3.3.2抛物线的简单几何性质(3知识点+6题型+质量检测）-2024年新高二数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

3.3.2 抛物线的简单几何性质 明确学习目标 课标要求 1.掌握抛物线的几何性质．(重点) 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题． 3.了解抛物线的简单应用. 4.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题． 重点难点 1.掌握抛物线的几何性质．(重点) 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题． 3.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题． 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 抛物线的几何性质 1.抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 焦半径 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝＝1(其中M是抛物线上一点，d表示M到准线的距离) 2.要点理解 (1)只有焦点在坐标轴上，顶点在坐标原点的抛物线的方程才是标准方程； (2)抛物线与双曲线不同，抛物线没有渐近线； (3)抛物线只有一条对称轴、一个顶点、一个焦点、一条准线； (4)所有抛物线的离心率均为1. (5)开口方向：由抛物线的标准方程看图象开口方向，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． (6)关系：准线垂直于对称轴，垂足与焦点关于顶点对称，它们与顶点的距离都等于一次项系数的绝对值的. 3.抛物线的几何性质的应用 利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题． (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题． (4)焦点弦：解决焦点弦问题． 知识点2 直线与抛物线的位置关系 1.直线与抛物线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个切点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 2.要点理解 (1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况． 反思感悟　判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于零时，直线与抛物线相交于一点． 3.弦长公式和中点弦问题 (1)弦长公式 ①统一弦长公式：|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|. ②焦点弦长：在抛物线y2＝2px(p>0)中，设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. (2)中点弦问题 ①解决中点弦问题常用方法 ②中点弦斜率：, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. ③中点弦直线方程：直线的方程为． 知识点3 抛物线的焦点弦性质 1.焦点弦的定义：过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦． 2.焦点弦长：如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）. （4）若直线的倾斜角为，则. （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. （6）为定值. 提升学科能力 题型一 抛物线的几何性质 例1．已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8 跟踪训练1 1．关于抛物线，下列说法正确的是（        ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 2．已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 3．平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线.则（    ） A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称 C．当点在曲线上时， D．当点在曲线上时，点到直线的距离 题型二 由几何性质求标准方程 例2．以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 跟踪训练2 1．以轴为对称轴，通径长为，顶点为坐标原点的抛物线方程是（    ） A．或 B． C．或 D． 2．在抛物线上，横坐标为的点到焦点的距离为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．设抛物线上一点到y轴的距离是到焦点距离的一半，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型三 直线与抛物线的位置关系 例3．已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 跟踪训练3 1．已知抛物线的准线为，且与直线相切，则（    ） A．2 B．1 C． D． 2．已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C有唯一公共点，则这样的直线有 条． 题型四 抛物线的弦长问题 例4．已知双曲线E：，若抛物线的焦点到双曲线E的渐近线的距离为，过焦点倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C．