3.3.1抛物线及其标准方程（3知识点+5题型+质量检测）-2024年新高二数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

3.3.1 抛物线及其标准方程 明确学习目标 课标要求 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念. 2.明确抛物线方程中参数p的几何意义. 3.会求简单的抛物线方程，并能应用它解决有关问题． 重点难点 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念. 2.明确抛物线方程中参数p的几何意义. 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 抛物线的定义 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 集合可表示为：． 2.要点理解 (1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)，一定直线l(即准线)，一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)． (2)若点F在直线l上，则到定点F和定直线l距离相等的点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． 知识点2 抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 2.要点理解 (1)p的几何意义是焦点到准线的距离.p的值决定开口大小，p越大，则抛物线开口越大；p越小，则抛物线开口越小． (2)标准方程的结构特征：焦点在坐标轴上，准线与焦点所在的坐标轴垂直，坐标原点与焦点的距离等于其到准线的距离． (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项变量(x或y)及其系数的正负． (4)抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离为x0＋(焦半径公式)． (5)准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称． 知识点3 焦点、准线和标准方程的求法 1.标准方程的求法 (1)用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 (2)当抛物线的焦点位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数． 2.焦点与准线：求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由方程得到参数p，从而得到焦点坐标与准线方程． 提升学科能力 题型一 抛物线的定义理解 例1．若点满足方程，则点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 跟踪训练1 1．已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为3，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．抛物线的焦点到准线的距离是（    ）. A． B． C．2 D．4 3．抛物线上一点的纵坐标为2，则点与抛物线焦点的距离为（    ） A．2 B． C．3 D．4 题型二 抛物线的标准方程 例2．已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2 1．若抛物线（）上一点P（2，）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（    ） A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x 2．设抛物线：的焦点为，在上，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型三 抛物线的焦点及准线 例3．若抛物线（）上一点到焦点的距离是，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3 1．抛物线的准线方程是（　　） A． B． C． D． 2．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知点为抛物线的焦点，则点坐标为 ． 题型四 抛物线的线段和最值问题 例4．已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 跟踪训练4 1．若点在焦点为的抛物线上，且，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 2．已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点A坐标为，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C． D． 3．已知抛物线，F为抛物线的焦点，且P是该抛物线上一点，点，则的最小值为 . 题型五 抛物线的轨迹方程 例5．一个动圆与定圆相外切，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练5 1．已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的个数是（    ） （1）动点满足，则P的轨迹是椭圆 （2）动点满足，则P的轨迹是双曲线 （3）动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线 （4）动点满足，则P的轨迹是圆和两条射线 A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知动圆P与定圆C：（x+2）2+y2＝1相外切，又与直线x＝1相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是 ． 质量检测评价 一、单选题 1．已知抛物线的标准方程是，则它的准线方程是（   ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 3．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线，若抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离为3，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 5．若抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．4 B． C．2 D．1 6．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上一动点，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向下，准线方程为 B．开口向下，焦点为 C．开口向左，焦点为 D．开口向左，准线方程为 8．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（    ） A．F的坐标为 B． C． D． 9．过抛物线C：上一点作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M、N，则（    ） A．C的准线方程是 B．过C的焦点的最短弦长为12 C．直线过定点 D．当点A到直线的距离最大时，直线的方程为 三、填空题 10．抛物线的准线方程是，则实数a的值为 ． 11．抛物线的焦点为，且抛物线与椭圆在第一象限的交点为A，若轴，则 ． 12．已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为 ． 四、解答题 13．根据下列条件，分别求出曲线的标准方程： (1)焦距是，过点，焦点在轴上的椭圆； (2)一个焦点是，一条渐近线方程为的双曲线； (3)焦点到准线的距离是，而且焦点在轴上的抛物线. 14．在直角坐标系中，点到直线的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于两点，求线段的长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3.1 抛物线及其标准方程 明确学习目标 课标要求 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念. 2.明确抛物线方程中参数p的几何意义. 3.会求简单的抛物线方程，并能应用它解决有关问题． 重点难点 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念. 2.明确抛物线方程中参数p的几何意义. 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 抛物线的定义 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 集合可表示为：． 2.要点理解 (1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)，一定直线l(即准线)，一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)． (2)若点F在直线l上，则到定点F和定直线l距离相等的点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． 知识点2 抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 2.要点理解 (1)p的几何意义是焦点到准线的距离.p的值决定开口大小，p越大，则抛物线开口越大；p越小，则抛物线开口越小． (2)标准方程的结构特征：焦点在坐标轴上，准线与焦点所在的坐标轴垂直，坐标原点与焦点的距离等于其到准线的距离． (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项变量(x或y)及其系数的正负． (4)抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离为x0＋(焦半径公式)． (5)准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称． 知识点3 焦点、准线和标准方程的求法 1.标准方程的求法 (1)用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 (2)当抛物线的焦点位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数． 2.焦点与准线：求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由方程得到参数p，从而得到焦点坐标与准线方程． 提升学科能力 题型一 抛物线的定义理解 例1．若点满足方程，则点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】根据轨迹方程所代表的意义和抛物线的定义可得答案. 【详解】等式左侧表示点与点间的距离， 等式右侧表示到直线的距离， 整个等式表示点到点的距离和到直线的距离相等， 且点不在直线上， 所以点轨迹为抛物线. 故选：D. 跟踪训练1 1．已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为3，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】 根据抛物线方程写出其准线方程，再利用抛物线定义即可求得结果. 【详解】如下图所示：        根据题意可得抛物线的准线方程为， 若到直线的距离为，则到抛物线的准线的距离为， 利用抛物线定义可知. 故选：A 2．抛物线的焦点到准线的距离是（    ）. A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据抛物线方程及其定义确定焦点到准线的距离. 【详解】由抛物线方程知：，即， 根据抛物线定义知：焦点到准线的距离是. 故选：B 3．抛物线上一点的纵坐标为2，则点与抛物线焦点的距离为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】由抛物线的准线方程为，焦点， 因为抛物线上一点的纵坐标为2， 根据抛物线的定义，可得点与抛物线焦点的距离为. 故选：B. 题型二 抛物线的标准方程 例2．已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据抛物线的定义求解． 【详解】由题意抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相，因此，，抛物线方程为． 故选：C． 跟踪训练2 1．若抛物线（）上一点P（2，）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（    ） A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x 【答案】D 【分析】由抛物线的定义可解答. 【详解】抛物线上一点到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4，∴，解得，∴抛物线的标准方程为. 