第01讲 三角形的边（3个知识点+6种题型+分层练习） -2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第01讲 三角形的边（3个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 知识点2．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 知识点3．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 题型强化 题型一、三角形的识别与有关概念 1．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列图形中，三角形是（    ） A．     B．   C．   D．   2．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，所对的边是 ；在中，边所对的角是 ． 3．（23-24八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 题型二、三角形的个数问题 4．（23-24八年级上·吉林·期中）图中三角形的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）如图，在中，，，，，为边上不同的个点，从点首先连接，图中出现了3个不同的三角形；再连接，图中便有6个不同的三角形……如此继续下去.连接BAn后，共有三角形的个数是 . 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，D，E分别为边，上的点，，相交于点F．    (1)图中共有三角形__________个． (2)在中，所对的边是__________；在中，边所对的角是_______． 题型三、三角形的分类 7．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（23-24八年级上·吉林长春·期末）写出假命题“有两个角是锐角的三角形是锐角三角形”的反例： ． 9．（22-23八年级上·全国·课后作业）说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形． 题型四、构成三角形的条件 10．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．（22-23八年级上·江西赣州·期中）给出三条线段： 、、；三边之比为； 、、； 、、．其中能组成三角形的有 （填序号）． 12．（22-23八年级·全国·课堂例题）小刚要从长度分别为，，，的四根木棒中选出三根围成一个三角形，那么他应该选择哪三根木棒？为什么？ 题型五、确定第三边的取值范围 13．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如果三角形的两边长分别为2和5，则第三边的取值可以是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 14．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）三角形三边长分别为2，a，4．则a的取值范围是 ． 15．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）已知的三边分别为，，，且，． (1)求的取值范围； (2)若的长为小于8的偶数，求的周长． 题型六、三角形三边关系的应用 16．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）下列每组数分别是三个木棒的长度（单位：），能用它们摆成三角形的是（　　） A．3 ，4 ，7 B．1 ，5 ，8 C．2 ，2 ，4 D．9 ，9 ， 1 17．（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）已知a、b、c 是三角形的三边长，化简： ． 18．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）已知为的三边长，满足，且为整数，求的周长的最大值和最小值． 分层练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）下面各组线段中，能组成三角形的是（    ） A．5，11，6 B．8，8，16 C．10，5，4 D．6，9，14 2．（23-24八年级上·重庆·期中）在中，如果，那么是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 3．（23-24八年级上·河南信阳·期末）下列选项中的命题属于真命题的是（    ） A．锐角三角形的三个内角都是锐角 B．直角三角形的三个内角都是直角 C．钝角三角形的三个内角都是钝角 D．钝角三角形的两个内角都是钝角 4．（21-22八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，图中三角形的个数共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．（23-24八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，下列图形中是三角形的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若线段分别是中线上的高和中线，则（    ） A．或 B． C．或 D． 7．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，则的值可能是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 8．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，在中，点、分别在、上，则图中三角形的个数是（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 9．（2024·河北石家庄·一模）如图，小红将三角形纸片沿虚线剪去一个角，若剩下四边形纸片的周长为m，原三角形纸片的周长为n，下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D．m，n的大小无法确定 10．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）已知三角形的两边长分别为4，6．则第三边长的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． 二、填空题 11．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）三角形三边长分别为3，，4，则的取值范围是 ． 12．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）若一个两边相等的三角形的两边分别是和，则其周长是 ． 13．（23-24八年级上·河南许昌·阶段练习）如图所示，在中，于点D．E为上一点，且，，若，，则 ． 14．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，以为边的三角形的个数是 ． 15．