3.2.2双曲线的简单几何性质（3知识点+9题型+质量检测）-2024年新高二数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

3.2.2 双曲线的简单几何性质 明确学习目标 课标要求 1.掌握双曲线的简单几何性质． 2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程． 3.理解直线与双曲线的位置关系. 4.会求解有关弦长和中点弦问题． 重点难点 1.掌握双曲线的简单几何性质． 2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程． 3.会求解有关弦长和中点弦问题． 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 双曲线的几何性质 1.双曲线的几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 2.要点理解 (1)B1(0,－b)，B2(0，b)不是双曲线上的点，不能称为顶点． (2)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大． (3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置． (4)焦点到渐近线的距离为b. 3.等轴双曲线：实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线．为了便于研究，方程一般写为x2－y2＝m(m≠0)． 4.离心率 (1)离心率的意义：e越大，开口越大 在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大． (2)离心率的求法 ①直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解． ②齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解． 知识点2 由双曲线的性质求标准方程 1.等轴双曲线的性质 在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有： (1)离心率：等轴双曲线的离心率为：； (2)渐近线：等轴双曲线的渐近线为：；等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135°． 2.共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线时一对共轭双曲线．例如，双曲线与是一对共轭双曲线，其性质如下： (1)一对共轭双曲线有相同的渐进线； (2)一对共轭双曲线有相同的焦距； (3)共轭双曲线的渐近线与直线及的四个交点，以及双曲线的四个交点，八点共圆，圆心为坐标原点，半径为（半焦距）； (4)由于，，则，可知共轭双曲线的离心率虽然不同，但离心率的倒数的平方和等于常数1． 3.由双曲线性质求标准方程 (1)一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的技巧 ①与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． ②渐近线方程为Ax±By＝0的双曲线方程可设为A2x2－B2y2＝λ(λ≠0)． 知识点3 直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个切点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个交点． 【注意】 直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． 2.直线与双曲线的公共点问题 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况． (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行． (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论． 3.弦长公式及中点弦问题 (1)弦长公式：若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． (2)中点弦问题 与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解 提升学科能力 题型一 双曲线的几何性质 例1．已知双曲线，则下列选项中不正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为 C．的离心率为 D．的虚轴长为 跟踪训练1 1．双曲线：与双曲线：的（    ） A．实轴长相等 B．焦点坐标相同 C．焦距相等 D．离心率相等 2．下列关于双曲线的判断，正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．焦点坐标为 C．实轴长为 D．渐近线方程为 3．已知双曲线的离心率为3，则双曲线的虚轴长为 . 题型二 双曲线的标准方程 例2．求双曲线以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的方程是   （    ） A． B． C． D． 跟踪训练2 1．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为（    ） A．=1 B．=1 C．=1 D．=1 2．焦点在轴上，虚轴长为，且离心率的双曲线的标准方程为 ． 3．与双曲线具有相同渐近线，且两顶点间的距离为2的双曲线方程为 ． 题型三 双曲线的离心率 例3．已知双曲线的左，右焦点分别是，过右焦点的直线交双曲线的右支于两点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3 1．