4.1 数列的概念（第2课时 数列的递推公式）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章　数列 4.1　数列的概念 第2课时　数列的递推公式 人教A版 数学 选择性必修第二册 课程标准 1.理解数列递推公式的含义,会用递推公式解决有关问题. 2.会利用数列的前n项和Sn与an的关系求通项公式. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　递推公式 如果一个数列的　　　　　　　　　之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.  相邻两项或多项 名师点睛 数列递推公式与通项公式的区别和联系 公式类型 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项an-1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法; (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 过关自诊 1.利用an+1=2an,n∈N*可以确定数列{an}吗? 提示 不能,需要知道数列{an}的某一项才可以. 3.试分别根据下列条件,写出数列{an}的前5项: (1)a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*; 解 因为a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*,所以a3=a2+2a1=2+2×1=4,a4=a3+2a2=4+2×2=8,a5=a4+2a3=8+2×4=16.因此,数列{an}的前5项依次为1,2,4,8,16. 知识点2　数列的通项公式与前n项和 1.数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 　共有n项 名师点睛 由Sn-Sn-1求得的an,若当n=1时,a1的值不等于S1的值,则数列的通项公式应采用分段形式表示,即 过关自诊 1.S1与a1是什么关系?S2呢? 2.若数列{an}的前n项和为Sn,则关系式an=Sn-Sn-1的使用条件是什么? 提示 由于S1表示数列的前1项的和,因此S1与a1相等,而S2表示数列的前2项的和,因此S2=a1+a2. 提示 n≥2,n∈N*,而不能只是n∈N*,这是因为当n=1时Sn-1=S0,数列中S0无意义. 3.[人教B版教材习题]已知数列{an}的前n项和为Sn=3n,求{an}的通项公式. 解 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-3(n-1)=3. 当n=1时,a1=S1=3,所以an=3. 重难探究·能力素养全提升 重难探究·能力素养全提升 探究点一　由递推公式求前若干项 【例1】 (1)(多选题)已知数列{an}中,a1=3,an+1=- ,则能使an=3的n可以为(　　) A.22 B.24 C.26 D.28 AD (2)已知数列{an},a1=1,且满足an=3an-1+ (n∈N*,且n>1),写出数列{an}的前5项. 分析 由a1的值和递推公式,分别逐一求出a2,a3,a4,a5的值. 规律方法　由递推公式写出数列的项的方法 根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,若项数很大,则应考虑数列的周期性. -3 探究点二　由递推公式求数列的通项公式 解 由a1=2,an+1=3an,得 a2=3a1=3×2, a3=3a2=3×3×2=32×2, a4=3a3=3×32×2=33×2, a5=3a4=3×33×2=34×2, …, 猜想:an=2·3n-1. 规律方法　由递推公式求通项公式常用的两种方法 (1)累加法:当an=an-1+f(n),n>1时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项公式. 探究点三　由数列的前n项和求通项公式 【例3】 (1)若数列{an}的前n项和Sn=-2n2+10n,求数列{an}的通项公式. 解 ∵Sn=-2n2+10n, ∴Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1), ∴an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n≥2). 当n=1时,a1=-2+10=8=-4×1+12.此时满足an=-4n+12, ∴an=12-4n. (2)若数列{an}的前n项和Sn=2n+1-1,求数列{an}的通项公式. 解 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2n;当n=1时,a1=S1=3,经验证不符合上式. 规律方法　 [提醒]应重视分类讨论的思想,分n=1和n≥2两种情况讨论.当n=1时,a1不适合an的情况要分开写,即 变式训练2已知数列{an}的前n项和为Sn,求数列{an}的通项公式. (1)Sn=2n-1,n∈N*; 解 由Sn=2n-1,① 得Sn-1=2n-1-1,② ①-②,得an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2), 又n=1时,a1=S1=21-1=1,满足an=2n-1,即an=2n-1,n∈N*. (2)Sn=2n2+n+3,n∈N*. 