第01讲 二次函数 （2个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第01讲 二次函数 （2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 题型强化 题型一．二次函数的定义 1．（2023秋•桐城市月考）若函数是二次函数，则的取值范围是 　　． 2．（2023秋•滁州期末）二次函数的图象是一条抛物线，若抛物线开口向上，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 3．（2022秋•凤阳县校级月考）已知函数． （1）若这个函数是二次函数，求的取值范围； （2）若这个函数是一次函数，求的值； （3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？ 题型二．根据实际问题列二次函数关系式 4．（2021秋•淮北月考）退休的李老师借助自家15米的院墙和总长度为30米的围栏，在院墙外设计一个矩形花圃种植花草．为方便进出，他在如图所示的位置安装了一个1米宽的门，如果设和墙相邻的一边长为米，花圃面积为平方米，则与之间的函数关系式为 　　． 5．（2022秋•定远县期末）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润（单位：元）与每件涨价（单位：元）之间的函数关系式是　　 A． B． C． D． 6．（2022秋•定远县校级期中）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是元，镜子的宽度是米． （1）求与之间的关系式． （2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽． 题型三、根据二次函数的定义求参数 7．（22-23九年级上·安徽安庆·期中）若是二次函数，则的值是（　　） A． B．2 C． D．不能确定 8．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若关于x的函数是二次函数，则a的取值范围是 ． 9．（21-22九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知函数y=（m2-2）x2+（m+）x+8． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围. 题型四、待定系数法求二次函数解析式 10．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标为，则抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 11．（23-24九年级下·安徽六安·期末）已知抛物线 经过点，它的对称轴是直线，则这条抛物线的函数表达式是 ． 12．（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知抛物线过点，求抛物线的解析式． 分层练习 一、单选题 1．在下列表达式中，x是自变量，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数是二次函数，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D．任意实数 3．下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 4．下列y关于x的函数中，不是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 5．已知y=（m+2）+2是关于x的二次函数，那么m的值为（　　　） A．-2 B．2 C．±2 D．0 6．如果是关于x的二次函数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．全体实数 7．已知二次函数的图象与x轴交于与两点，与y轴交于点C，若点P在该抛物线的对称轴上，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 8．国家决定对某药品分两次降价,若设平均每次降价的百分比为x,该药品的原价为33元,降价后的价格为y元,则y与x之间的函数关系为(   ) A．y=66(1-x) B．y=33(1-x) C．y=33(1-x2) D．y=33(1-x)2 9．下列关系中，是二次函数关系的是（ ） A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系； B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系； C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系； D．正方形的周长C与边长a之间的关系； 10．边长为 1 的正方形 OABC 的顶点 A 在 x 正半轴上，点 C 在 y 正半轴上，将正方形 OABC 绕顶点 O 顺时针旋转 75°，如图所示，使点 B 恰好落在函数y=ax2（a＜0）的图象上，则 a 的值为（    ） A．- B．﹣1 C．- D．- 二、填空题 11．某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为 ． 12．二次函数的二次项系数是 ． 13．若是关于x的二次函数，则m的值为 ． 14．在“探索函数的系数a，b，c与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图像，发现这些图像对应的函数表达式各不相同，其中a的最大值与最小值的和为 ；a的最小值为 ． 三、解答题 15．当m为何值时，函数是二次函数． 16．已知抛物线的顶点是，且经过点，求该抛物线的函数解析式． 17．已知是关于的二次函数，试确定的值． 18．已知函数． （1）若这个函数是一次函数，求的值 （2）若这个函数是二次函数，求的取值范围． 19．已知二次函数，当时，；当时，，求这个二次函数的表达式． 20．