8 D． 跟踪训练4 1．倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则（  ） A． B．4 C．6 D．8 2．已知是抛物线上的两点，且直线经过的焦点，若，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 3．已知抛物线，直线，则直线被抛物线截得的弦长为 . 题型五 抛物线的中点弦问题 例5．已知直线与抛物线相交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练5 1．若抛物线的弦AB中点坐标为，则直线AB的斜率为（    ） A．－4 B．4 C．－2 D．2 2．过点作抛物线的弦AB，恰被点Q平分，则弦AB所在直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线的顶点为坐标原点，准线为，直线与抛物线交于两点，若线段的中点为，则直线的方程为 ． 题型六 抛物线的综合问题 例6．已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，直线l'经过点F且与Γ交于点A、B． (1)若，求线段AB的中点到x轴的距离； (2)设O为坐标原点，M为Γ上的动点，直线AM、BM分别与准线l交于点C、D．求证：为常数． 跟踪训练6 1．已知抛物线的焦点在轴的正半轴上，点在物物线内，若抛物线上一动点到两点距离之和的最小值为4． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)直线过抛物线的焦点且倾斜角为，并与抛物线相交于两点，求弦的长度． 2．已知两个定点A、B的坐标分别为和，动点P满足（O为坐标原点）． (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)设点为x轴上一定点，求点C与轨迹E上点之间距离的最小值； 3．已知抛物线：及抛物线：（），过的焦点F的直线与交于，两点，与交于，两点，O为坐标原点，． (1)求的方程． (2)过的中点M作的准线的垂线，垂足为N． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）判断直线与的公共点个数． 质量检测评价 一、单选题 1．抛物线上一点到其对称轴的距离为（    ） A．4 B．2 C． D．1 2．下列命题中正确的是（    ） A．抛物线 的焦点坐标为 ． B．抛物线 的准线方程为 x =−1． C．抛物线 的图象关于 x 轴对称． D．抛物线 的图象关于 y 轴对称． 3．直线与抛物线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 4．过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线的方程为 ，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，（    ） A． B．3 C． D．2 二、多选题 7．关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 8．在平面直角坐标系中，已知两定点，，动点满足，记点的运动轨迹为曲线，则下列说法正确的是（    ） A．曲线关于轴、轴和坐标原点对称 B．周长的最小值为 C．面积的最大值为 D．点到坐标原点距离的最小值为 9．已知拋物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B． C．直线的斜率为 D．直线的方程为 三、填空题 10．抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是 ． 11．抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A、B两点，若的周长为，则抛物线方程是 ． 12．已知抛物线的方程是，直线交抛物线于两点，若弦的中点为，则直线的方程为 ． 四、解答题 13．求下列抛物线的顶点坐标､对称轴､焦点坐标和准线方程. (1)； (2)； (3)； (4). 14．经过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点． (1)若直线的斜率是，求的值； (2)若是坐标原点，求的值． 15．已知直线经过两点，直线，关于直线：对称． (1)求直线的方程； (2)直线上是否存在点P，使点P到点的距离等于到直线l：的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3.2 抛物线的简单几何性质 明确学习目标 课标要求 1.掌握抛物线的几何性质．(重点) 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题． 3.了解抛物线的简单应用. 4.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题． 重点难点 1.掌握抛物线的几何性质．(重点) 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题． 3.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题． 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 抛物线的几何性质 1.抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 焦半径 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝＝1(其中M是抛物线上一点，d表示M到准线的距离) 2.要点理解 (1)只有焦点在坐标轴上，顶点在坐标原点的抛物线的方程才是标准方程； (2)抛物线与双曲线不同，抛物线没有渐近线； (3)抛物线只有一条对称轴、一个顶点、一个焦点、一条准线； (4)所有抛物线的离心率均为1. (5)开口方向：由抛物线的标准方程看图象开口方向，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． (6)关系：准线垂直于对称轴，垂足与焦点关于顶点对称，它们与顶点的距离都等于一次项系数的绝对值的. 