5.1.1 变化率问题课件 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章　一元函数的导数及其应用 5.1.1　变化率问题 人教A版 数学 选择性必修第二册 课程标准 1.理解平均速度和瞬时速度的关系,并会求解平均速度和瞬时速度. 2.体会抛物线上割线与切线的关系,会求解抛物线上某点处的切线斜率. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　平均速度与瞬时速度 1.平均速度:物体的位移与所用时间的比值,通常指物体在某一时间段的速度. 若物体运动的位移与时间的关系式是s=f(t),函数f(t)在t0与t0+Δt之间的平均速度是 2.瞬时速度:在物理中,做变速运动的物体在不同的时刻,速度是不同的,我们把物体在某一时刻的速度称为　　　　　　　　　.  若物体运动的位移与时间的关系式是s=f(t),当Δt趋近于0时,平均速度 变速运动物体在不同时刻瞬时速度不同 瞬时速度 名师点睛 从物理的角度看,瞬时速度就是将平均速度的时间段改为时间点,即让时间段[t,t+Δt](Δt>0)或者[t+Δt,t](Δt<0)中的时间间隔|Δt|无限趋近于0,此时时间段[t,t+Δt](Δt>0)或者[t+Δt,t](Δt<0)内的平均速度就无限趋近于t时刻的瞬时速度. 过关自诊 1.已知抛物线y=3x-x2在x0=2处的增量为Δx=0.1,则 的值为(　　) A.-0.11 B.-1.1 C.3.89 D.0.29 B 解析 令y=f(x)=3x-x2. ∵Δy=f(2+0.1)-f(2)=(3×2.1-2.12)-(3×2-22)=-0.11, 2.[北师大版教材习题]某物体走过的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的函数关系为s=t2-1,通过平均速度估计物体在下列各时刻的瞬时速度: (1)t=0;(2)t=2;(3)t=4. 估计当t=0时,瞬时速度为0 m/s; (2)当t=2,Δt无限趋近于0时, 无限趋近于4, 估计当t=2时,瞬时速度为4 m/s; (3)当t=4,Δt无限趋近于0时, 无限趋近于8, 估计当t=4时,瞬时速度为8 m/s. 知识点2　割线斜率与切线斜率 1.割线与切线的关系 如图所示,当点Pn(xn,f(xn))沿着曲线无限趋近于点P0(x0,f(x0))时,割线P0Pn无限趋近于一个确定的位置.这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的　　　　　.  切线 2.割线斜率与切线斜率的关系 f(x0+Δx)-f(x0)可记为Δy,并且Δy可为正数,可为负数,可为零 　　　　　 过关自诊 1.如图,我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大,观察有何现象出现? 提示 当不断放大时,曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线,即在很小的范围内,曲线可以看作直线,这就是以直代曲的思想. 2.已知曲线y=2x2上一点A(2,8),则在点A处的切线斜率为(　　) A.4 B.16 C.8 D.2 C 重难探究·能力素养全提升 重难探究·能力素养全提升 探究点一　求物体运动的平均速度及瞬时速度 角度1.平均速度 【例1】 某质点运动的位移s与时间t之间的关系为s(t)=-2t2+1,则该质点从t=1到t=2的平均速度为(　　) A.-4 B.-8 C.6 D.-6 D 规律方法　求物体运动的平均速度的三个步骤 第一步:求时间的改变量x2-x1; 第二步:求位移的改变量f(x2)-f(x1); 变式训练1[人教B版教材例题]已知某物体运动的位移x m是时间t s的函数,而且t=0.1时,x=0.25;t=0.5时,x=2.25.求这个物体在时间段[0.1,0.5]内的平均速度. 角度2.瞬时速度 【例2】 某物体的运动位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1 s时的瞬时速度. 分析 变式探究1在本例条件不变的前提下,试求物体的初速度. 解 求物体的初速度,即求物体在t=0时的瞬时速度. ∴物体的初速度为1 m/s. 变式探究2在本例条件不变的前提下,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 则2t0+1=9,∴t0=4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. 规律方法　求运动物体在t=t0时的瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量Δt和位移改变量s(t0+Δt)-s(t0). 探究点二　求解曲线在某点处的割线、切线斜率 【例3】 设函数f(x)=x(x-6),则此函数图象在x=0处的切线斜率为(　　) A.0 B.-1 C.3 D.-6 D 规律方法　求曲线上某点(x0,f(x0))处的割线或切线斜率的步骤 变式训练2曲线y= 在点(1,1)处切线的斜率为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 A 本节要点归纳 1.知识清单: (1)平均速度与瞬时速度的概念和计算. (2)曲线的割线与切线及其求解. 2.方法归纳:局部以直代曲法,极限的无 限逼近思想,数形结合思想. 3.常见误区:(1)不会用极限的思想理解瞬时速度;(2)容易忽视函数平均变化率的符号. 重难探究·能力素养全提升 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A级 必备知识基础练 1.[探究点一(角度1)]一运动物体的位移s与时间t之间的关系为s(t)=t2+3,则从t=3到t=3.3 内,该物体运动的平均速度为(　　) A.6.3 B.36.3 C.3.3 D.9.3 A 解析 s(3)=12,s(3.3)=13.89, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.[探究点一(角度2)]一个物体做直线运动,位移s与时间t之间的函数关系为s(t)=t2+2t+3,则该物体在t=2时的瞬时速度为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.[探究点一](多选题)已知某沿直线运动的物体走过的路程s与时间t的函数关系为s(t)=7t2+8(0≤t≤5),则下列说法正确的是( 　　) A.该物体在1≤t≤3内的平均速度是28 B.