4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的综合应用(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第2课时　等差数列前n项和的综合应用 [对应学生用书P19] 导学　等差数列前n项和Sn的最值 　我们已经知道当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝n2＋n，类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？ [提示]　由二次函数的性质可以得出：当a1<0，d>0时，Sn先减后增，有最小值；当a1>0，d<0时，Sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值． ◎结论形成 (1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最__小__值． (2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最__大__值． 特别地，若a1>0，d>0，则__S1__是Sn的最小值；若a1<0，d<0，则__S1__是Sn的最大值． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等差数列的前n项和一定是项数n的二次函数.(　　) (2)若等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn.则的公差为.(　　) (3)若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则{an}不是等差数列．(　　) (4)等差数列{an}的前n项和Sn，{Sn}可能是等差数列．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　) A．6　　　 B．7　　　 C．8　　　 D．9 解析　由a4＋a6＝2a5＝－6，解得a5＝－3， 又a1＝－11， 所以a5＝a1＋4d＝－11＋4d＝－3，解得d＝2， 则an＝－11＋2(n－1)＝2n－13， 所以Sn＝＝n2－12n＝(n－6)2－36， 所以当n＝6时，Sn取最小值． 答案　A 3．数列{an}中，an＝2n－49，当数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，n＝________． 解析　由an＝2n－49知{an}是等差数列， an<0⇒n<，∴n≤24. 答案　24 4．Sn＝＋＋＋…＋＝________． 解析　∵＝－. ∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝. 答案　 [对应学生用书P19] 题型一　等差数列前n项和的实际应用 　某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ [解析]　从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－. 25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线． 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点 (1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中． (2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题． [触类旁通] 1．(2024·平顶山模拟)在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为(　　) A．25.5尺　　　　　　　 B．34.5尺 C．37.5尺 D．96尺 解析　设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{an}，如冬至的日影长为a1尺，设公差为d尺． 由题可知，a1＋a4＋a7＝31.5⇒3a4＝31.5⇒a4＝10.5， a2＋a5＋a8＝28.5⇒3a5＝28.5⇒a5＝9.5， d＝a5－a4＝9.5－10.5＝－1， a3＋a6＋a9＝3a6＝3＝3×(9.5－1)＝3×8.5＝25.5， 故选A. 答案　A 题型二　等差数列前n项和的最值问题(一题多解) 　 在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值． [解析]　法一　∵S9＝S17，a1＝25， ∴9×25＋d＝17×25＋d， 解得d＝－2. ∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n ＝－(n－13)2＋169. ∴当n＝13时，Sn有最大值，即S13＝169. 法二　同法一，求出公差d＝－2. ∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. ∵a1＝25>0， ∴ 解得 ∴当n＝13时，Sn有最大值． S13＝25×13＋×(－2)＝169，因此Sn的最大值为169. 法三　∵S9＝S17，∴a10＋a11＋…＋a17＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. ∵a1>0，∴d<0.∴a13>0，a14<0. ∴当n＝13时，Sn有最大值． S13＝25×13＋×(－2)＝169. 因此Sn的最大值为169. 法四　设Sn＝An2＋Bn. ∵S9＝S17， ∴二次函数对称轴为n＝＝13，且开口方向向下， ∴当n＝13时，Sn取得最大值． 由方法一知d＝－2， ∴S13＝25×13＋×(－2)＝169. 因此Sn的最大值为169. 求等差数列前n项和Sn的最值的方法 (1)二次函数法 将Sn＝n2＋n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数的单调性来解决，体现了函数思想． (2)通项法 若a1＞0，d＜0，则数列的所有正数项之和最大； 若a1＜0，d＞0，则数列的所有负数项之和最小． [触类旁通] 2．已知等差数列{an}中，a1＝－3，11a5＝5a8－13. (1)求公差d的值； (2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值． 解析　(1)由11a5＝5a8－13，得11(a1＋4d)＝5(a1＋7d)－13. ∵a1＝－3，∴d＝. (2)法一　Sn＝－3n＋×＝n2－n＝－， 由于n∈N*，所以当n＝6时，Sn取最小值， S6＝－. 法二　an＝a1＋(n－1)d＝－3＋(n－1)×， 令an≤0，得n≤， ∴a1<a2<…<a6<0<a7<…. ∴Sn的最小值为S6＝6a1＋＝6×(－3)＋15×＝－. 题型三　裂项相消法求和 　在数列{an}中，a1＝2，－－2＝0(n≥2，n∈N*)， (1)令bn＝，求证：{bn}是等差数列； (2)在(1)的条件下，设Tn＝＋＋…＋，求Tn. (1)[证明]　由－－2＝0得 －＝2(n≥2). 又bn＝，∴b1＝1， ∴数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列． (2)[解析]　由(1)知bn＝2n－1， ∴＝＝， ∴Tn＝ ＝＝. [素养聚焦] 借助裂项相消法求和，把逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现规律，可以相互抵消，看有几项没有抵消掉，从而达到求和的目的．常用到的裂项公式有如下形式： ①＝； ②＝(－). [触类旁通] 3．(2022·新高考全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)证明：＋＋…＋<2. (1)解析　S1＝a1＝1，所以＝1， 所以是首项为1，公差为的等差数列， 所以＝1＋(n－1)·＝， 所以Sn＝an. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 所以(n－1)an＝(n＋1)an－1， 即＝(n≥2)； 累积法可得an＝(n≥2)， 又a1＝1满足该式， 所以{an}的通项公式为an＝. (2)证明　因为an＝， 所以＝＝2， 所以＋＋…＋ ＝2 ＝2<2. 知识落实 技法强化 (1)等差数列前n项和的实际应用． (2)等差数列前n项和的最值问题． (3)裂项相消法求和． (1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． (2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$