3.抛物线的几何性质的应用 利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题． (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题． (4)焦点弦：解决焦点弦问题． 知识点2 直线与抛物线的位置关系 1.直线与抛物线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个切点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 2.要点理解 (1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况． 反思感悟　判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于零时，直线与抛物线相交于一点． 3.弦长公式和中点弦问题 (1)弦长公式 ①统一弦长公式：|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|. ②焦点弦长：在抛物线y2＝2px(p>0)中，设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. (2)中点弦问题 ①解决中点弦问题常用方法 ②中点弦斜率：, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. ③中点弦直线方程：直线的方程为． 知识点3 抛物线的焦点弦性质 1.焦点弦的定义：过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦． 2.焦点弦长：如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）. （4）若直线的倾斜角为，则. （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. （6）为定值. 提升学科能力 题型一 抛物线的几何性质 例1．已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8 【答案】AC 【分析】依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可. 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误；抛物线的焦点到准线的距离为4，故D错误. 故选：AC 跟踪训练1 1．关于抛物线，下列说法正确的是（        ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 【答案】D 【分析】根据抛物线的方程结合抛物线的性质逐项分析判断. 【详解】因为抛物线方程为，则，即， 所以开口向左，焦点坐标为，准线为，对称轴为x轴， 即D正确，ABC错误. 故选：D. 2．已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 【答案】AC 【分析】依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可. 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称， 所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误； 抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误. 故选：AC 3．平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线.则（    ） A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称 C．当点在曲线上时， D．当点在曲线上时，点到直线的距离 【答案】AC 【分析】 根据抛物线的定义可判断曲线C为抛物线，求出其方程，结合抛物线的性质一一判断各选项，可得答案. 【详解】由抛物线定义，知曲线C是以为焦点，直线为准线的抛物线， 则焦准距，故其方程为，故A正确； 抛物线关于y轴对称，不关于x轴对称，故B错误； 由知 ，故C正确； 当点在曲线上时，由于抛物线开口向上， 当点位于原点时，到直线l的距离最小为1， 故点P到直线l的距离 ，所以D错误， 故选：. 题型二 由几何性质求标准方程 例2．以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程. 【详解】依题意设抛物线方程为．因为焦点与原点之间的距离为2，所以，所以，所以抛物线方程为或． 故选：C． 跟踪训练2 1．以轴为对称轴，通径长为，顶点为坐标原点的抛物线方程是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据通径长求得，进而求得抛物线的方程. 【详解】依题意设抛物线方程为， 则通径，所以抛物线方程为或. 故选：C 2．在抛物线上，横坐标为的点到焦点的距离为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线方程可求得准线方程，进而根据其定义得知，求得． 【详解】解：抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义知， 解得． 故选：D． 3．设抛物线上一点到y轴的距离是到焦点距离的一半，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的焦半径公式求出即可求得抛物线方程. 【详解】点到y轴的距离是到焦点距离的一半，因为点到y轴的距离为2，得点到焦点距离4，由焦半径公式得 所以，所以抛物线的标准方程为. 故选：C. 题型三 直线与抛物线的位置关系 例3．