已知双曲线C：的一条渐近线为l：，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知是双曲线的左，右焦点，过点倾斜角为的直线与双曲线的左，右两支分别交于点.若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 3．已知是双曲线的左､右焦点，为上一点，且（为坐标原点），，则的离心率为 . 题型四 离心率的取值范围 例4．已知双曲线的左，右焦点分别为、，焦距为．若以线段为直径的圆与直线有交点，则双曲线C的离心率取值范围为 跟踪训练4 1．过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴上的一个端点，且为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线（，）的离心率为，若直线与无公共点，则e的取值范围是 . 3．设，是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线，在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是 . 题型五 有关渐近线的问题 例5．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，点是左支上一点，且，，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练5 1．已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 2．过原点的直线l与双曲线E：交于A，B两点（点A在第一象限），交x轴于C点，直线BC交双曲线于点D，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的一条渐近线为，则的离心率为 . 题型六 直线与双曲线的位置关系 例6．直线与双曲线交点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 跟踪训练6 1．过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．已知双曲线的离心率为且过点，直线与C的右支有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知直线l： 和双曲线C：，若l与C的上支交于不同的两点，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七 双曲线的弦长问题 例7．直线与双曲线有两个交点为，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 跟踪训练7 1．过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为 ． 2．经过双曲线的左焦点作斜率为2的弦AB，求： (1)线段的长； (2)设点为右焦点，求的周长. 3．已知双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为的直线l与双曲线交于A，B两点，求. 题型八 双曲线的中点弦问题 例8．设A，B为双曲线上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练8 1．直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的斜率为(    ) A．3 B．6 C．8 D．12 2．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 3．双曲线的一条弦的中点为，则此弦所在的直线方程为 . 题型九 双曲线的综合问题 例9．已知双曲线中，离心率为，且经过点． (1)求双曲线方程； (2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围； (3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 跟踪训练9 1．已知双曲线经过点，它的左焦点为，且到其渐近线的距离是． (1)求的方程； (2)过点的直线交左支于一点，且的斜率是，求长． 2．已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 3．如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线，的斜率分别为，，求的值； (3)证明：直线过定点. 质量检测评价 一、单选题 1．若实数m满足，则曲线与曲线的（    ） A．离心率相等 B．焦距相等 C．实轴长相等 D．虚轴长相等 2．已知双曲线一条渐近线的斜率为，则的离心率为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．若双曲线的离心率为，则直线与两条渐近线围成的三角形的面积为（    ） A． B．4 C． D． 4．已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（    ） A． B． C． D． 5．过双曲线右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若，则这样直线l有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 6．已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 7．过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知双曲线，则下列各选项正确的是（    ） A．双曲线C的焦点坐标为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的离心率为 D．双曲线C的虚轴长为4 10．已知曲线，则（    ） A．当时，曲线是椭圆 B．当时，曲线是以直线为渐近线的双曲线 C．存在实数，使得过点 D．当时，直线总与曲线相交 11．