解 由Sn=2n2+n+3,③ 则Sn-1=2(n-1)2+(n-1)+3,④ ③-④,得an=Sn-Sn-1=4n-1(n≥2), 又当n=1时,a1=S1=6,不满足an=4n-1, 本节要点归纳 1.知识清单: (1)数列递推公式的概念. (2)由递推公式求数列的通项公式. (3)数列的周期性. (4)由数列的前n项和求数列的通项公式. 2.方法归纳:归纳法、累加法、累乘法、分类讨论思想. 3.常见误区:(1)用累加法、累乘法求通项公式时易忽视角标和首项的确认;(2)由数列的前n项和求数列的通项公式时易忽视首项是否符合通项公式的验证. 重难探究·能力素养全提升 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A级 必备知识基础练 1.[探究点一]已知在数列{an}中,a1=2,an+1=an+n(n∈N*),则a4的值为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 D 解析 因为a1=2,an+1=an+n,所以a2=a1+1=2+1=3,a3=a2+2=3+2=5,a4=a3+3=5+3=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.[探究点三]已知数列{an}的前n项和Sn=4n2-10n,则a2a6=(　　) A.52 B.68 C.96 D.108 B 解析 由题意,可得当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n2-10n-[4(n-1)2-10(n-1)]=8n-14,所以a2a6=(8×2-14)×(8×6-14)=68. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.[探究点二]已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是 (　　) D 解析 (方法1　构造法) 由已知整理,得(n+1)an=nan+1, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当n=1时,an=n也成立,所以an=n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.[探究点一](多选题)已知数列{xn}满足x1=a,x2=b, xn=1=xn-xn-1(n≥2),则下列结论正确的是(　 　) A.x2 020=a B.x2 022=a-b C.x11=x2 021 D.x1+x2+…+x2 020=2b-a BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析 x1=a,x2=b,x3=x2-x1=b-a, x4=x3-x2=-a,x5=x4-x3=-b,x6=x5-x4=a-b, x7=x6-x5=a=x1,x8=x7-x6=b=x2, ∴{xn}是周期数列,周期为6, ∴x2 020=x4=-a,A不正确;x2 022=x6=a-b,B正确;x2 021=x5=x11,C正确;x1+x2+…+x2 020=x1+x2+x3+x4=2b-a,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.[探究点一]若数列{an}满足an+1=2an-1,且a8=16,则a6=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.[探究点二]根据下列条件,写出数列的前四项,并归纳猜想它的通项公式. (1)a1=0,an+1=an+2n-1(n∈N*); 解 a1=0,a2=1,a3=4,a4=9. 猜想an=(n-1)2(n∈N*). B级 关键能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.在数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2,都有a1a2a3…an=n2,则a3+a5等于(　　) C 解析 由题意a1a2=22,a1a2a3=32,a1a2a3a4=42,a1a2a3a4a5=52, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 a1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.已知数列a1=1,a2,a3,…,an(n∈N*)的法则如下:若an为自然数,则an+1=an-2,否则an+1=an+3,则a6=　　　　　.  1 解析 ∵a1=1是自然数,∴a2=a1-2=1-2=-1.∵a2=-1不是自然数,∴a3=a2+3=-1+3=2.∵a3=2是自然数,∴a4=a3-2=2-2=0. ∵a4=0是自然数,∴a5=a4-2=0-2=-2.∵a5=-2不是自然数, ∴a6=a5+3=-2+3=1. 2.设数列{an}满足a1=1,an=1+(n∈N*,n>1),则a3=　　　　　.  提示 由已知,得a2=1+=2,a3=1+. (2)a1=2,an+1=2-,其中n∈N*. 解 因为a1=2,an+1=2-,其中n∈N*,所以a2=2-=2-, a3=2-=2-, a4=2-=2-, a5=2-=2-, 因此,数列{an}的前5项依次为2,. 