已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 【答案】C 【分析】将直线方程和抛物线方程联立，使得方程仅有一个实数根，求出对应的的取值个数即可. 【详解】联立直线和抛物线方程可得， 整理可得， 直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根， 当时，方程为仅有一解，符合题意； 当时，一元二次方程仅有一解， 即，解得， 所以满足题意得直线有三条，即，和. 故选：C 跟踪训练3 1．已知抛物线的准线为，且与直线相切，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据已知求出的值.联立直线与抛物线的方程，消元，根据相切关系得出，求解即可得出答案. 【详解】由题知，，且， 所以，，的方程为. 将代入， 整理得. 因为与直线相切， 所以，，解得． 故选：B. 2．已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求直线的方程，与抛物线方程联立，利用，即可求解的取值范围. 【详解】当时，直线，与抛物线有交点，所以， 设直线的方程为， 联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得， 由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或. 故选：A 3．已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C有唯一公共点，则这样的直线有 条． 【答案】3 【分析】直线l与抛物线C有唯一公共点．分两类情况：一类是直线l平行于抛物线对称轴，另一类是直线l与抛物线C相切. 【详解】由题意知，直线的斜率存在. 设直线斜率为，则切线方程为， 联立 消x得， 当时，此时，与抛物线有唯一公共点； 当时，由，解得，即过M点的切线有两条． 综上可知，满足条件的直线有3条． 故答案为：3. 题型四 抛物线的弦长问题 例4．已知双曲线E：，若抛物线的焦点到双曲线E的渐近线的距离为，过焦点倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】 分别求出抛物线标准方程和直线方程，联立消求的值，利用弦长公式，即可求得本题答案. 【详解】因为抛物线的焦点为， 双曲线E：其中一条渐近线方程为， 所以焦点到渐近线的距离，解得， 所以抛物线的标准方程为， 因为直线过焦点且倾斜角为， 所以直线方程为， 所以抛物线标准方程与直线方程联立消，得， 由韦达定理得，， 所以弦长. 故选：A 跟踪训练4 1．倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则（  ） A． B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据已知条件，先求出直线的方程，联立直线与抛物线方程可得，，再结合抛物线的定义，以及韦达定理，即可求解. 【详解】直线的倾斜角为，直线的斜率为1， 抛物线，焦点， 直线的方程为， 设， 联立直线与抛物线方程，化简整理可得，，， 由韦达定理可得，，故. 故选：D. 2．已知是抛物线上的两点，且直线经过的焦点，若，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】结合抛物线的弦长公式计算即可. 【详解】. 故选：C. 3．已知抛物线，直线，则直线被抛物线截得的弦长为 . 【答案】 【分析】 分析可知，直线过抛物线的焦点，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可求得结果. 【详解】抛物线的焦点为，易知直线过点， 联立可得，， 设点、，由韦达定理可得， 所以，. 因此，直线被抛物线截得的弦长为. 故答案为：. 题型五 抛物线的中点弦问题 例5．已知直线与抛物线相交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法可求得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果. 【详解】设， 由得：， 线段的中点为，，， ，即直线的斜率为， 直线的方程为：，即. 故选：A. 跟踪训练5 1．若抛物线的弦AB中点坐标为，则直线AB的斜率为（    ） A．－4 B．4 C．－2 D．2 【答案】B 【分析】根据点差法求解即可. 【详解】设，，则. 所以， 所以. 故选：B 2．过点作抛物线的弦AB，恰被点Q平分，则弦AB所在直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法及中点坐标求出直线AB的斜率，再根据点斜式求解即可. 【详解】解：设，，由题意可知， 则，两式相减，得， 因为是弦AB的中点，所以，， 所以，即，直线AB的斜率为2， 所以弦AB所在直线的方程为，即， 故选：C. 3．已知抛物线的顶点为坐标原点，准线为，直线与抛物线交于两点，若线段的中点为，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可求得抛物线的方程，设，由“点差法”求出直线的斜率，再由点斜式方程即可得出答案. 【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，准线为， 所以易得抛物线的方程为， 设， 因为线段的中点为， 故， 则，由， 两式相减得，所以， 故直线的方程为，即． 故答案为：.    题型六 抛物线的综合问题 例6．已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，直线l'经过点F且与Γ交于点A、B． (1)若，求线段AB的中点到x轴的距离； (2)设O为坐标原点，M为Γ上的动点，直线AM、BM分别与准线l交于点C、D．求证：为常数． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）设，，则由已知结合抛物线的焦点弦公式得，设直线AB的方程为，代入抛物线方程化简利用根与系数的关系结合前面的式子可求出，再结合中点坐标公式可求得答案； （2）设，，，，，表示出直线的方程，从而表示出，化简即可. 