已知斜率为的直线l经过双曲线的左焦点且交双曲线的渐近线于两点，交双曲线左支于点N，O为坐标原点，为双曲线的右焦点，，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．点到直线的距离是 C．若M是的中点，则 D．点N到两渐近线距离之积等于a 三、填空题 12．经过点，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是 . 13．已知过原点的直线与双曲线交于两点，其中在第二象限，为的左焦点，为的中点，．若为等腰三角形，则的离心率为 ． 14．已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，若，则的两条浙近线的斜率之积为 . 四、解答题 15．已知双曲线的实轴长为2，右焦点为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求. 16．已知双曲线与椭圆有公共的焦点，它们的离心率之和为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线l与双曲线交于线段恰被该点平分，求直线l的方程． 17．在一张纸上有一个圆：，圆心为点，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为. (1)求出点的轨迹的方程； (2)若过点且斜率为（或）的直线交曲线于，两点，为轴上一点，满足，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.2 双曲线的简单几何性质 明确学习目标 课标要求 1.掌握双曲线的简单几何性质． 2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程． 3.理解直线与双曲线的位置关系. 4.会求解有关弦长和中点弦问题． 重点难点 1.掌握双曲线的简单几何性质． 2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程． 3.会求解有关弦长和中点弦问题． 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 双曲线的几何性质 1.双曲线的几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 2.要点理解 (1)B1(0,－b)，B2(0，b)不是双曲线上的点，不能称为顶点． (2)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大． (3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置． (4)焦点到渐近线的距离为b. 3.等轴双曲线：实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线．为了便于研究，方程一般写为x2－y2＝m(m≠0)． 4.离心率 (1)离心率的意义：e越大，开口越大 在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大． (2)离心率的求法 ①直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解． ②齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解． 知识点2 由双曲线的性质求标准方程 1.等轴双曲线的性质 在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有： (1)离心率：等轴双曲线的离心率为：； (2)渐近线：等轴双曲线的渐近线为：；等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135°． 2.共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线时一对共轭双曲线．例如，双曲线与是一对共轭双曲线，其性质如下： (1)一对共轭双曲线有相同的渐进线； (2)一对共轭双曲线有相同的焦距； (3)共轭双曲线的渐近线与直线及的四个交点，以及双曲线的四个交点，八点共圆，圆心为坐标原点，半径为（半焦距）； (4)由于，，则，可知共轭双曲线的离心率虽然不同，但离心率的倒数的平方和等于常数1． 3.由双曲线性质求标准方程 (1)一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的技巧 ①与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． ②渐近线方程为Ax±By＝0的双曲线方程可设为A2x2－B2y2＝λ(λ≠0)． 知识点3 直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个切点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个交点． 【注意】 直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． 2.直线与双曲线的公共点问题 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况． (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行． (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论． 3.弦长公式及中点弦问题 (1)弦长公式：若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． (2)中点弦问题 与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解 提升学科能力 题型一 双曲线的几何性质 例1．已知双曲线，则下列选项中不正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为 C．