已知：一个边长为的正方形，把它的边长延长后得到一个新的正方形，那么，周长增大的部分和面积增大的部分分别是的函数．求出这两个函数的表达式，并判定它们的类型；如果是二次函数，写出表达式中，，的值． 21．如图，在中，，，，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是，过点作于点，连接． (1)若四边形为菱形，则值为多少？ (2)在点、的运动过程中，设四边形的面积为，请求出与的函数关系式？ 22．已知抛物线与x轴交于，两点，经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点M是x轴上位于点A与点B之间的一个动点（含点A与点B），过点M作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点E、点F．求线段的最大值． 23．如图，抛物线交轴于两点，与轴交于点，连接．点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为． (1)求此抛物线的表达式； (2)过点作轴，垂足为点，交于点．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)过点作，垂足为点．请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次函数 （2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 题型强化 题型一．二次函数的定义 1．（2023秋•桐城市月考）若函数是二次函数，则的取值范围是 　　． 【分析】形如，，为常数，的函数叫做二次函数，由此解答即可． 【解答】解：若函数是二次函数，则的取值范围是，即， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟知二次函数的定义是解题的关键． 2．（2023秋•滁州期末）二次函数的图象是一条抛物线，若抛物线开口向上，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意利用二次函数性质即可得到本题答案． 【解答】解：二次函数开口向上， ，即， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的定义，关键是二次函数图象及性质的应用． 3．（2022秋•凤阳县校级月考）已知函数． （1）若这个函数是二次函数，求的取值范围； （2）若这个函数是一次函数，求的值； （3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？ 【分析】（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案； （2）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项不等于0，是一次函数，可得答案； （3）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项等于0，可得正比例函数． 【解答】解：（1）函数是二次函数， 即， 即且， 当且，这个函数是二次函数； （2）函数是一次函数， 即且 当，函数是一次函数； （3）函数是正比例函数， 即且且 不存在 函数不可能是正比例函数． 【点评】本题考查了二次函数，注意二次函数的二次项系数不能等于0时，是二次函数；二次函数的二次项系数等于0时，是一次函数；二次项系数等于0，同时常数项等于0时 是正比例函数． 题型二．根据实际问题列二次函数关系式 4．（2021秋•淮北月考）退休的李老师借助自家15米的院墙和总长度为30米的围栏，在院墙外设计一个矩形花圃种植花草．为方便进出，他在如图所示的位置安装了一个1米宽的门，如果设和墙相邻的一边长为米，花圃面积为平方米，则与之间的函数关系式为 　　． 【分析】若和墙相邻的一边长为米，则平行于墙的一边长为米，利用矩形的面积计算公式，即可得出与之间的函数关系式，再结合院墙长15米及平行于墙的一边长非负，即可得出的取值范围． 【解答】解：若和墙相邻的一边长为米，则平行于墙的一边长为米， 依题意得：． 又， ， 与之间的函数关系式为． 故答案为：． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式是解题的关键． 5．（2022秋•定远县期末）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润（单位：元）与每件涨价（单位：元）之间的函数关系式是　　 A． B． C． D． 【分析】由每件涨价元，可得出销售每件的利润为元，每星期的销售量为件，再利用每星期售出商品的利润销售每件的利润每星期的销售量，即可得出结论． 【解答】解：每涨价1元，每星期要少卖出5件，每件涨价元， 销售每件的利润为元，每星期的销售量为件， 每星期售出商品的利润． 故选：． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式． 6．（2022秋•定远县校级期中）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是元，镜子的宽度是米． （1）求与之间的关系式． （2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽． 【分析】（1）依题意可得总费用镜面玻璃费用边框的费用加工费用，可得化简即可． （2）根据共花了195元，即玻璃的费用边框的费用加工费元，即可列出方程求解． 【解答】解：（1） ； （2）由题意可列方程为 ， 整理得，即， 解得，（舍去） ， ， 答：镜子的长和宽分别是和． 【点评】本题是一道一元二次方程的应用题，解这类题关键是理解题意，建立恰当的关系式予以求解． 题型三、根据二次函数的定义求参数 7．（22-23九年级上·安徽安庆·期中）若是二次函数，则的值是（　　） A． B．2 C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义，形如的式子是二次函数，计算即可． 