24.1.2 垂直于弦的直径 讲义（思维导图+知识例题+强化训练）2024-2025学年人教版数学九年级上册

§24.1.2 垂直于弦的直径 讲义 （思维导图+知识例题+强化训练）2024-2025学年人教版 思维导图理思路 知识模块1 相关知识点回顾 1、圆：如图，把线段OP绕着端点O在平面内旋转 周，端点P运动所形成的图形叫做 。 2、轴对称图形：把一个图形沿着 折叠，如果直线两旁的部分能够 ，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是 。 3、中心对称图形：把一个平面图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够和原来的图形 ，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的 。 知识点1：圆的对称性 通过旋转与折叠的方法，我们得到： ★ 圆的旋转不变性，即一个圆绕圆心旋转任何角度后，都与它自身重合； ★ 圆是 图形，圆心是它的对称中心； ★ 圆是 图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴，对称抽有无数条。 不能说每条直径都是圆的对称轴，因为图形的对称抽是一条直线，应该说每条直径所在的直线都是圆的对称轴。 知识点2：垂径定理 ★ 垂径定理：____________________________________________________________； ★ 垂径定理的符号语言表现形式： ； ★ 拓展：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 注意： 1　 这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”。 2　 当垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍成立。 重点剖析： · 垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆中的计算问题和作图题提供了思考的方法和理论依据； · 一条直线如果具有：①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（被平分的弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所所对的劣弧，这五条中的任意两条，那么必然得到其余三条结论。 【典型例题1】 1.如图，的半径为，弦的长是，，垂足为，则的长为 ． 【分析】本题考查了垂径定理，和勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据垂径定理得出，再用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵弦的长是，， ∴， 又∵半径为，， ∴， ∴， 故答案为． 【典型例题2】 2.下列命题正确的是（    ） A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 B．弦的垂直平分线经过圆心 C．平分弦的直径垂直于弦 D．平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦 【分析】根据垂径定理及其推论进行判断即可． 【详解】A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，正确； B、弦的垂直平分线经过圆心，正确； C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误； D、平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦，正确； 故选ABD． 【典型例题3】 3.在半径为r的圆中，弦垂直平分，若，则r的值是（    ）    A． B． C． D． 【分析】设交于D，根据题意和垂径定理得到，在由勾股定理得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设交于D， ∵弦垂直平分，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 故选C．    【典型例题4】 4.⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 【典型例题4】 如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键． （1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证； （2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴，即小圆的半径r为 1.如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 根据垂径定理的推论得OB⊥AC，再根据勾股定理得OA10，即可求出答案． 解：∵AD＝CD＝8， ∴OB⊥AC， 在Rt△AOD中，OA10， ∴OB＝10， ∴BD＝10﹣6＝4． 故选：B． 2.如图，为的直径，弦于点E，已知，则的半径为 ． 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 连接，设的半径为，根据垂径定理求出，根据勾股定理列式计算，得到答案． 【详解】解：连接， 设的半径为，则， ∵为的直径， ， 由勾股定理得，， 即， 解得，， 则的半径为5， 故答案为：5． 3.已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 【分析】作于E，延长交于F，连接、，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在与之间时，；当点O不在与之间时，． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图       ∵，， ∴， ∴， ， 在中，， 在中，， 当点O在与之间时，如图1，， 当点O不在与之间时，如图2，， 故答案为：2或14． 4.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点， C点是AB的中点，即AC=BC==6； 并且OC⊥AB，在中， 由勾股定理得， 所以；AO=8cm， 所以， 所以OC= 故选： 5.如图，的两条弦、互相垂直，垂足为E，且．    (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【分析】（1）作于点M，作于点N，证明四边形为矩形，可得，，，可得，证明四边形是正方形，可得．证明，从而可得结论； （2）连接，求解，可得，可得，再由勾股定理可得答案. 【详解】（1）证明：作于点M，作于点N， 又∵， ∴四边形为矩形， ∵，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴即． （2）连接，        由（1）可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴⊙O的半径为． 6.如图，已知为的直径，于点，于点．若过圆心，．则四边形的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】根据垂径定理求出，，，求出，求出，求出，解直角三角形求出和，求出、、，根据三角形的面积公式求出即可． 【解答】解：如图，连接， 为直径，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 同理，， ，，、过， 由垂径定理得：，， 四边形的面积． 