的离心率为 D．的虚轴长为 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质逐一判断即可 【详解】因为，所以， 因为焦点在轴上， 所以的焦点坐标为，顶点为，离心率为，虚轴长为． 故选：A. 跟踪训练1 1．双曲线：与双曲线：的（    ） A．实轴长相等 B．焦点坐标相同 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【分析】根据两双曲线的方程，分别求得实半轴，虚半轴，进而求得实轴长，焦点位置，焦距，离心率，即可做出判定. 【详解】设双曲线的实半轴，虚半轴，半焦距分别为. 由双曲线的方程可得：,. 双曲线的实轴长分别是,,与参数t和m有关，所以实轴长不一定相等，故A错误； 因为双曲线的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标不同，故B错误； 因为，∴∴，即两个双曲线的焦距相等，故C正确； 因为离心率，，，不一定相等，故离心率不一定相等，故D错误. 故选：C. 2．下列关于双曲线的判断，正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．焦点坐标为 C．实轴长为 D．渐近线方程为 【答案】ACD 【分析】确定、、的值，利用双曲线的几何性质可判断各项的正误. 【详解】对于双曲线，，，则， 对于A选项，双曲线的顶点坐标为，A对； 对于B选项，双曲线的焦点坐标为，B错； 对于C选项，双曲线的实轴长为，C对； 对于D选项，双曲线的渐近线方程为，即，D对. 故选：ACD. 3．已知双曲线的离心率为3，则双曲线的虚轴长为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的离心率求得半焦距，再根据的关系即可求得答案. 【详解】双曲线表示双曲线，则， 由题意得双曲线的实半轴长，由于，则， 故双曲线的虚轴长为， 故答案为： 题型二 双曲线的标准方程 例2．求双曲线以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的方程是   （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆方程，可得出其焦点坐标、顶点坐标，进而得到双曲线的焦点坐标、顶点坐标，即可得到双曲线的方程. 【详解】在椭圆中，，椭圆的焦点坐标为，，左右顶点坐标分别为，， 则双曲线的顶点坐标为，，焦点坐标为，，且双曲线的焦点在轴上， 所以，，， 所以双曲线的方程为：． 故选：A. 跟踪训练2 1．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为（    ） A．=1 B．=1 C．=1 D．=1 【答案】B 【分析】根据题意可以得a及焦点的位置，再根据实轴长与虚轴长之和为焦距的倍建立方程组，进而求得答案. 【详解】由方程组，得a=2，b=2. ∵双曲线的焦点在y轴上，∴双曲线的标准方程为=1. 故选：B. 2．焦点在轴上，虚轴长为，且离心率的双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由双曲线的虚轴长可得的值，又由双曲线的离心率公式可得，解可得，又由双曲线焦点的位置分析可得答案． 【详解】解：由题，因为焦点在轴上，所以，设双曲线的方程为． 因为虚轴长为，且离心率， 所以，，， 所以，，解得，， 所以所求双曲线的标准方程为． 故答案为： 3．与双曲线具有相同渐近线，且两顶点间的距离为2的双曲线方程为 ． 【答案】或 【分析】先设与具有相同渐近线的双曲线方程为，再讨论和，结合两顶点间的距离为2求出值，即可求出双曲线的方程. 【详解】设与具有相同渐近线的双曲线方程为， 当时，双曲线的方程为， 又因为两顶点间的距离为2，所以， 即，所以双曲线的方程为； 当时，双曲线的方程为， 又因为两顶点间的距离为2，所以， 即，所以双曲线的方程为； 综上所述，双曲线的方程为或. 故答案为：或. 题型三 双曲线的离心率 例3．已知双曲线的左，右焦点分别是，过右焦点的直线交双曲线的右支于两点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义及求出，利用勾股定理可求结果. 【详解】如图，设，由双曲线定义知， 则． 又，所以， 所以． 又，所以，由，得 ，则，而， 则，化简得，所以． 故选：C. 跟踪训练3 1．已知双曲线C：的一条渐近线为l：，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据渐近线的方程求出，利用离心率的公式可得答案. 【详解】因为双曲线C：的一条渐近线为l：， 所以，所以离心率. 故选：C 2．已知是双曲线的左，右焦点，过点倾斜角为的直线与双曲线的左，右两支分别交于点.若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设，利用双曲线的定义及题中几何关系将用表示，再利用几何关系建立关于齐次方程，从而求出离心率. 【详解】如图，过作与,    设，则，， ∴，，， 由题意知， ∴在中，， ， ∴， 在中,, 即解得. 双曲线的离心率为. 故选：A. 3．已知是双曲线的左､右焦点，为上一点，且（为坐标原点），，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据条件得出，在中，根据条件，得到，再根据双曲线的定义得出，即可建立等式，从而求出结果. 【详解】设双曲线的半焦距为，则， 因为，所以， 在中，，所以为等边三角形，所以， 根据双曲线定义可得， 在中，由勾股定理可得，整理得， 所以，解得， 所以的离心率为. 故答案为：. 题型四 离心率的取值范围 例4．已知双曲线的左，右焦点分别为、，焦距为．若以线段为直径的圆与直线有交点，则双曲线C的离心率取值范围为 【答案】 【分析】首先求圆的方程，利用圆心到直线的距离，推得与的关系，再结合离心率公式，即可求解 【详解】以线段为直径的圆的方程是，与直线有交点， 则圆心到直线的距离， 所以双曲线的离心率． 故答案为：． 跟踪训练4 1．