【详解】（1）设，，因为，所以． 由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为， 将直线方程代入抛物线方程得． 因为，所以，得． 设线段AB的中点，则， 所以线段AB的中点C到x轴的距离为1． （2）准线方程，设，，，，， 直线AM的斜率为，直线BM的斜率为， 直线AM的方程为，直线BM的方程为， 所以， ． 设直线AB的方程为：，代入抛物线方程得， ，所以， 所以 ． 所以为常数． 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义的应用，解题的关键是利用圆锥曲线中常用的方法“设而不求”，设出直线方程，设出交点坐标，考查计算能力，属于较难题. 跟踪训练6 1．已知抛物线的焦点在轴的正半轴上，点在物物线内，若抛物线上一动点到两点距离之和的最小值为4． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)直线过抛物线的焦点且倾斜角为，并与抛物线相交于两点，求弦的长度． 【答案】(1)，； (2)16. 【分析】（1）设出抛物线方程，由已知结合抛物线定义求解即得. （2）求出直线的方程，与抛物线方程联立，利用抛物线定义求出弦长. 【详解】（1）依题意，设抛物线的方程为，则焦点，准线方程为， 过点作准线的垂线，垂足为，令抛物线上动点到准线的距离为， 则，于是，当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号， 因此，解得， 所以抛物线：的焦点，准线方程为. （2）由（1）知，直线的方程为， 由消去并整理得，，设， 因此，所以. 2．已知两个定点A、B的坐标分别为和，动点P满足（O为坐标原点）． (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)设点为x轴上一定点，求点C与轨迹E上点之间距离的最小值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用向量知识，结合，求出即可； （2）设，则， 运用二次函数单调性解题即可. 【详解】（1）设，，，， ，．因为， 则，所以，所以轨迹E的方程为． （2）设轨迹E：上任一点为，所以， 所以， 令，对称轴为：， 当，即时，在区间严格增，所以当时，取得最小值，即的最小值为，所以的最小值为； 当，即时，在区间严格减，在区间严格增， 所以当时，取得最小值，即的最小值为，所以的最小值为， 所以    3．已知抛物线：及抛物线：（），过的焦点F的直线与交于，两点，与交于，两点，O为坐标原点，． (1)求的方程． (2)过的中点M作的准线的垂线，垂足为N． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）判断直线与的公共点个数． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）0 【分析】（1）根据已知条件作出图形，设出直线，直线与抛物线联立方程组，利用韦达定理及向量垂直的条件即可求解； （2）（ⅰ）设出直线，直线与抛物线联立方程组，利用韦达定理及抛物线的定义，结合中点坐标公式及两点间的距离公式即可求解； （ⅱ）根据（ⅰ）的结论及两点式写出直线的方程，直线与抛物线联立方程组，利用判别式即可求解. 【详解】（1）由题意可知，作出图形如图所示 由题意得，设，，则，， 设直线的方程为，与联立，得， 所以，． 因为， 所以，解得， 所以的方程为． （2）（ⅰ）设，则，． 由（1）知，， 直线的方程为，与联立，得， 所以，，， ． 由抛物线定义得． 设，则，， 所以，． 因为． 所以，为定值． （ⅱ）由（ⅰ）知，，，即 所以直线的方程为， 整理得， 与联立，得， ， 所以直线与的公共点个数为0． 质量检测评价 一、单选题 1．抛物线上一点到其对称轴的距离为（    ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】利用代入法进行求解即可. 【详解】把代入抛物线方程中，得， 因为该抛物线的对称轴为纵轴， 所以抛物线上一点到其对称轴的距离为4， 故选：A 2．下列命题中正确的是（    ） A．抛物线 的焦点坐标为 ． B．抛物线 的准线方程为 x =−1． C．抛物线 的图象关于 x 轴对称． D．抛物线 的图象关于 y 轴对称． 【答案】C 【分析】根据抛物线的性质逐项分析可得答案. 【详解】抛物线 的焦点坐标为 ，故A错误； 抛物线 的准线方程为，故B错误； 抛物线 的图象关于 x 轴对称，故C正确，D错误； 故选：C. 3．直线与抛物线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】B 【分析】因为直线与抛物线的对称轴平行，即可得出答案. 【详解】因为直线与抛物线的对称轴平行， 故直线与抛物线只有一个公共点． 故选：B. 4．过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，将直线与方程联立，分析即得解； 【详解】解：当直线的斜率不存在时，直线符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，得， 当时，符合题意； 当时，由，可得， 即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有条． 故选：C 5．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知直线不与轴重合，设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点坐标，进而可得出线段的中点的轨迹方程. 【详解】抛物线的焦点为，设点、， 若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，联立可得， ，由韦达定理可得，所以，， 设线段的中点为，则，，则， 所以，，化简可得. 因此，线段的中点的轨迹方程为. 故选：D. 6．