【详解】解：根据二次函数的定义，可得：， 解得：， 当时，， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义，熟练的掌握二次函数的定义是解题的关键． 8．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若关于x的函数是二次函数，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义即可得． 【详解】解：函数是二次函数， ，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如，、、是常数，的函数，叫做二次函数． 9．（21-22九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知函数y=（m2-2）x2+（m+）x+8． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围. 【答案】（1）；（2）且． 【分析】（1）根据一次函数的定义知：二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，即可解决问题； （2）根据二次函数的定义知：二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案，即可解决问题； 【详解】（1）由题意得，，解得m=； （2）由题意得，m2-2≠0，解得m≠且m≠-. 【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念． 题型四、待定系数法求二次函数解析式 10．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标为，则抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意将代入函数解析式，求出的值即可得出最后结果． 【详解】解：抛物线与轴的交点坐标为， 将代入，得， 抛物线的表达式为， 故选：． 【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式，正确理解题意，熟练掌握求解函数解析式的方法是解答本题的关键． 11．（23-24九年级下·安徽六安·期末）已知抛物线 经过点，它的对称轴是直线，则这条抛物线的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据二次函数的对称性求函数值，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据“抛物线 经过点”得出，根据“对称轴是直线”得出，解方程组即可求解． 【详解】解∶∵抛物线 经过点，它的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴， 故答案为∶ ． 12．（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知抛物线过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，把点代入利用待定系数法列方程组，解方程组可得抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线过点， ， 即， 得：， ， 把代入①得：， 抛物线的解析式为：． 分层练习 一、单选题 1．在下列表达式中，x是自变量，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函的基本表示形式为，二次函数最高次必须为二次，据此即可求解． 【详解】解：A：最高次为三次，不符合题意； B：二次项出现在分母位置，不符合题意； C：一次项出现在分母位置，不符合题意； D：，满足二次函数的定义，符合题意 故选：D 【点睛】本题考查二次函数的定义．熟记相关结论即可． 2．已知函数是二次函数，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义即可解答． 【详解】解：由题意知，，解得：； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的二次项系数不等于0是解题的关键． 3．下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义“形如，为常数且”作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：A、该函数是二次函数，故本选项符合题意； B、当时，不是二次函数，故本选项不符合题意； C、，该函数是一次函数，故本选项不符合题意． D、该函数不是函数，故本选项不符合题意． 故选：A． 4．下列y关于x的函数中，不是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的一般形式：形如，，为常数且，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，是二次函数，故A不符合题意； B、，不是二次函数，故B符合题意； C、，是二次函数，故C不符合题意； D、，是二次函数，故D不符合题意； 故选：B． 5．已知y=（m+2）+2是关于x的二次函数，那么m的值为（　　　） A．-2 B．2 C．±2 D．0 【答案】B 【分析】根据形如y=a+bx+c（a≠0）是二次函数，可得答案． 【详解】解：∵y=（m+2）+2是y关于x的二次函数， ∴|m|=2且m+2≠0， 解得m=2， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是二次项的系数不能为0． 6．如果是关于x的二次函数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．全体实数 【答案】B 【分析】直接利用二次函数的定义得出答案． 【详解】∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题的关键． 7．