1.1 直线的斜率与倾斜角-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修 第一册同步导学案配套课件 苏教版（2019）

1.1　直线的斜率与倾斜角 第1章　直线与方程 [学习目标]　1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程,会应用斜率公式求直线的斜率. [素养目标]　水平一:斜率与倾斜角的定义;直线的斜率公式;利用斜率公式解答有关问题.(数学运算) 水平二:斜率与倾斜角的定义及它们之间关系的理解.(数学抽象) 学习引语　 　　大家知道两点确定一条直线,但是经过一点会有无数条直线,如果再给出倾斜程度就可确定一条直线,今天就将开始学习反映直线倾斜程度的两个量——斜率与倾斜角. 探究活动1　直线的斜率 内容索引 探究活动2　直线的倾斜角 课时作业 巩固提升 探究活动3　斜率和倾斜角的应用 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　直线的斜率 问题1　交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点,在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB的值为负实数),则坡度k=.若k>0,则表示上坡,若k<0,则表示下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢? 提示　坡度越大道路越陡峭,坡度越小道 路越平坦. 问题2　若A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点, 当x1≠x2时,你能用一个量反应直线l的倾斜程度吗? 提示　可以用的符号及大小反映直线l的倾斜程度. 对于直线l上的任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2), (1)如果x1≠x2,那么由相似三角形的知识可知,是一个定值,我们将其称为直线l的斜率.k=(x1≠x2). (2)如果x1=x2,那么直线l的斜率不存在. 知识生成 例1 (1)已知两点A(-1,2),B(3,4),则直线AB的斜率为 (　　) A.2　　　　　　　　 B.- C. D.-2 知识应用 C (1)kAB=. (2)(多选)下列选项正确的是 (　　) A.当直线与x轴垂直时,斜率不存在,不能用斜率公式 B.直线AB的斜率与A,B两点的顺序无关 C.当直线的斜率为负时,直线从左下方向右上方倾斜 D.画过点(1,1)且斜率为-的直线时,只能从点(1,1)向右平移3个单位长度,向下平移2个单位长度,然后连线 AB (2)根据斜率的定义,A,B正确,C错误.D选项中也可以向左平移3个单位长度,向上平移2个单位长度,故D错误. 1.若给出两个点的横坐标中含有参数,则要对参数进行分类讨论,分类的依据便是“两个横坐标是否相等”. 2.当直线的斜率为正时,直线从左下方向右上方倾斜;当直线的斜率为负时,直线从左上方向右下方倾斜;当直线的斜率为0时,直线与x轴平行或重合. 反思感悟 1.经过下列两点的直线的斜率是否存在?如果存在,求其斜率. (1)C(-2,3),D(2,-1); 跟踪训练 解:(1)存在.直线CD的斜率kCD==-1. (2)P(-3,1),Q(-3,10); 解: (2)不存在.因为xP=xQ=-3, 所以直线PQ的斜率不存在. (3)E(a,2),F(3,6). 解: (3)当a=3时,直线EF的斜率不存在; 当a≠3时,直线EF的斜率k=. 探究活动2　直线的倾斜角 直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按 　　　　方向旋转到与直线重合时,所转过的最小　　　　α也能刻画直线的倾斜程度,我们把这个角α称为这条直线的倾斜角.  (2)与x轴平行或重合的直线的倾斜角为　　　　.  (3)直线的倾斜角α的取值范围为　　　　.  知识生成 逆时针　 正角 0 [0,π) 求图中各直线的倾斜角. 例2 知识应用 [解]　(1)如图①,可知∠OAB为直线l1的倾斜角.易知∠ABO=30°,∴∠OAB=60°,即直线l1的倾斜角为60°. (2)如图②,可知∠xAB为直线l2的倾斜角,易知∠OBA=45°,∴∠OAB=45°,∴∠xAB=135°,即直线l2的倾斜角为135°. (3)如图③,可知∠OAC为直线l3的倾斜角,易知∠ABO=60°,∴∠BAO=30°,∴∠OAC=150°,即直线l3的倾斜角为150°. 直线倾斜角的概念和范围 1.求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论. 2.注意倾斜角的取值范围. 反思感悟 2.一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为 (　　) A.α　　　　　　　　　　　　 B.180°-α C.180°-α或90°-α D.90°+α或90°-α 跟踪训练 D 如图1,当l向上方向的部分在y轴左侧时,倾斜角为90°+α;如图2,当l向上方向的部分在y轴右侧时,倾斜角为90°-α. 探究活动3　斜率和倾斜角的应用 问题　在直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°的过程中,其斜率如何变化?为什么? 提示　当倾斜角为锐角时,斜率为正,而且斜率随着倾斜角的增大而增大;当倾斜角为钝角时,斜率为负,而且斜率随着倾斜角的增大而增大. 1.设直线的倾斜角为α,斜率为k. 