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）已知a，b，c是的三边长，化简 ． 16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知三条线段的长分别是5，5，m，它们能构成三角形，则整数m的最大值是 ． 17．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）已知，，是的三边长，，满足，为奇数，则 ． 18．（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．判断有一个内角是的直角三角形 “准等边三角形”．（填 “是”或“不是”） 三、解答题 19．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，点D，E分别在上，除外，图中还有几个三角形？并说出是哪些三角形的边． 20．（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）若a，b，c为的三边长，且a，b满足． (1)求c的取值范围； (2)若第三边长c是整数，求c的值． 21．（20-21八年级上·全国·课后作业）下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)，，； (2)，，； (3)，，． 22．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知的周长为， (1)若，求的长； (2)若，求三条边的长． 23．（23-24八年级上·陕西安康·期中）两根木棒分别长、，第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形，如果第三根木棒的长为偶数（单位：），那么一共可以构成多少个不同的三角形？这些三角形的周长分别是多少？ 24．（21-22八年级上·广东湛江·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的格点上． (1)在图①中画出，使为直角三角形（要求点C在小正方形的格点上，画一个即可）． (2)求图①中的面积． 25．（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）如图1，共有________条线段，分别是________________； （2）如图2，若有一点，与线段不在同一直线上，分别连接各点，则共有_________个三角形，分别为_______________．    26．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）已知是三角形的三边长． (1)化简：； (2)满足，且三角形的周长是16，判断此三角形的形状，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 三角形的边（3个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 知识点2．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 知识点3．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 题型强化 题型一、三角形的识别与有关概念 1．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列图形中，三角形是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查三角形定义，根据不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，即可解题． 【详解】解：由三角形定义可知，   是三角形， 故选：C． 2．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，所对的边是 ；在中，边所对的角是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了三角形的有关概念，根据三角形的概念即可求解，正确理解三角形的概念是解题的关键． 【详解】在中，所对的边是；在中，边所对的角是， 故答案为：；． 3．（23-24八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 【答案】有5个三角形，分别是 【分析】此题主要考查了三角形的定义及其表示．根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形进行分析即可． 【详解】解：图中共有5个三角形，分别是． 题型二、三角形的个数问题 4．（23-24八年级上·吉林·期中）图中三角形的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的定义，三角形就是三条首尾顺次相接的线段构成的图形，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，图中的三角形有，共5个， 故选C． 5．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）如图，在中，，，，，为边上不同的个点，从点首先连接，图中出现了3个不同的三角形；再连接，图中便有6个不同的三角形……如此继续下去.连接BAn后，共有三角形的个数是 . 【答案】 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中三角形个数的变化找出变化规律，注意数三角形的个数实际上就是数线段的条数． 【详解】解：观察图形可知： 从点首先连接，不同的三角形个数为， 再连接，不同的三角形个数为， 再连接，不同的三角形个数为， ， ∴连接到时，图中有个三角形(n为正整数)， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，D，E分别为边，上的点，，相交于点F．    (1)图中共有三角形__________个． (2)在中，所对的边是__________；在中，边所对的角是_______． 【答案】(1)8； (2)，． 【分析】（1）根据图形，即可解答； （2）根据图形，即可解答． 【详解】（1）解：图中共有8个三角形，分别是，，，，，，，． （2）解：在中，所对的边是；在中，边所对的角是， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了三角形的相关概念，解题的关键是掌握熟练掌握相关概念，不重复不遗漏的数出三角形个数． 题型三、三角形的分类 7．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断． 【详解】解：由图得，，，为直角三角形， 共有4个直角三角形． 故选：C． 8．（23-24八年级上·吉林长春·期末）写出假命题“有两个角是锐角的三角形是锐角三角形”的反例： ． 【答案】中，，，则是钝角三角形．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了举例说明命题为假命题，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理和三角形形状． 【详解】解：若中，，，则中有两个锐角，但是钝角三角形． 故答案为：中，，，则是钝角三角形．（答案不唯一） 9．