，Sn＝. ◎结论形成 等比数列的前n项和公式 已知量　 首项a1与公比q 首项a1，末项an与公比q 公式 Sn＝ __Sn＝　 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求．(　　) (2)首项为a(a≠0)的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.(　　) (3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．(　　) (4)若数列{an}的前n项和Sn＝则数列{an}不是等比数列．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，a2＝4，那么S10等于(　　) A．210＋2　　　 　　　 B．29－2 C．210－2 D．211－2 解析　因为q＝＝2，且a1＝2，所以S10＝＝＝2(210－1)＝211－2. 答案　D 3．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　　) A．4　　　 B．－4 C．2　　　 D．－2 解析　由S5＝＝44，得a1＝4. 答案　A 4．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________，前n项和Sn＝________． 解析　∵a3＋a5＝q(a2＋a4)，∴40＝20q， ∴q＝2，∵a1(q＋q3)＝20，∴a1＝2， ∴Sn＝＝2n＋1－2. 答案　2　2n＋1－2 [对应学生用书P30] 题型一　等比数列的前n项和公式的基本运算(一题多解) 　在等比数列{an}中． (1)若a1＝1，a5＝16，且q>0，求S7； (2)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； (3)若a3＝，S3＝，求a1和公比q. [解析]　(1)∵{an}为等比数列且a1＝1，a5＝16， ∴a5＝a1q4， ∴16＝q4， ∴q＝2(负的舍去). ∴S7＝＝＝127. (2)法一　由公式Sn＝，an＝a1qn－1 以及已知条件得 ∴a1·2n＝192，∴2n＝. ∴189＝a1(2n－1)＝a1， ∴a1＝3. 又2n－1＝＝32，∴n＝6. 法二　由公式Sn＝及已知条件得 189＝， 解得a1＝3，又由an＝a1·qn－1， 得96＝3×2n－1，解得n＝6. (3)①当q≠1时，S3＝＝， 又a3＝a1·q2＝， ∴a1(1＋q＋q2)＝，即(1＋q＋q2)＝， 解得q＝－(q＝1舍去)， ∴a1＝6. ②当q＝1时，S3＝3a1， ∴a1＝. 综上得或 等比数列前n项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体． [触类旁通] 1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14　　　　　　　 B．12 C．6 D．3 解析　法一　设等比数列{an}的公比为q， 易知q≠1.由题意可得 即解得 所以a6＝a1q5＝3，故选D. 法二　设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1. 由题意可得 即 解得所以a6＝a1q5＝3，故选D. 答案　D 题型二　错位相减法求数列前n项和(一题多变) 　已知等比数列{an}满足a1＝，a1，a2，a3－成等差数列，公比q∈(0，1)， (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. [解析]　(1)设等比数列{an}的公比为q，a1＝， 因为a1，a2，a3－成等差数列， 所以2a2＝a1＋a3－， 即得4q2－8q＋3＝0， 解得q＝或q＝， 又因为q∈(0，1)，所以q＝， 所以an＝·＝. (2)根据题意得bn＝nan＝， Sn＝＋＋＋…＋，① Sn＝＋＋＋…＋，② ①－②得Sn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－－， 则Sn＝2－. [母题变式] 1．(变条件)本题中设cn＝，求数列{cn}的前n项和S′n. 解析　由题意知cn＝n·2n， 所以S′n＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－2)×2n－2＋(n－1)×2n－1＋n·2n， 2S′n＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－2)×2n－1＋(n－1)×2n＋n·2n＋1， 两式相减得：－S′n＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n－1＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2， 所以S′n＝(n－1)·2n＋1＋2. 2．(变条件)本题中设dn＝(2n－1)an，求数列{dn}的前n项和Tn. 解析　由题意可得 Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－1)×， Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×， 两式相减得 Tn＝1×＋2×＋…＋2×－(2n－1)×＝＋×－(2n－1)×＝－－， 所以Tn＝3－－＝3－. [素养聚焦] 通过运用错位相减法求和，把数学运算、逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 错位相减法的适用题目及注意事项 (1)适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和． (2)注意事项 ①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差． ②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况． 题型三　等比数列前n项和的性质 　(1)(2024·渭南模拟)已知等比数列的前n项和为Sn，若S3＝10，S6＝20，则S9＝(　　) A．20 B．30 C．40 D．50 (2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝__________． [解析]　(1)因为是等比数列，所以S3，S6－S3，S9－S6(S3≠0)成等比数列，即10，10，S9－20成等比数列， 显然S9－20＝10⇒S9＝30， 故选B. (2)由题意，得 解得 所以q＝＝＝2. 答案　(1)B　(2)2 等比数列前n项和性质的应用 (1)等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1). (2)若项数为2n，则＝q(S奇≠0)；若项数为2n＋1，则＝q(S偶≠0). [触类旁通] 2．(2024·揭阳模拟)等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 解析　设等比数列{an}的公比为q，则a5＝a1q4，a7＝a3q4，所以q4＝＝. 又a9＋a11＝a1q8＋a3q8＝(a1＋a3)q8＝8×＝2， a13＋a15＝a1q12＋a3q12＝(a1＋a3)q12＝8×＝1， 所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3. 故选C. 答案　C 3．若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________． 解析　令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60， Y＝a2＋a4＋…＋a100， 则S100＝X＋Y， 由等比数列前n项和性质知＝q＝， 所以Y＝20， 即S100＝X＋Y＝80. 答案　80 知识落实 技法强化 (1)等比数列前n项和公式的推导． (2)等比数列前n项和公式的基本运算． (3)错位相减法． (1)前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况． (2)应用等比数列前n项和的性质要注意使用整数的思想，即常把qn、Sn等看作一个整体． 学科网（北京）股份有限公司 $$