故选：D. 2．设抛物线：的焦点为，在上，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义求得，进而确定正确答案. 【详解】抛物线的开口向上， 由于在上，且， 根据抛物线的定义可知， 所以抛物线的方程为. 故选：A 3．在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可. 【详解】由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等， 由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以，轨迹方程为， 故选：D 题型三 抛物线的焦点及准线 例3．若抛物线（）上一点到焦点的距离是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线定义有，结合已知求即可. 【详解】设焦点为，则，解得．    故选：D 跟踪训练3 1．抛物线的准线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将已知方程化为标准方程，再求准线方程. 【详解】将化为标准方程， 由此得，所以抛物线的准线方程为. 故选：C. 2．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将抛物线方程化为标准方程，再求焦点坐标即可. 【详解】由可得，其焦点坐标为， 故选：B 3．已知点为抛物线的焦点，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】首先将抛物线化为标准方程，根据抛物线定义的4种形式，即可得出焦点的坐标. 【详解】由题意，抛物线的标准方程为：， 其焦点在轴的正半轴上，则，， 所以焦点坐标为. 故答案是：. 题型四 抛物线的线段和最值问题 例4．已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义可得，结合图象分析求解. 【详解】由题意可得：拋物线的焦点，准线， 设动点直线的距离分别为， 点到直线的距离分别为， 则，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，等号成立， 动点到直线直线的距离之和的最小值是3. 故选：B. 跟踪训练4 1．若点在焦点为的抛物线上，且，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】 先求得点的坐标，求得关于直线的对称点，根据三点共线求得的最小值. 【详解】抛物线的焦点，准线， ，则，不妨设， 关于直线的对称点为， 由于，所以当三点共线时最小， 所以的最小值为. 故选：A      2．已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点A坐标为，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为点，过点A作于点H，结合抛物线的定义可得，从而可求得答案. 【详解】由拋物线知，则，准线l方程为． 如图所示，点A在抛物线内，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为点，过点A作于点H．    由抛物线的定义得， 所以，当且仅当点P是线段AH与抛物线的交点（即A，P，H三点共线）时取等号． 故的最小值为． 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线定义的应用，解题的关键是将转化为点P到准线的距离，再利用用平面几何的性质确定最小值点，考查数形结合的思想，属于中档题. 3．已知抛物线，F为抛物线的焦点，且P是该抛物线上一点，点，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】作邮抛物线的准线，把转化为到准线的距离，由三点共线得最小值． 【详解】由题意抛物线的准线的方程是， 过作于，则，所以 当且仅当三点共线时，取得最小值， 所以的最小值是8. 故答案为：8. 题型五 抛物线的轨迹方程 例5．一个动圆与定圆相外切，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离与点到点之间距离的关系化简即可. 【详解】定圆的圆心，半径为2， 设动圆圆心P点坐标为（x，y），动圆的半径为r，d为动圆圆心到直线的距离，即r， 则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得， 所以， 化简得：． ∴动圆圆心轨迹方程为． 故选：D． 跟踪训练5 1．已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可. 【详解】由题意知，点到点的距离和它到直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以的方程为，故C正确. 故选：C. 2．下列说法正确的个数是（    ） （1）动点满足，则P的轨迹是椭圆 （2）动点满足，则P的轨迹是双曲线 （3）动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线 （4）动点满足，则P的轨迹是圆和两条射线 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据椭圆、双曲线定义及公式的几何意义判断（1）、（2），应用两点、点线距离公式求P的轨迹判断（3），由已知条件得或即可判断（4）. 【详解】（1）公式的几何意义为到、的距离之和为4，而、的距离等于4，故P的轨迹不是椭圆，错误； （2）公式的几何意义为到与到的距离之差为5，且、的距离等于4，P的轨迹不是双曲线，错误； （3）由题设，到y轴的距离比到的距离小1，则，可得P的轨迹是或，错误； （4）由题设，或，故P的轨迹是圆和直线（在圆上或圆外部分，即两条射线)，正确. 故选：B. 3．已知动圆P与定圆C：（x+2）2+y2＝1相外切，又与直线x＝1相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是 ． 【答案】y2＝﹣8x 【分析】设，由两圆位置关系、直线与圆位置关系列式化简即可得． 【详解】设圆心P到直线x＝1的距离等于r，P（x，y ），由题意可得 PC＝1+r，即 ＝1+1﹣x，化简可得 y2＝﹣8x. 故答案为：y2＝﹣8x． 质量检测评价 一、单选题 1．已知抛物线的标准方程是，则它的准线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线方程与准线的关系，可得答案. 【详解】因为，所以，所以抛物线的准线方程为. 故选：A. 2．