（22-23八年级上·全国·课后作业）说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形． 【答案】锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有： 【分析】根据三角形的分类进行求解即可． 【详解】解：由题意得：锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有：． 【点睛】本题主要考查了三角形的分类，熟知三角形的分类方法是解题的关键． 题型四、构成三角形的条件 10．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】此题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】、由，此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意； 、由，此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意； 、由，此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意； 、由，此选项三条线段能构成三角形，符合题意； 故选：． 11．（22-23八年级上·江西赣州·期中）给出三条线段： 、、；三边之比为； 、、； 、、．其中能组成三角形的有 （填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了组成三角形的条件，①满足三角形三边关系，据此可判断是否符合题意；可设三边长度为、、其中，再利用三角形三边关系进行判断，同理判断、，掌握三角形三边关系是解题的关键． 【详解】解：因为，，能够组成三角形； ②设三边长度为、、其中，，能组成三角形； ③，不能组成三角形； ④，能组成三角形． 故答案为：． 12．（22-23八年级·全国·课堂例题）小刚要从长度分别为，，，的四根木棒中选出三根围成一个三角形，那么他应该选择哪三根木棒？为什么？ 【答案】小刚应选择长度分别为，，的三根木棒，理由见解析 【分析】本题考查三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．解题的关键是利用三角形三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边判定即可． 【详解】解：小刚应选择长度分别为，，的三根木棒． 理由：从长度分别为，，，的四根木棒中选出三根有种情况： ①选择长度分别为，，的三根木棒， ∵， ∴长度分别为，，的三根木棒围不成三角形； ②选择长度分别为，，的三根木棒， ∵， ∴长度分别为，，的三根木棒围不成三角形； ③选择长度分别为，，的三根木棒， ∵， ∴长度分别为，，的三根木棒围不成三角形； ④选择长度分别为，，的三根木棒， ∵， ∴长度分别为，，的三根木棒可以围成三角形， 综上所述，小刚应该选择长度分别为，，的三根木棒． 题型五、确定第三边的取值范围 13．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如果三角形的两边长分别为2和5，则第三边的取值可以是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．由三角形的三边关系得出第三边大于3，小于7，即可得到答案． 【详解】解：三角形的两边长分别为2和5， 第三边大于3，小于7， 即只有B选项满足， 故选：B． 14．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）三角形三边长分别为2，a，4．则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的三边关系：三角形的任意一边都大于另两边的差，小于另两边的和，据此列得，即可求出a的取值范围 【详解】解：由三边关系得， ∴ 故答案为 15．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）已知的三边分别为，，，且，． (1)求的取值范围； (2)若的长为小于8的偶数，求的周长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，熟记定理是解本题的关键； （1）由三角形的一边大于另外两边的差，小于另外两边的和可得答案； （2）结合（1）的结论与的长为小于8的偶数，可得c的值，再求解三角形的周长即可． 【详解】（1）解：∵的三边分别为，，，且，， ∴， ∴； （2）∵的长为小于8的偶数，， ∴或， ∴的周长为或． 题型六、三角形三边关系的应用 16．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）下列每组数分别是三个木棒的长度（单位：），能用它们摆成三角形的是（　　） A．3 ，4 ，7 B．1 ，5 ，8 C．2 ，2 ，4 D．9 ，9 ， 1 【答案】D 【分析】本题考查构成三角形的条件．根据三角形的三边关系逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能摆成三角形．故本选项不符合题意； B、，不能摆成三角形．故本选项不符合题意； C、，不能摆成三角形．故本选项不符合题意； D、，能摆成三角形．故本选项符合题意； 故选：D 17．（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）已知a、b、c 是三角形的三边长，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，绝对值的意义，整式的加减运算，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形的三边关系可知，，，进而去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】解：a、b、c 是三角形的三边长， ，， ，， ， 故答案为：． 18．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）已知为的三边长，满足，且为整数，求的周长的最大值和最小值． 【答案】的周长的最大值为，最小值为． 【分析】本题考查了三角形的三边关系及绝对值的性质和偶次方的性质，由得，，根据三边关系可知，则的最大值为，的最小值为，最后由周长公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，即， ∵为整数， ∴的最大值为，的最小值为， ∴的周长的最大值为，最小值为． 分层练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）下面各组线段中，能组成三角形的是（    ） A．5，11，6 B．8，8，16 C．10，5，4 D．6，9，14 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟记三边关系是解题的关键．根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、∵， ∴不能组成三角形，故A选项错误； B、∵， ∴不能组成三角形，故B选项错误； C、∵， ∴不能组成三角形，故C选项错误； D、∵， ∴能组成三角形，故D选项正确． 故选：D． 2．（23-24八年级上·重庆·期中）在中，如果，那么是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 【答案】B 【分析】此题考查了三角形的分类，首先根据题意得到是钝角，进而求解即可．