该物体在t=4时的瞬时速度是56 C.该物体位移的最大值为43 D.该物体在t=5时的瞬时速度是70 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.[探究点二]已知曲线y= 上一点P(1,1),则曲线在点P处的切线的斜率为　　　　　.  -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.[探究点一(角度1)]一个物体做直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为s(t)=5t2+mt,且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s,则实数m的值为　　　　　.  1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.[探究点一]一个做直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是s(t)=3t-t2(s的单位:m,t的单位:s). (1)求此物体的初速度; (2)求此物体在t=2 s时的瞬时速度; (3)求t=0 s到t=2 s的平均速度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B级 关键能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a等于(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(多选题)一运动物体的位移s与时间t之间的关系为 C.此物体在t0=1时的瞬时速度为6 D.此物体在t0=1时的瞬时速度为28 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.将半径为R的球加热,若半径从R=1到R=m时球的体积膨胀率为 ,则m的值为　　　　　.  2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.曲线f(x)=x2+1上哪一点处的切线满足下列条件? (1)平行于直线y=4x-5; (2)垂直于直线2x-6y+5=0; (3)倾斜角为135°. 解 设P(x0,y0)是满足条件的点,曲线f(x)=x2+1在点P(x0,y0)处的切线的斜率 (1)∵切线与直线y=4x-5平行, ∴2x0=4,得x0=2,y0=5,即P(2,5)是满足条件的点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2x-y=0 解析 由题意知在曲线上一点(x0,y0)的切线斜率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 故当x0=1时,切线斜率最小为2. 故斜率最小的切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0. . 趋近于常数,我们把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度,记为. ∴=-1.1. 解 物体的平均速度为=2t+Δt. (1)当t=0,Δt无限趋近于0时,无限趋近于0, 割线P0Pn的斜率是kn=,当点Pn沿着曲线无限趋近于点P0时,kn无限趋近于切线P0T的斜率k0,即k0=(Δx=xn-x0). 解析 曲线在点A处的切线斜率为k==8. 解析 由题得该质点从t=1到t=2的平均速度为=-6.故选D. 第三步:求平均速度. 解 所求平均速度为=5(m/s). 解 物体在t=1 s时的瞬时速度为 = =(3+Δt)=3. ∴物体在t=1 s时的瞬时速度为3 m/s. ∵ ==1+Δt, ∴(1+Δt)=1. 又=(2t0+1)+Δt, (2t0+1+Δt)=2t0+1. (2)求平均速度. (3)求瞬时速度,当Δt无限趋近于0时,无限趋近于常数v,即t0时刻的瞬时速度. 解析 =Δx-6,则切线斜率k= (Δx-6)=-6. 可得在点(x0,f(x0))处的切线的斜率为. 可以简记为一差、二比、三极限. 解析 切线斜率为k==-1,故选A. 则平均速度=6.3,故选A. 解析 由(Δt+6)=6,可知该物体在t=2时的瞬时速度为6. 解析 该物体在1≤t≤3内的平均速度是=28,A正确;物体在t=4时的瞬时速度是(56+7Δt)=56,B正确;物体的最大位移是s(5)=7×52+8=183,C错误;物体在t=5时的瞬时速度是(70+7Δt)=70,故D正确. 解析 曲线y=上一点P(1,1),在点P处的切线的斜率为 =-2,所以点P处的切线的斜率为-2. 解析 由已知,得=26,所以(5×32+3m)-(5×22+2m)=26,解得m=1. 解 (1)=3-Δt. (3-Δt)=3,所以物体的初速度为3 m/s. (2) = =-Δt-1. (-Δt-1)=-1,所以在t=2 s时的瞬时速度为-1 m/s. (3)平均速度=1(m/s). A.1 B. C.- D.-1 解析 因为(2a+aΔx)=2a,所以2a=2,所以a=1. 8.汽车行驶的位移s和时间t之间的函数图象如图所示,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]内的平均速度分别为,则三者的大小关系为(　　) A. B. C. D. 解析 设直线O'A,AB,BC的斜率分别为kO'A,kAB,kBC,则=kO'A,=kAB,=kBC,由题中图象知kBC>kAB>kO'A,即. s(t)=下列说法正确的是(　　) A.此物体在t0=1到t1=1+Δt(0<Δt<2)这段时间内的平均速度是常数 B.此物体在t0=1到t1=1+Δt(0<Δt<2)这段时间内的平均速度与Δt有关 解析 当0<Δt<2,1<t1=1+Δt<3时,s(t)=3t2+1,所以=3Δt+6. =6,即在t0=1时的瞬时速度为6.故选BC. 解析 体积的增加量ΔV=m3-(m3-1),所以,所以m2+m+1=7,所以m=2或m=-3(舍去). 为k=(2x0+Δx)=2x0. (2)∵切线与直线2x-6y+5=0垂直,∴2x0×=-1,得x0=-,y0=,即P(-)是满足条件的点. (3)因为切线的倾斜角为135°,所以其斜率为-1,即2x0=-1,得x0=-,y0=,即P(-)是满足条件的点. 12.在曲线y=x3-x2+3x-的所有切线中,斜率最小的切线方程为　　　　　　　　　　　.  =(Δx)2+x0Δx+-2x0+3-Δx]=-2x0+3, y0=×13-12+3×1-=2, $$