2.an= an= 解 由a1=3,an+1=-,得a2=-,a3=-,a4=3.所以数列{an}是周期为3的数列,故a22=a28=3. 解 由题意,得a2=3a1+,而a1=1, 所以a2=3×1+. 同理a3=3a2+=10,a4=3a3+,a5=3a4+=91. 变式训练1若数列{an}满足a1=2,an+1=,n∈N*,则a2 022=　　　　　.  解析a2==-3,a3==-,a4=,a5==2=a1,∴{an}是周期为4的数列,∴a2 022=a2=-3. 【例2】 (1)已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+,n∈N*,求数列{an}的通项公式an. 分析 先将递推公式变形为an+1-an=,再利用累加法求通项公式; 解 ∵an+1-an=,∴a2-a1=,a3-a2=,a4-a3=,…, an-an-1=(n≥2), 将以上n-1个式子相加,得 (a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=+…+, 即an-a1=1-(n≥2,n∈N*). ∴an=a1+1-=-1+1-=-(n≥2,n∈N*).又当n=1时,a1=-1也符合上式. ∴an=-. (2)在数列{an}中,a1=1,an=(1-)an-1(n≥2),求数列{an}的通项公式. 分析 先将递推公式化为,再利用累乘法求通项公式. 解 ∵a1=1,an=an-1(n≥2),∴,∴an=·…··a1=·…··1=.又当n=1时,a1=1,符合上式,∴an=. 变式探究1将本例2(1)中的条件“a1=-1,an+1=an+,n∈N*”变为“a1=,anan-1=an-1-an(n≥2)”,求数列{an}的通项公式. 解 ∵anan-1=an-1-an,∴=1. ∴+()+()+…+()=2+n-1=n+1.∴an=(n≥2). 又n=1时,a1=,满足an=,∴an=(n∈N*). 变式探究2将例2(2)中的条件“a1=1,an=(1-)an-1(n≥2)”变为“a1=2,an+1=3an (n∈N*)”,写出数列的前5项,猜想an并加以证明. 证明如下:由an+1=3an得=3. 因此可得=3,=3,=3,…,=3(n≥2).将上面的n-1个式子相乘可得 ·…·=3n-1(n≥2),即=3n-1(n≥2),所以an=a1·3n-1(n≥2).又a1=2,所以an=2·3n-1(n≥2).当n=1时,a1=2也满足an=2·3n-1,所以an=2·3n-1(n∈N*). (2)累乘法:当=g(n),n>1时,常用an=·…··a1求通项公式. ∴an= 方法 解读 直接转化为an与an-1的关系求通项 利用an=化Sn为an 转化为Sn与Sn-1的关系 当an不易消去,或消去Sn后an不易求,可先求Sn,再由an=求an an= 所以an= 2.[探究点三]已知数列{an}的前n项和Sn=,则a6的值等于(　　) A. B.- C. D.- 解析 a6=S6-S5==-.故选D. A.2n-1 B. C.n2 D.n ∴,∴数列是常数列,且=1,∴an=n. (方法2　累乘法) 当n≥2时,,…,,这(n-1)个式子两边分别相乘,得=n.∵a1=1,∴an=n. 解析 ∵an+1=2an-1,∴a8=2a7-1=16,解得a7=, 又a7=2a6-1=,解得a6=. (2)a1=1,an+1=an+(n∈N*); (3)a1=-1,an+1=an+(n∈N*). 解 a1=1,a2=,a3==2,a4=.猜想an=(n∈N*). 解 a1=-1,a2=-,a3=-,a4=-.猜想an=-(n∈N*). 8.已知数列{an},an+1=,a1=3,则a2 022=(　　) A. B.3 C.- D. 解析 由题意,可知:a1=3, a2==-, a3=, a4==3, a5==-, … ∴数列{an}是一个以3为最小正周期的周期数列. ∵2 022÷3=674,∴a2 022=a3=. A. B. C. D. 则a3=,a5=.故a3+a5=. 10.设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)-n+an+1an=0(n∈N*),则它的通项公式an=　　　　　.  解析 把(n+1)-n+an+1an=0分解因式,得[(n+1)·an+1-nan](an+1+an)=0. ∵an>0, ∴an+1+an>0,∴(n+1)an+1-nan=0,∴,∴·…· ×…×(n≥2),∴. 又a1=1,∴an=a1=.又a1=1也适合上式,∴an=,n∈N*. 11.已知数列{an}满足a1>0,且an+1=an,则数列{an}的最大项是　　　　　.  解析 因为a1>0,且an+1=an,所以an>0,所以<1,所以an+1<an,所以此数列为递减数列,故最大项为a1. 12.已知数列{an}满足an+1= 若a1=,试求a2 021+a2 022. 解 ∵a1=, ∴a2=2a1-1=, ∴a3=2a2-1=, ∴a4=2a3=. ∴数列{an}是周期数列,且周期为3. ∴a2 021+a2 022=a673×3+2+a674×3=a2+a3=. 13.在数列{an}中,a1=,an+1=则a23=(　　) A. B. C. D. 解析 由题意可得a1=,a2=a1+1=,a3=|2a2-3|=,a4=a3+1=,a5 =|2a4-3|=,a6=,…,则数列{an}是以4为周期的数列,故a23=a3=. $$