解题的关键是熟练掌握三角形按角可分为直角三角形，钝角三角形，锐角三角形． 【详解】∵ ∴是钝角， ∴是钝角三角形． 故选：B． 3．（23-24八年级上·河南信阳·期末）下列选项中的命题属于真命题的是（    ） A．锐角三角形的三个内角都是锐角 B．直角三角形的三个内角都是直角 C．钝角三角形的三个内角都是钝角 D．钝角三角形的两个内角都是钝角 【答案】A 【分析】本题考查真假命题的判断，熟练掌握命题的定义是解题的关键，根据三角形的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：锐角三角形的三个内角都是锐角，此命题正确，故A选项符合题意； 直角三角形只有一个角是直角，此命题错误，故B选项不符合题意； 钝角三角形只有一个角是是钝角，此命题错误，故C、D选项不符合题意； 故选：A． 4．（21-22八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，图中三角形的个数共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】根据三角形的定义， 找出图中所有的三角形，数出其个数即可得出结论． 【详解】图中是三角形的有：、、、、． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形， 牢记三角形的定义是解题的关键． 5．（23-24八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，下列图形中是三角形的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据三角形的定义，即可求解．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形是三角形． 【详解】解：依题意，只有（1）是三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的定义，熟练掌握三角形的定义是解题的关键． 6．（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若线段分别是中线上的高和中线，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线段最短，根据垂线段最短可得，据此可得答案． 【详解】解：∵线段分别是中线BC上的高和中线，而垂线段最短， ∴， 故选C． 7．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，则的值可能是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】考查了三角形的三边关系，解题的关键是分别利用三边关系确定的取值范围，难度不大． 分别在两个三角形中利用三角形的三边关系得：、，从而得到，找到适合的值即可． 【详解】解：在中，，， 所以根据三角形的三边关系得：， 即：①， 在中，，， 所以根据三角形的三边关系得：， 即：②， 由①②得：， 只有11适合， 故选：D． 8．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，在中，点、分别在、上，则图中三角形的个数是（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：如图所示，    图中有共8个三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的定义，熟练掌握三角形的定义是解题的关键． 9．（2024·河北石家庄·一模）如图，小红将三角形纸片沿虚线剪去一个角，若剩下四边形纸片的周长为m，原三角形纸片的周长为n，下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D．m，n的大小无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用．熟练掌握三角形三边关系的应用是解题的关键． 如图，由题意知，，，由，可得，然后作答即可． 【详解】解：如图，    由题意知，，， ∵， ∴， 故选：A． 10．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）已知三角形的两边长分别为4，6．则第三边长的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集、三角形三边关系等知识点，确定第三边的范围是解本题的关键． 根据三角形三边关系确定出第三条边长的范围，再表示在数轴上即可． 【详解】解：已知三角形的两边长分别为4，6，则第三边长的取值范围为，即，表示在数轴上为： ． 故选C． 二、填空题 11．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）三角形三边长分别为3，，4，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行计算即可解答本题． 【详解】解：∵三角形三边长分别为3，，4， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）若一个两边相等的三角形的两边分别是和，则其周长是 ． 【答案】 【分析】底边可能是，也可能是，分类讨论，去掉不合条件的，然后可求周长． 【详解】解：①当腰是，底边是时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是，腰长是时，能构成三角形，则其周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答． 13．（23-24八年级上·河南许昌·阶段练习）如图所示，在中，于点D．E为上一点，且，，若，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了三角形，根据及即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：， , , ， 故答案为：1． 14．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，以为边的三角形的个数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是三角形的认识．根据三角形的概念、结合图形写出以为边的三角形． 【详解】解：以为边的三角形的有，一共有4个． 故答案为：4． 15．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）已知a，b，c是的三边长，化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，化简绝对值，根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到，据此化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：∵a，b，c是的三边长， ∴， ∴ ， 故答案为：． 16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知三条线段的长分别是5，5，m，它们能构成三角形，则整数m的最大值是 ． 【答案】9 【分析】利用三角形三边关系求出m的取值范围，从中找出最大的整数即可． 