过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴上的一个端点，且为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的性质求出的坐标，写出向量，根据∠ADB为钝角，结合向量的数量积公式化简求解即可. 【详解】设双曲线的左焦点为， 令，得， 可设 由对称性，不妨设，可得，， 由题意知三点不共线， 所以∠ADB为钝角， 即为， 将代入化简得， 由，可得， 又，解得，则， 综上，离心率的取值范围为． 故选：D. 2．已知双曲线（，）的离心率为，若直线与无公共点，则e的取值范围是 . 【答案】 【分析】 确定双曲线的渐近线方程，由题意可得关于的不等关系，即可求得离心率范围. 【详解】 因为双曲线（，）的渐近线为， 因为，要使直线与E无公共点，则， 所以，，所以双曲线的离心率的范围 所以满足条件的离心率的范围是， 故答案为： 3．设，是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线，在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是 . 【答案】 【分析】利用椭圆与双曲线的定义，结合勾股定理可得与关系，进而得解. 【详解】由椭圆及双曲线定义得：，， 即，， 因为， 所以， 即， 所以， 因为，所以， 即， 故答案为：. 题型五 有关渐近线的问题 例5．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，点是左支上一点，且，，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义结合，求得，再在中，利用勾股定理求得之间的关系，从而得解. 【详解】因为在双曲线中，因为， 所以， 则，    在中，，， 所以，即，所以， 所以，则， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 跟踪训练5 1．已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质得到，，即可解得，从而求得答案. 【详解】由题意得：，解得：， 即双曲线的方程为，所以的渐近线方程是. 故选：A. 2．过原点的直线l与双曲线E：交于A，B两点（点A在第一象限），交x轴于C点，直线BC交双曲线于点D，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可设，，，分别表示出，逐步转化，即可求得本题答案. 【详解】因为直线过原点，所以关于原点对称，设， 因为与轴垂直，所以， 设， 则， 而 所以，， 所以， 所以渐近线方程为. 故选：D    3．已知双曲线的一条渐近线为，则的离心率为 . 【答案】 【分析】 由条件可得，然后直接计算离心率即可. 【详解】 设的半焦距为，由题意知， 所以， 故答案为：. 题型六 直线与双曲线的位置关系 例6．直线与双曲线交点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据已知直线和渐近线平行即可得答案. 【详解】由题知，双曲线的渐近线方程为， 所以直线与双曲线的一条渐近线平行， 由图可知，直线l与双曲线有且只有一个交点. 故选：B    跟踪训练6 1．过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据点在双曲线上，与渐近线平行以及该点处的切线均只与双曲线有一个公共点即可求解. 【详解】当时，，所以，故点在双曲线上， 因此过点且与双曲线的两条渐近线平行的直线，只与双曲线有一个交点， 设（且） 将其代入双曲线方程可得，化简得， 令，化简得， 解得， 故过点处的切线也只与双曲线有唯一的交点， 或者由得， 当时，，故，故处的切线斜率为， 故过点经过点的直线方程为，即， 联立与可得，解得， 因此在点处的切线也只与双曲线有唯一的交点， 综上可知：过点的直线有3条与双曲线有一个交点， 故选：C 2．已知双曲线的离心率为且过点，直线与C的右支有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与双曲线方程，根据双曲线与双曲线右支有两个不同的交点，利用韦达定理列出不等式进行求解. 【详解】离心率为的双曲线是等轴双曲线， 所以可设双曲线的方程是， 将点的坐标代入得， 所以的方程是， 将代入上式并消去整理得 ， 则解得或. 故选:A. 3．已知直线l： 和双曲线C：，若l与C的上支交于不同的两点，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据l与C的上支交于不同的两点，联立两个方程，根据判别式和韦达定理列不等式，即可求出t的取值范围 【详解】解：由题意 在直线l：和双曲线C：中， 若l与C的上支交于不同的两点 ∴即 ∴解得： ∴t的取值范围为 故选：D. 题型七 双曲线的弦长问题 例7．直线与双曲线有两个交点为，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】直线方程与双曲线方程联立方程组，直接解得交点坐标，再计算两点间距离． 【详解】由，得，， ∴. 故选：C． 跟踪训练7 1．过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为 ． 【答案】 【分析】根据直线与双曲线相交，由韦达定理以及弦长公式即可求解. 【详解】双曲线的右焦点为，所以直线l的方程为．由，得．设，，则，， 所以． 故答案为： 【点睛】若直线与双曲线（，）交于，两点，则或（）． 2．经过双曲线的左焦点作斜率为2的弦AB，求： (1)线段的长； (2)设点为右焦点，求的周长. 【答案】(1)30 (2)64 【分析】（1）联立直线与双曲线方程，由弦长公式求解， （2）由双曲线的定义转化后求解． 【详解】（1）由题意得直线AB的方程为, 代入双曲线方程可得, 设，则 即的长为 （2）由双曲线的定义得=， 则的周长为 =. . 3．