故选：． 7.如图，是的弦，、为直线上两点，，求证：． 【分析】作于，根据垂径定理得到，而，由等腰三角形三线合一的性质得平分，然后即可证得． 【解答】证明：作于，如图， 则， ，， ， ， 即． 1. 8.如图，点是的弦上一点．若，，的弦心距为3，则的长为　　 A．3 B．4 C． D． 【分析】根据垂径定理可以得到的长，根据题意可知，然后根据勾股定理可以求得的长． 【解答】解：作于点，如图所示， 由题意可知：，，， ， ， ， ， 故选：． 9.如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算． 【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H， 则EH=FH=EF=2， ∵GB=5， ∴OF=OB=， 在△OHF中，勾股定理，得 OH=， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形OADH也是矩形， ∴AD=OH=， 故答案为：． 知识模块2 · 利用垂径定理的性质结合实际问题去进行分析求解，常结合构造辅助线以及勾股定理和勾股定理设x 【典型例题1】 1.将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【典型例题2】 2.如图是高铁隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则的长为 ． 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 根据垂径定理可得，用半径表示出，再根据勾股定理即可得到答案． 【详解】解：设半径为r， ∵且经过点， ， ， ， 在中根据勾股定理可得，， 解得：． ∴， 故答案为：5． 【典型例题3】 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（　　） A．20m B．28m C．35m D．40m 设主桥拱半径R，根据垂径定理得到AD，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案． 解：由题意可知，AB＝37m，CD＝7m， 设主桥拱半径为R m， ∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m， ∵OC是半径，OC⊥AB， ∴AD＝BDAB（m）， 在RtADO中，AD2+OD2＝OA2， ∴（）2+（R﹣7）2＝R2， 解得R28． 故选：B． 【典型例题4】 4.小勇要帮助船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面，货船宽，船舱顶部为矩形并高出水面．请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理和矩形的性质，能求出圆的半径长度是解此题的关键． 设船舱顶部为矩形，交于，连接，，设的半径为，则，，根据垂径定理得出，，，根据矩形的性质得出，在中，根据勾股定理得出，求出，再在中，根据勾股定理求出，求出，再比较大小即可． 【详解】解：此货船不能顺利通过这座拱桥， 理由是：设船舱顶部为矩形，交于，连接，，设的半径为，则，， 四边形是矩形， ∴， ， ， 过圆心，， ，，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即，， 在中，， ， 此货船不能顺利通过这座拱桥． 1.“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中，“圆”有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图1是某园林中的圆弧形门洞，其数学模型如图2所示，该圆弧形门洞的半径为1.3米，为圆上一点，，于点，且米，则门洞的跨径的长为　　 A．0.5米 B．1米 C．1.2米 D．1.3米 【分析】根据即可求解． 【解答】解：由题意得：米，米， 米， ， （米， 米， 故选：． 2.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是　　 A．1米 B．2米 C．米 D．米 【分析】连接，交于，由垂径定理得（米，再由勾股定理得（米，然后求出的长即可． 【解答】解：连接，交于， 由题意得：米，， （米，， （米， 米， 即点到弦所在直线的距离是米， 故选：． 3.如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为　　 A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米 【分析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在所在的直线上，设圆心是．连接．根据垂径定理和勾股定理求解． 【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在所在的直线上，设圆心是 连接．根据垂径定理，得， 设圆的半径是，根据勾股定理， 得， 解得． 故选：． 4.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是　　 A．1米 B．2米 C．米 D．米 【分析】连接，交于，由垂径定理得（米，再由勾股定理得（米，然后求出的长即可． 【解答】解：连接，交于， 由题意得：米，， （米，， （米， 米， 即点到弦所在直线的距离是米， 故选：． 5. 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32， ∵OE⊥AB， ∴AE=EB=100cm， 在RT△OAE中， 在RT△OCE中，， 则 解得：r=134． 故答案为：134． 6.如图，隧道的截面由圆弧和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道的顶端E（圆弧的中点）高出道路（）．    (1)求圆弧所在圆的半径； (2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高，宽，通过计算问这辆货运卡车能否通过该隧道，写出理由． 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理的实际应用，矩形的性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． （1）设圆心为点O，半径为，根据垂径定理得到，再求出，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； （2）如图，在上取点，且使，过作交于点，连接，利用勾股定理的长，然后与车宽进行大小比较即可． 【详解】（1）解：如图，设圆弧所在圆的圆心为点O，半径为，连接交于点F，连接，    由垂径定理得：垂直平分， 四边形是矩形，，点E到的距离为 ，， ，， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得 ∴所在圆的半径为； （2）解：这辆货运卡车不能通过该隧道，理由如下： 如图，在上取点，且使，过作交于点，连接，    依题意，圆弧所在圆的半径为，到的距离为，则点到的距离为， ∴点到的距离为， 在中，， ∵ ∴这辆货运卡车不能通过该隧道． 7.如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、 (1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知拱门高（优弧中点到的距离），，，求拱门的圆弧半径． 