已知二次函数的图象与x轴交于与两点，与y轴交于点C，若点P在该抛物线的对称轴上，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】待定系数法求出二次函数的解析式，得到点C的坐标，由PA+PC=PB+PCBC，当P、B、C三点共线时，PA+PC最小，此时PA+PC=BC，勾股定理求出BC即可． 【详解】解：将点A、B代入， 得，解得， ∴， 当x=0时，y=-5， ∴C（0，-5）， ∵AP=BP， ∴PA+PC=PB+PCBC， 当P、B、C三点共线时，PA+PC最小，此时PA+PC=BC， ∴PA+PC=， 故选：C． 【点睛】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的对称性，最短路径问题，勾股定理，熟记抛物线的对称性是解题的关键． 8．国家决定对某药品分两次降价,若设平均每次降价的百分比为x,该药品的原价为33元,降价后的价格为y元,则y与x之间的函数关系为(   ) A．y=66(1-x) B．y=33(1-x) C．y=33(1-x2) D．y=33(1-x)2 【答案】D 【分析】设平均每次降价的百分比为x，原价为33元，第一次降价后的价格是33×（1-x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价，第二次降价后的价格是33×（1-x）×（1-x）=33（1-x）2，由此即可解答． 【详解】设平均每次降价的百分比为x，降价后的价格为y元， ∴函数解析式是：y=33(1-x)2. 故选D. 【点睛】本题主要考查了列二次函数的解析式，解答本题的关键在于分析降价后的价格，正确得出第二次降价后的单价是原来单价的（1-x）2． 9．下列关系中，是二次函数关系的是（ ） A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系； B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系； C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系； D．正方形的周长C与边长a之间的关系； 【答案】C 【详解】A.路程=速度×时间,所以当路程一定时,汽车行驶的时间t与速度v之间是一次函数的关系; B.弹簧的长度y是随着物体的质量x增大而增长的,是一次函数关系; C.圆的面积=πr2,所以圆的面积S与圆的半径r之间是二次函数关系; D. 正方形的周长C=边长a×4, 故C与边长a之间是一次函数关系； 故选C. 点睛：本题主要考查的是二次函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键. 10．边长为 1 的正方形 OABC 的顶点 A 在 x 正半轴上，点 C 在 y 正半轴上，将正方形 OABC 绕顶点 O 顺时针旋转 75°，如图所示，使点 B 恰好落在函数y=ax2（a＜0）的图象上，则 a 的值为（    ） A．- B．﹣1 C．- D．- 【答案】D 【分析】过点B向x轴引垂线,连接OB,可得OB的长度,进而得到点B的坐标,代入二次函数解析式即可求解. 【详解】 如图,作轴于点E,连接OB, 正方形OABC绕顶点O顺时针旋转, , , , , , , , , 点B坐标为, 代入y=ax2（a＜0）得, . 所以D选项是正确的. 故选 D 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式,关键是利用正方形的性质及相应的三角函数得到点B的坐标. 二、填空题 11．某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】根据平均增长问题，可得答案． 【详解】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题的关键． 12．二次函数的二次项系数是 ． 【答案】 【分析】先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般式即可． 【详解】解：， ， ∴二次项系数是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的一般形式，解题的关键是掌握化成一般形式，确定二次项系数，一次项系数和常数项． 13．若是关于x的二次函数，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】根据二次函数的一般式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的一般式，解答的关键是熟知二次函数的一般式． 14．在“探索函数的系数a，b，c与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图像，发现这些图像对应的函数表达式各不相同，其中a的最大值与最小值的和为 ；a的最小值为 ． 【答案】 0 【分析】用待定系数法分别求出经过A，B，C三点，A，B，D三点，A，C，D三点，B，C，D三点的函数解析式即可求解． 【详解】当抛物线经过三点时， 得， 解得， ； 当抛物线经过三点时， 得， 解得， ∴； 当抛物线经过三点时， 得， 解得， ∴； 当抛物线经过三点时， 得， 解得， ∴， ∵ ∴a的值最大是， a的值最小是， ∴． 故答案为0，． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键． 三、解答题 15．当m为何值时，函数是二次函数． 【答案】m=3 【分析】根据二次函数的定义即可求出结论． 【详解】解：∵函数是二次函数 ∴ 解得：m=3 即当m=3时，函数是二次函数． 【点睛】此题考查的是根据二次函数的定义，求参数，掌握二次函数的定义是解题关键． 16．已知抛物线的顶点是，且经过点，求该抛物线的函数解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式的一般步骤，准确计算． 【详解】解：∵抛物线的顶点是， ∴可设抛物线的函数解析式为， ∵点在该抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数解析式为：． 