已知双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为的直线l与双曲线交于A，B两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知得，且，再结合求出，进而可得双曲线的方程； （2）由题意可得直线的方程为，设，然后将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，再利用弦长公式可得结果. 【详解】（1）由双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍. 得，且，又， 解得, 所以， 所以双曲线方程为. （2）由（1）可知双曲线的右焦点为，所以直线的方程为， 设， 由，得， 所以， 所以.    题型八 双曲线的中点弦问题 例8．设A，B为双曲线上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，结合一元二次方程根与系数关系进行求解判断即可. 【详解】设， 则有，两式相减，得， 因为线段AB的中点为， 所以， 因此由， 即直线AB的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为， 所以线段AB存在， 故选：C 跟踪训练8 1．直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的斜率为(    ) A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】利用点差法计算即可. 【详解】设， 则有， 化简得， 即. 故选：B 2．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断. 【详解】设，则的中点， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确； 故选：D. 3．双曲线的一条弦的中点为，则此弦所在的直线方程为 . 【答案】 【分析】设弦的两端分别为，，代入双曲线方程相减，利用中点坐标可求得弦所在直线的斜率从而得到直线方程. 【详解】由双曲线的对称性可得此弦所在的直线斜率存在， 设弦的两端分别为，， 则有，两式相减得， 所以， 又因为弦的中点为，所以， 故直线斜率， 则所求直线方程为，整理得， 由得， ，故该直线满足题意， 故答案为： 题型九 双曲线的综合问题 例9．已知双曲线中，离心率为，且经过点． (1)求双曲线方程； (2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围； (3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的值，即可得出双曲线的方程； （2）将直线的方程与双曲线的方程联立，根据已知条件结合韦达定理、判别式可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）利用点差法求出直线的方程，再将直线的方程与双曲线的方程联立，计算，即可得出结论. 【详解】（1）解：因为双曲线中，离心率为，且经过点， 则，解得，所以，双曲线的方程为. （2）解：设直线交双曲线于点、， 联立可得， 因为直线与双曲线左支有两个交点，则， 解得，故实数的取值范围是. （3）解：若直线轴，则直线与双曲线相切，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在， 设点、，因为为线段的中点，则， 将点、的坐标代入双曲线的方程可得， 作差可得，即， 即，所以，直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 联立可得，则， 因此，不存在满足题设条件的直线. 跟踪训练9 1．已知双曲线经过点，它的左焦点为，且到其渐近线的距离是． (1)求的方程； (2)过点的直线交左支于一点，且的斜率是，求长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点到渐近线的距离可得的值，再将代入双曲线方程可得的值，即可求得双曲线方程； （2）由题意得直线的方程，代入双曲线方程可求得点横坐标，在根据弦长公式即可求得长． 【详解】（1）双曲线的左焦点为，渐近线方程为，即 则到渐近线的距离为， 又将代入双曲线方程得：，所以， 故双曲线方程为； （2）由题意可得直线的方程为：，即， 则，所以，解得，，即点横坐标为， 所以. 2．已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 【答案】(1)或或； (2)或 (3)或 【分析】（1）联立直线方程和双曲线方程，根据直线与双曲线有两交点，则，注意二次项系数不等于0； （2）根据直线与双曲线仅有一交点，分二次项系数等于0和不等于0两种情况讨论.当二次项系数不等于0时，由即可得出答案； （3）根据直线与双曲线没有交点，得，注意二次项系数不等于0. 【详解】（1）联立， 消整理得，（*） 因为直线l与双曲线C有两个公共点， 所以，整理得 解得： 或或. （2）当即时，直线l与双曲线的渐近线平行， 方程（*）化为，故方程（*）有唯一实数解， 即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意． 当时， 因为直线l与双曲线C仅有一个公共点， 则，解得； 综上，或. （3）因为直线l与双曲线C没有公共点， 所以， 解得： 或. 3．如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线，的斜率分别为，，求的值； (3)证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) (3)直线过定点,证明见解析. 【分析】（1）根据双曲线上的点求标准方程； （2）利用韦达定理运算求解即可； （3）利用联立方程组，结合韦达定理求得的坐标，猜想过定点，并用三点共线与斜率的关系证明求解. 