已知抛物线的方程为 ，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】 设出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理和焦点弦公式代入计算可求得. 【详解】 如下图所示：    易知，不妨设； 设直线的方程为，与联立消去得， , 由韦达定理可知； 由可得；联立解得，即； 根据焦点弦公式可得； 代入计算可得. 故选：C 二、多选题 7．关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 【答案】AD 【分析】根据抛物线标准方程依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A，，开口向左，故A正确； 对选项B，，焦点为，故B错误； 对选项C，，准线方程为，故C错误； 对选项D，，对称轴为轴，故D正确. 故选：AD 8．在平面直角坐标系中，已知两定点，，动点满足，记点的运动轨迹为曲线，则下列说法正确的是（    ） A．曲线关于轴、轴和坐标原点对称 B．周长的最小值为 C．面积的最大值为 D．点到坐标原点距离的最小值为 【答案】ABD 【分析】先判定轨迹方程的类型，求出轨迹方程，后用卡西尼卵形线中的焦点三角形的方法求解即可. 【详解】对于A，设，由得， 即，故轨迹为卡西尼卵形线， 以替换方程不变，替换方程不变， ，同时分别替换，方程不变，所以曲线关于轴、轴和坐标原点对称，故选项A正确； 对于B，的周长， 当且仅当时等号成立，故选项B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，所以当， 即时，取得最大值，最大值为1， 所以的最大面积，故选项C错误； 对于D，， 即，即，即， 当且仅当，即，时等号成立，故选项D正确， 故选：ABD． 9．已知拋物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B． C．直线的斜率为 D．直线的方程为 【答案】BCD 【分析】由准线所过点求得得抛物线方程，判断A，设直线，代入抛物线方程后应用韦达定理判断B，设，，利用选项B中斜率表示出两点坐标，计算斜率判断C，利用韦达定理得出线段中点坐标得直线方程判断D． 【详解】因为在准线上，所以准线方程为，所以，抛物线的方程为，故A错误； 设直线，代入，得， 当直线与相切时，，即， 设的斜率分别为，易知是上述方程的两根，故， 所以，故B正确； 设，，则分别是方程的根， 所以，所以，故C正确； ，， 所以的中点为，直线的方程为，即，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 10．抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是 ． 【答案】1或9 【分析】设该点的坐标为，根据题中条件列出方程组求解即可. 【详解】抛物线的准线方程为，对称轴为轴， 设该点的坐标为， 由题意可得，，则， 即，解得或， 因为，所以或. 故答案为：1或9. 11．抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A、B两点，若的周长为，则抛物线方程是 ． 【答案】 【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，双曲线渐近线方程，得到，由勾股定理得到，根据周长得到方程，求出，得到抛物线方程. 【详解】由题意得，准线方程为， 的渐近线方程为， 中，令得， 故，由勾股定理得， 故的周长为，解得， 故抛物线方程为.    故答案为： 12．已知抛物线的方程是，直线交抛物线于两点，若弦的中点为，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】设，，利用点差法可求得直线斜率，由此可得直线方程. 【详解】设，， 弦中点为，，， 由得：，， 即直线的斜率，，即. 故答案为：. 四、解答题 13．求下列抛物线的顶点坐标､对称轴､焦点坐标和准线方程. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)，对称轴为x轴，，； (2)，对称轴为y轴，， ； (3)，对称轴为y轴，， (4)，对称轴为x轴，，； 【分析】根据抛物线的标准方程即可得到答案. 【详解】（1）的焦点在x轴正半轴上，， 顶点坐标为，对称轴为x轴，焦点坐标为，准线方程为； （2）的焦点在y轴正半轴上，， 顶点坐标为，对称轴为y轴，焦点坐标为，准线方程为； （3）即，焦点在y轴负半轴上，， 顶点坐标为，对称轴为y轴，焦点坐标为，准线方程为； （4）即，焦点在x轴负半轴上，， 顶点坐标为，对称轴为x轴，焦点坐标为，准线方程为； 14．经过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点． (1)若直线的斜率是，求的值； (2)若是坐标原点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立方程组，然后结合抛物线的定义求解； （2）将问题分为垂直于轴与不垂直于轴求解； 【详解】（1） 抛物的焦点是，直线方程是， 与，联立得：， 解得， 所以． （2）当垂直于轴时，． 当不垂直于轴时，设， 代入得， 所以， 从而． 故， 综上． 15．已知直线经过两点，直线，关于直线：对称． (1)求直线的方程； (2)直线上是否存在点P，使点P到点的距离等于到直线l：的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在符合条件的点P，其坐标为或． 【分析】（1）求出方程，根据，的对称性求得的方程； （2）根据条件求出点P的轨迹方程，与联立求得P的坐标. 【详解】（1）直线的斜率，则直线的方程为，即． 设点为直线上任意一点， 则点关于：的对称点在直线上，即， 所以直线的方程为． （2）假设存在符合条件的点P，使点P到点的距离等于到直线： 的距离． 设点，则， 所以点P在的图象上． 又因为点P在直线上， 由解得或， 所以存在符合条件的点P，其坐标为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$