已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 3．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出焦点坐标和渐近线方程为，再利用点到直线的距离公式即可求出结果. 【详解】因为抛物线的焦点，又双曲线的渐近线方程为， 所以焦点到双曲线渐近线的距离为， 故选：B． 4．已知抛物线，若抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离为3，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义：抛物线上一点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求解. 【详解】根据题意作图如下： 因为抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离为3， 又抛物线上一点到焦点的距离等于其到准线的距离， 所以，解得. 故选：C 5．若抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】先求出焦点坐标，再根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】抛物线的焦点为， 则点到直线的距离，解得. 故选：C. 6．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上一动点，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把抛物线整理成标准方程，然后求得抛物线的焦点，设出和的坐标，然后利用和的坐标表示出的坐标，进而利用抛物线方程的关系求得和的关系及的轨迹方程． 【详解】解：抛物线的标准方程是，故． 设，，的中点 ，即，即 故选：． 【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质和求轨迹方程的问题．解题的关键是充分挖掘题设信息整理求得和的关系． 二、多选题 7．对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向下，准线方程为 B．开口向下，焦点为 C．开口向左，焦点为 D．开口向左，准线方程为 【答案】AB 【分析】先化为标准方程，求得焦点坐标和准线方程即可判断. 【详解】由题设，抛物线可化为， 开口向下，焦点为，准线方程为.所以AB正确，CD错误. 故选：AB. 8．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（    ） A．F的坐标为 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】 根据抛物线的定义域标准方程，以及抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】 由抛物线，可得，所以，且焦点在y轴正半轴上， 则焦点，所以A错误； 由抛物线的定义,可得，解得，所以B正确； 由，可得，所以，则，所以C正确； 由，所以D正确． 故选：BCD． 9．过抛物线C：上一点作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M、N，则（    ） A．C的准线方程是 B．过C的焦点的最短弦长为12 C．直线过定点 D．当点A到直线的距离最大时，直线的方程为 【答案】AD 【分析】对于,根据点在抛物线上，求出抛物线方程，即可求出准线方程；根据过抛物线C的焦点且与x轴垂直时弦长最短为，可判断；对于,设直线为，联立直线和抛物线方程消元后，再根据韦达定理即，即可求得直线所过定点；对于,当时，点A到直线MN的距离最大，即可求得的方程. 【详解】将代入抛物线C中得，则抛物线C为， 故抛物线C的准线方程为，故A正确； 当过抛物线C的焦点且与x轴垂直时弦长最短，此时弦长为16，故B错误； 设直线为，，， 联立抛物线可得，， ∴，， ∵， ， ∵，，∴， ∴， 化简整理可得， ， ∴，得， ∴直线MN为， ∴直线MN过定点，故C错误， 当时，点A到直线MN的距离最大， 此时,则, 此时直线MN为，D正确. 故选：AD. 三、填空题 10．抛物线的准线方程是，则实数a的值为 ． 【答案】/-0.125 【分析】对比抛物线准线方程即可列方程求解参数. 【详解】由题意，解得. 故答案为：. 11．抛物线的焦点为，且抛物线与椭圆在第一象限的交点为A，若轴，则 ． 【答案】 【分析】利用抛物线方程可知坐标，再结合椭圆方程计算坐标，计算即可. 【详解】由，所以， 又在椭圆上，代入可得. 故答案为： 12．已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用抛物线的定义计算即可. 【详解】易知，抛物线的准线为，过A作于C点， 则，当且仅当A为线段与抛物线的交点时取得最小值，此时. 故答案为： 四、解答题 13．根据下列条件，分别求出曲线的标准方程： (1)焦距是，过点，焦点在轴上的椭圆； (2)一个焦点是，一条渐近线方程为的双曲线； (3)焦点到准线的距离是，而且焦点在轴上的抛物线. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据椭圆的焦距与顶点及焦点在轴上写出椭圆标准方程即可； （2）根据双曲线的焦点及渐近线方程写出双曲线标准方程即可； （3）根据抛物线的性质及焦点在轴上写出抛物线标准方程即可. 【详解】（1）由题意可设， 可知， 则椭圆的标准方程为：； （2）易知双曲线的焦点在横轴上， 可设标准方程为， 则，且是其一条渐近线， 即，故，所以双曲线的标准方程为：； （3）若焦点在纵轴正半轴，可设抛物线标准方程为：， 因为焦点到准线的距离是，则有，所以， 若焦点在纵轴负半轴上，可设抛物线标准方程为：， 因为焦点到准线的距离是，则有，所以， 综上抛物线的标准方程为：. 14．在直角坐标系中，点到直线的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于两点，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义直接求解即可； （2）将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线的定义求解即可. 【详解】（1）在直角坐标系中，点到直线的距离等于点到点的距离， 所以根据抛物线的定义可得动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以轨迹为的方程为. （2）设点，， 由，消去整理得， ， ， 故弦长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$