【详解】（1）因为点和点在双曲线上， 所以，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）由题可知，直线的斜率不等于零，故可设直线的方程为， 设， 联立，整理得， 若，即，直线的斜率为，与渐近线平行， 此时直线与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以， 所以 ， ， 因为,所以 ，所以. （3）（i）当轴时，且， 所以，则， 联立，整理得， 即，解得或， 当时，，所以， 由于对称性，，此时直线过定点； （ii）当不垂直于轴时，以下证明直线仍过定点设为， 因为，所以联立， 即，所以， 解得或， 当时，， 所以, 同理，将上述过程中替换为可得， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以三点共线，即此时直线恒过定点， 综上直线过定点. 质量检测评价 一、单选题 1．若实数m满足，则曲线与曲线的（    ） A．离心率相等 B．焦距相等 C．实轴长相等 D．虚轴长相等 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质逐一分析判断即可. 【详解】因为，所以， 所以曲线与曲线都是焦点在轴上的双曲线， ， 所以两曲线的焦点和焦距都相同，故B正确； 因为，所以离心率不相等，故A错误； 因为，所以实轴长不相等，故C错误； 因为，所以虚轴长不相等，故D错误. 故选：B. 2．已知双曲线一条渐近线的斜率为，则的离心率为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】由离心率与渐近线斜率关系即可得. 【详解】由题可知， 则的离心率． 故选：A. 3．若双曲线的离心率为，则直线与两条渐近线围成的三角形的面积为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的离心率求出双曲线的渐近线的方程，再求出直线，与两条渐近线的交点坐标，由面积公式即可求出答案. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，所以，所以渐近线的方程为， 所以直线即直线，与两条渐近线的交点坐标为， 所以直线与两条渐近线围成的三角形的面积为． 故选:C． 4．已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分析可得直线与渐近线平行，结合平行关系运算求解. 【详解】双曲线可得，，， 所以双曲线的渐近线方程为，右焦点为， 因为直线与只有一个交点，所以直线与双曲线的渐近线平行， 所以，解得. 故选：B. 5．过双曲线右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若，则这样直线l有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据轴（弦是在同一支）和与轴不垂直（弦是跨两支）分成两种情况进行分类讨论，由此得出正确结论. 【详解】设，则. 对于过双曲线一个焦点的弦长，如果弦是在同一支上，那么最短的弦是垂直于轴的弦，长度为；如果弦是跨两支，那么最短的弦为实轴. 过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点. 若轴，则为通径，而通径长度正好是4，故直线交双曲线于同支上的两点且，这样的直线只有一条. 若经过顶点，此时，故直线交双曲线于异支上的两点且，这样的直线有且只有两条. 故满足的直线有条. 故选：C 【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的位置关系，属于中档题. 6．已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】运用点差法，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解判断即可. 【详解】设该弦为， 设， 则有，两式相减，得， 因为双曲线C的一条弦的中点为， 所以， 因此由， 即这条弦所在直线的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为， 所以该弦存在， 故选：D 7．过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，代入双曲线方程后做差，整理，可得关系，再利用消去即可求得离心率. 【详解】设点， 则有，两式做差后整理得， 由已知， ，又， ， 得 故选：B 8．已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，可得夹角的取值范围，整理相关等式，进而可得离心率的函数表达式，利用不等式定义，可得答案. 【详解】设，，，由，则， 显然，则整理可得，由， 则， 解得，由双曲线的定义可知：， 则，整理可得， 化简可得，由，且， 则，可得或， 解得或，所以，解得. 故选：C. 二、多选题 9．已知双曲线，则下列各选项正确的是（    ） A．双曲线C的焦点坐标为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的离心率为 D．双曲线C的虚轴长为4 【答案】BC 【分析】根据双曲线方程求出、、，再一一判断即可. 【详解】解：双曲线，则、，所以， 则焦点坐标为，故A错误； 离心率，故C正确，虚轴长为，故D错误； 渐近线方程为，即，故B正确； 故选：BC 10．已知曲线，则（    ） A．当时，曲线是椭圆 B．当时，曲线是以直线为渐近线的双曲线 C．存在实数，使得过点 D．当时，直线总与曲线相交 【答案】ABC 【分析】A：根据的正负以及大小关系判断；B：先表示出双曲线方程，然后可知渐近线方程；C：代入于曲线方程，然后判断方程是否有解即可；D：考虑时的情况. 【详解】当时，，所以方程表示的曲线是椭圆，故A正确； 当时，方程为，所以，其渐近线方程为，即，故B正确； 令，整理得且，此方程有解，故C正确； 当时，曲线为双曲线，直线为的一条渐近线，此时无交点，故D错误. 故选：ABC. 11．已知斜率为的直线l经过双曲线的左焦点且交双曲线的渐近线于两点，交双曲线左支于点N，O为坐标原点，为双曲线的右焦点，，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．