知识生成 α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k=0 　　　  不存在 　　　  k的增 减性   随α的增大而　　　    随α的增大而　　　  2.直线的斜率与倾斜角之间的关系 当直线与x轴不垂直时,直线的斜率k与倾斜角α之间的关系为k=tan α. k>0　 k<0　 增大　 增大 　(1)已知三点A(a,2),B(3,7),C(-2,-9a)在同一条直线上,则实数a的值为　　　　.  例3 知识应用 2或 (1)∵A,B,C三点共线, ∴kAB=kBC,即,∴a=2或. (2)已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.则直线l的倾斜角α的取值范围为　　　　　　　　　　.  45°≤α≤135° (2)如图所示,由题意可知kPA==-1,kPB==1. 要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是k≤-1或k≥1. 由题意可知,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜 角之间,又PB的倾斜角是45°,PA的倾斜角是135°, 所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 直线的倾斜角和斜率的关系 1.直线都有倾斜角,但并不是所有的直线都有斜率.当倾斜角是90°时,直线的斜率不存在,此时,直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合). 2.直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度.当0°≤α<90°时,斜率越大,直线的倾斜程度越大;当90°<α<180°时,斜率越大,直线的倾斜程度也越大. 反思感悟 3.已知直线l经过点P(1,1),且与线段MN相交,其中点M,N的坐标分别是(2,-3),(-3,-2). (1)求直线PM与PN的斜率; 跟踪训练 解:(1)由题意与斜率公式可知,直线PM与PN的斜率分别为: kPM==-4,kPN=. (2)求直线l的斜率k的取值范围. 解:(2)如图所示,直线l相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转,l'是过P点且与x轴垂直的直线,当l由PN位置旋转到l'位置时,倾斜角增大到90°, 又kPN=,∴k≥. 又当l从l'位置旋转到PM位置时,倾斜角大于90°, 又kPM=-4,∴k≤-4. 综上所述,k∈(-∞,-4]∪. 课堂小结 1.牢记2个知识点 (1)直线的斜率与倾斜角的概念. (2)直线的斜率公式. 2.掌握3种规律方法 (1)求直线倾斜角的方法. (2)求直线斜率的方法. (3)直线的倾斜角与斜率之间的关系. 3.注意1个易错点 求直线的倾斜角时,一定要根据题目条件对斜率是否存在作出判断,以免漏解. 〈课堂达标·素养提升〉 1.直线l过点(0,3)且垂直于y轴,它的倾斜角和斜率是(　　) A.90°,不存在　　　　　　 B.180°,0 C.90°,1 D.0°,0 D 因为直线l与y轴垂直,所以直线的倾斜角是0°,斜率为0. 2.已知直线l的倾斜角α=30°,则其斜率k的值为 (　　) A.0 B. C. D.1 B k=tan 30°=. 3.已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率等于1,则m的值是 (　　) A.5 B.8 C. D.7 C 由题意得直线斜率存在,所以由斜率公式可得=1,解得m=. 4.若A(2,3),B(3,2),C三点共线,则实数m的值为　　　　.  设直线AB,BC的斜率分别为kAB,kBC, 则由斜率公式,得kAB==-1, kBC=(m-2). ∵A,B,C三共点线, ∴kAB=kBC, 即-1=-(m-2),解得m=. 课时作业 巩固提升 [A组] 1.若直线过点(1,2),(2,2+),则此直线的倾斜角是(　　) A.30°　　　　　　　　　 B.45° C.60° D.90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 利用斜率公式k=tan α=,可得倾斜角为60°. 2.若三点A(-1,-2),B(4,8),C(5,x)在同一条直线上,则实数x的值为(　　) A.10 B.-10 C.5 D.-5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 由三点在同一直线上,则可得kAB=kBC,由斜率计算公式可知,解得x=10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.若某直线的斜率k∈(-∞,],则该直线的倾斜角α的取值范围是(　　) A. C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C ∵直线的斜率k∈(-∞,], ∴k≤tan, ∴该直线的倾斜角α的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.直线l过点A(1,2),且不过第四象限,则直线l的斜率的取值范围是(　　) A.[0,2] B.[0,1] C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 如图所示,当直线l在l1的位置时,k=tan 0°=0;当直线l在l2的位置时,k==2,故直线l的斜率的取值范围是[0,2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(多选)在下列四个命题中,错误的有(　 　) A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B.