【分析】本题考查了垂径定理，矩形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质及勾股定理是解题的关键， （1）在拱门上找任意一点，分别与相连，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置； （2）先证四边形是矩形，设，再根据勾股定理求得的值，即可得到拱门的圆弧半径． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， 过点 作于， 交优弧于点， 交于， 则 ，，， 设， 则， ， 在中，， ∴， ， 解得， ∴拱门的圆弧半径为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ §24.1.2 垂直于弦的直径 讲义 （思维导图+知识例题+强化训练）2024-2025学年人教版 思维导图理思路 知识模块1 相关知识点回顾 1、圆：如图，把线段OP绕着端点O在平面内旋转 周，端点P运动所形成的图形叫做 。 2、轴对称图形：把一个图形沿着 折叠，如果直线两旁的部分能够 ，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是 。 3、中心对称图形：把一个平面图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够和原来的图形 ，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的 。 知识点1：圆的对称性 通过旋转与折叠的方法，我们得到： ★ 圆的旋转不变性，即一个圆绕圆心旋转任何角度后，都与它自身重合； ★ 圆是 图形，圆心是它的对称中心； ★ 圆是 图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴，对称抽有无数条。 不能说每条直径都是圆的对称轴，因为图形的对称抽是一条直线，应该说每条直径所在的直线都是圆的对称轴。 知识点2：垂径定理 ★ 垂径定理：____________________________________________________________； ★ 垂径定理的符号语言表现形式： ； ★ 拓展：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 注意： 1　 这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”。 2　 当垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍成立。 重点剖析： · 垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆中的计算问题和作图题提供了思考的方法和理论依据； · 一条直线如果具有：①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（被平分的弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所所对的劣弧，这五条中的任意两条，那么必然得到其余三条结论。 【典型例题1】 1.如图，的半径为，弦的长是，，垂足为，则的长为 ． 【典型例题2】 2.下列命题正确的是（    ） A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 B．弦的垂直平分线经过圆心 C．平分弦的直径垂直于弦 D．平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦 【典型例题3】 3.在半径为r的圆中，弦垂直平分，若，则r的值是（    ）    A． B． C． D． 【典型例题4】 4.⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【典型例题4】 如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 1.如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 2.如图，为的直径，弦于点E，已知，则的半径为 ． 3.已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 4.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 5.如图，的两条弦、互相垂直，垂足为E，且．    (1)求证：； (2)若，，求的半径． 6.如图，已知为的直径，于点，于点．若过圆心，．则四边形的面积为　　 A． B． C． D． 7.如图，是的弦，、为直线上两点，，求证：． 8.如图，点是的弦上一点．若，，的弦心距为3，则的长为　　 A．3 B．4 C． D． 9.如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 知识模块2 · 利用垂径定理的性质结合实际问题去进行分析求解，常结合构造辅助线以及勾股定理和勾股定理设x 【典型例题1】 1.将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【典型例题2】 2.如图是高铁隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则的长为 ． 【典型例题3】 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（　　） A．20m B．28m C．35m D．40m 【典型例题4】 4.小勇要帮助船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面，货船宽，船舱顶部为矩形并高出水面．请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由． 1.“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中，“圆”有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图1是某园林中的圆弧形门洞，其数学模型如图2所示，该圆弧形门洞的半径为1.3米，为圆上一点，，于点，且米，则门洞的跨径的长为　　 A．0.5米 B．1米 C．1.2米 D．1.3米 2.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是　　 A．1米 B．2米 C．米 D．米 3.如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为　　 A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米 4.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是　　 A．1米 B．2米 C．米 D．米 5. 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 6.如图，隧道的截面由圆弧和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道的顶端E（圆弧的中点）高出道路（）．    (1)求圆弧所在圆的半径； (2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高，宽，通过计算问这辆货运卡车能否通过该隧道，写出理由． 7.如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、 (1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知拱门高（优弧中点到的距离），，，求拱门的圆弧半径． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$