点到直线的距离是 C．若M是的中点，则 D．点N到两渐近线距离之积等于a 【答案】ABC 【分析】设出直线l的方程，与渐近线方程联立求得坐标，利用中点坐标公式表示出AB中点的坐标，利用斜率关系建立的方程，解得的关系，求得离心率，进而得到比例关系，依次可判断选项. 【详解】设双曲线的左、右焦点分别为，， 由题意可知过左焦点的直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，又双曲线的渐近线方程为， 联立可得，，， 由，设中点，则的斜率为， 因为 ， ， 所以线段AB的中点的坐标为， 选项A，因为，即， 化简得，所以，可得．故A正确； 选项B，由上可知，. 直线的方程即：， 点到直线的距离为，故B正确； 选项C，，故C正确： 选项D，渐近线方程为，即. 设，则， 则点到渐近线距离之积为 ，故D错误. 故选：ABC.    三、填空题 12．经过点，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是 . 【答案】 【分析】根据题意，得双曲线的方程为，将点代入方程，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，所求双曲线为等轴双曲线，可得双曲线的方程为， 因为所求双曲线过点，可得，解得， 所以，所求双曲线的方程为. 故答案为：. 13．已知过原点的直线与双曲线交于两点，其中在第二象限，为的左焦点，为的中点，．若为等腰三角形，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】 根据题意，得到，由为等腰三角形，证得，根据，求得，设为双曲线的右焦点，连接，利用双曲线的定义，求得，进而求得双曲线的离心率． 【详解】 由对称性知，点为的中点，因为为的中点，所以， 因为为等腰三角形，所以，所以， 则，所以， 由，可得，所以， 则，所以， 设为双曲线的右焦点，连接，可得， 因为，所以，整理得，所以的离心率为． 故答案为：． 14．已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，若，则的两条浙近线的斜率之积为 . 【答案】 【分析】设，进而根据点差法得，再根据得，进而得，再求渐近线的斜率之积即可得答案. 【详解】解：设， 因为是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为， 所以①，②，③，④， 所以，②③得，整理得 所以， 因为双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为， 所以，， 因为， 所以，即，整理得：， 所以，整理得， 所以，即， 所以，整理得， 因为的两条浙近线分别为， 所以，的两条浙近线的斜率之积为 故答案为： 四、解答题 15．已知双曲线的实轴长为2，右焦点为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点坐标可求，然后可得方程； （2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案. 【详解】（1）由已知，， 又，则， 所以双曲线方程为. （2）由，得， 则， 设，，则，， 所以. 16．已知双曲线与椭圆有公共的焦点，它们的离心率之和为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线l与双曲线交于线段恰被该点平分，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）先根据椭圆方程求出椭圆的离心率，再根据椭圆和双曲线离心率之和为求出双曲线的离心率，依据椭圆和双曲线有公共焦点，以及双曲线基本量的关系就可以得到双曲的方程. （2）先考虑直线l斜率不存在时，点不为的中点，所以设直线l的方程为，将直线和双曲线联立得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系结合的中点为列方程，解方程得到k的值就可以得到直线l的方程. 【详解】（1） 设椭圆和双曲线的离心率分别是和，椭圆的方程为，双曲线方程为； 椭圆中，即，，， 由已知，所以； 又因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以； 因此，双曲线中， 所以 即， 又， 故双曲线方程为. （2） 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，根据椭圆的对称性可知此时的中点为而不是点，故直线l的斜率一定存在； 因此，设直线l的方程为即，，， 将直线和双曲线的方程联立， 整理得，得， 又因为为中点，所以，即， 所以，解得， 将代入方程即， 此时判别式，方程有两个实数根， 所以直线l的方程为，即. 17．在一张纸上有一个圆：，圆心为点，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为. (1)求出点的轨迹的方程； (2)若过点且斜率为（或）的直线交曲线于，两点，为轴上一点，满足，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由 【答案】(1)； (2)为定值. 【分析】（1）由题意且，根据双曲线定义确定轨迹方程即可； （2）令且，，联立双曲线方程，应用韦达定理求中点坐标，进而写出垂直平分线，即可求坐标并得到，再根据双曲线定义求，即可判断目标式是否为定值. 【详解】（1）由题意，可画出如下示意图，，    由圆，则圆心，半径为2， 所以， 即轨迹是以为焦点的双曲线，且，，故， 所以轨迹的方程为. （2）令且，联立，    所以，且， 令，则， 所以，， 故中点坐标为，则垂直平分线为， 令，则，即，故， 又直线交曲线于，两点必在右支，则， 所以，则， 而， 综上，为定值. 【点睛】关键点点睛：第一问，应用垂直平分线性质有，结合已知及双曲线定义确定轨迹；第二问，设直线，联立双曲线，应用韦达定理求垂直平分线为关键. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$