17．已知是关于的二次函数，试确定的值． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义：最高次数是2，二次项系数不能是0，求出m的值． 【详解】解：根据题意得，，解得，， ∵，即， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的定义，解题的关键是二次函数的定义． 18．已知函数． （1）若这个函数是一次函数，求的值 （2）若这个函数是二次函数，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题； （2）根据二次函数的定义即可解决问题； 【详解】解：（1）由题意得，解得； （2）由题意得，，解得且． 【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零；（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案． 19．已知二次函数，当时，；当时，，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，把，；，代入到中得到方程组，解方程组即可求解，掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴， 解得， ∴这个二次函数的表达式为． 20．已知：一个边长为的正方形，把它的边长延长后得到一个新的正方形，那么，周长增大的部分和面积增大的部分分别是的函数．求出这两个函数的表达式，并判定它们的类型；如果是二次函数，写出表达式中，，的值． 【答案】，此函数是正比例函数；，此函数是二次函数，其中，，． 【分析】根据题意可得：周长增大的部分y1（cm）=新正方形的周长-原正方形的周长；面积增大的部分y2（cm2）=新正方形的面积-原正方形的面积，根据等量关系列出函数解析式即可． 【详解】由题意得：，此函数是正比例函数； ，此函数是二次函数， 其中，，． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列出函数关系式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 21．如图，在中，，，，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是，过点作于点，连接． (1)若四边形为菱形，则值为多少？ (2)在点、的运动过程中，设四边形的面积为，请求出与的函数关系式？ 【答案】(1) (2) 【分析】（）由且，得四边形是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即，可得关于的方程，求解即可； （）由直角三角形的性质可求，的长，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， 根据题意得：，，则， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 当时，四边形为菱形， 即，解得：； （2）解：，，，，， ，， 由（1）得：四边形是平行四边形， ． 即 【点睛】本题主要考查了二次函数，菱形的性质、平行四边形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 22．已知抛物线与x轴交于，两点，经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点M是x轴上位于点A与点B之间的一个动点（含点A与点B），过点M作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点E、点F．求线段的最大值． 【答案】(1)抛物线的函数解析式为 (2)线段EF的最大值为 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，以及两点之间的距离公式． （1）利用待定系数求函数解析式即可； （2）先求出的解析式，设 ， 则 ，根据两点之间的距离公式得出关于的绝对值方程，根据m的取值范围分类讨论求出的最大值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴可设抛物线的函数解析式为．      ∵抛物线经过点，则， 解得．     ∴抛物线的函数解析式为 （2）当时， 设直线的解析式为，把代入， 得 解得： ∴直线的解析式为 设 ， 则 ， 当时， ， ∴当时，有最大值2． 当时，， 当时， 有最大值 23．如图，抛物线交轴于两点，与轴交于点，连接．点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为． (1)求此抛物线的表达式； (2)过点作轴，垂足为点，交于点．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)过点作，垂足为点．请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ 【答案】(1) ；(2) 存在，或；；(3) 当时，的最大值为：． 【分析】(1)由二次函数交点式表达式，即可求解； (2)分三种情况，分别求解即可； (3)由即可求解． 【详解】解：(1)由二次函数交点式表达式得：， 即：，解得：， 则抛物线的表达式为； (2)存在，理由： 点的坐标分别为， 则， 将点的坐标代入一次函数表达式：并解得：…①， 同理可得直线AC的表达式为：， 设直线的中点为，过点与垂直直线的表达式中的值为， 同理可得过点与直线垂直直线的表达式为：…②， ①当时，如图1， 则， 设：，则， 由勾股定理得：，解得：或4(舍去4)， 故点； ②当时，如图1， ，则， 则， 故点； ③当时， 联立①②并解得：(舍去)； 故点Q的坐标为：或； (3)设点，则点， ∵， ∴， ， ∵， ∴有最大值， 当时，的最大值为：． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$