【详解】解：三条线段的长分别是5，5，m，若它们能构成三角形，则，即，因此整数m的最大值是9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 17．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）已知，，是的三边长，，满足，为奇数，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查三角形三边关系，非负数的性质，解题关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，先根据绝对值和平方的非负性求出a，b，再利用三角形三边关系求出c的取值范围，结合c为奇数确定c的值； 【详解】解：， ，， ，， ，，是的三边长， ， 为奇数， ， 故答案为：9． 18．（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．判断有一个内角是的直角三角形 “准等边三角形”．（填 “是”或“不是”） 【答案】是 【分析】根据直角三角形有一个角为，结合有一个内角是，得到，即可得出结论． 【详解】解：∵有一个内角是的直角三角形， ∴三角形有一个角为， ∵， ∴是“准等边三角形”； 故答案为：是． 【点睛】本题考查三角形的分类．理解“准等边三角形”的定义，是解题的关键． 三、解答题 19．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，点D，E分别在上，除外，图中还有几个三角形？并说出是哪些三角形的边． 【答案】除外，图中还有4个三角形；是和的边． 【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形．据此即可求解． 【详解】解：除外，还有、、、， ∴除外，图中还有4个三角形 其中，是和的边． 20．（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）若a，b，c为的三边长，且a，b满足． (1)求c的取值范围； (2)若第三边长c是整数，求c的值． 【答案】(1) (2)c的值为，， 【分析】本题考查绝对值的非负性、平方的非负性和三角形三边关系，解题的关键是利用非负性求出，的值． （1）利用非负性求出，的值，再利用三角形三边关系，即可求解； （2）根据第三边长c是整数，求c的值即可． 【详解】（1）解：∵， ，， 解得，， ，， ∴． （2）解：∵是整数， 的值为，，． 21．（20-21八年级上·全国·课后作业）下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)，，； (2)，，； (3)，，． 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)不能，理由见解析 (3)能，理由见解析 【分析】本题考查三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．解题的关键是利用三角形三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边判定即可． 【详解】（1）解：不能． ∵， ∴长度分别为，，的三条线段不能组成三角形； （2）不能． ∵， ∴长度分别为，，的三条线段不能组成三角形； （3）能． ∵， ∴长度分别为，，的三条线段能组成三角形． 22．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知的周长为， (1)若，求的长； (2)若，求三条边的长． 【答案】(1)的长是 (2)，， 【分析】（1）根据三角形的周长公式列出关于的方程并解答即可求得答案； （2）设，则，根据三角形的周长公式列出方程并解答． 【详解】（1）由题意，得， 解得． 即的长是． （2）设，则，， 由题意，得， 解得． 故，，． 所以，，． 【点睛】本题考查了三角形，解题的关键是掌握三角形的周长公式． 23．（23-24八年级上·陕西安康·期中）两根木棒分别长、，第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形，如果第三根木棒的长为偶数（单位：），那么一共可以构成多少个不同的三角形？这些三角形的周长分别是多少？ 【答案】共可以构成个不同的三角形，他们的周长分别为：，，， 【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，先求得第三根木棒长的取值范围，进而求得满足已知的第三根木棒长以及周长． 【详解】解：两根木棒分别长、， 根据三角形的三边关系，得：第三根木棒的长大于而小于． 又第三根木棒的长是偶数，则应为，，，． 共可以构成个不同的三角形， 他们的周长分别为：，， ，． 24．（21-22八年级上·广东湛江·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的格点上． (1)在图①中画出，使为直角三角形（要求点C在小正方形的格点上，画一个即可）． (2)求图①中的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）根据直角三角形的定义画出三角形即可．（答案不唯一） （2）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图①，△ABC即为所求． （2）解：图①中，△ABC的面积为：ACBC=×4×3=6． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 25．（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）如图1，共有________条线段，分别是________________； （2）如图2，若有一点，与线段不在同一直线上，分别连接各点，则共有_________个三角形，分别为_______________．    【答案】（1）6 ，，，，，，；（2）6，，，，，， 【分析】（1）根据线段的定义求解即可； （2）根据三角形的定义求解即可． 【详解】（1）如图1，共有6条线段， 分别是，，，，，； （2）共有6个三角形，分别为，，，，，． 【点睛】此题考查了线段和三角形，解题的关键是熟练掌握线段和三角形的定义．直线上两个点和它们之间的部分叫线段．三条首尾相连的线段组成的图形叫做三角形． 26．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）已知是三角形的三边长． (1)化简：； (2)满足，且三角形的周长是16，判断此三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)此三角形是等腰三角形，详见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系定理，化简绝对值及绝对值的非负性，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键． （1）根据三角形三边关系定理可得，，再去绝对值符号即可； （2）根据及三角形的周长是16求得a，b，c的值即可判断三角形的形状． 【详解】（1）解：是三角形的三边长， ． ，． ． （2）此三角形是等腰三角形． 理由如下： ， ． ． 三角形的周长是16， ． ． 此三角形是等腰三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$