直线的倾斜角的取值范围是[0,π) C.若一条直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角为α D.若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ACD 对于A,当直线与x轴垂直时,直线的倾斜角为90°,斜率不存在,A错误;对于B,直线倾斜角的取值范围是[0,π),B正确;对于C,一条直线的斜率为tan α,此直线的倾斜角不一定为α,如y=x的斜率为tan,它的倾斜角为,C错误;对于D,一条直线的倾斜角为α时,它的斜率为tan α或不存在,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.(多选)如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α1,α2,α3,则下列选项正确的是(　　)   A.k1<k3<k2 B.k3<k2<k1 C.α1<α3<α2 D.α3<α2<α1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AD 直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α1,α2,α3,由题图知k2>k3>0,k1<0,故>α2>α3>0,且α1为钝角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°,则直线l的倾斜角为 　　　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60°或120° 有如图两种情况:   第一种情况倾斜角α=90°-30°=60°, 第二种情况倾斜角α=90°+30°=120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.已知A(3,5),B(5,7),直线l的斜率是直线AB斜率的倍,则直线l的倾斜角为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60° 设直线l的斜率为k,则k=.所以直线l的倾斜角为60°. 9.已知直线l经过两点A(-1,m),B(m,1),问:当m取何值时: (1)直线l与y轴平行? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)若直线l与y轴平行, 则直线l的斜率不存在, ∴m=-1. (2)直线的倾斜角为45°? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)由题意可知,直线l的斜率k=1, 即=1,解得m=0. (3)直线的倾斜角为锐角? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (3)由题意可知,直线l的斜率k>0, 即>0, 解得-1<m<1. 10.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2). (1)求直线AB和AC的斜率; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB=,直线AC的斜率kAC=. 故直线AB的斜率为,直线AC的斜率为. (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时,求直线AD的斜率的变化范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)如图所示,当点D由点B运动到点C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,所以直线AD的斜率的变化范围是. [B组] 11.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度,再沿y轴正方向平移2个单位长度后,又回到原来的位置,那么直线l的斜率是(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 设A(a,b)是直线l上任意一点, 则平移后得到点A'(a-2,b+2), 于是直线l的斜率k=kAA' ==-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.已知直线l经过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点, 则直线l的倾斜角的取值范围为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设直线l的斜率为k,由题意得kAP==1,kBP=,∴k∈(-∞,-]∪[1,+∞), ∴直线l的倾斜角的取值范围为. 13 13.已知实数x,y满足方程x+2y=6,当1≤x≤3时,求的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:的几何意义是过M(x,y),N(2,1)两点的直线的斜率. 因为点M在函数x+2y=6的图象上,且1≤x≤3, 所以可设该线段为AB,且A,B. 又kNA=-,kNB=, 所以. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$