计数原理-北京市各区2023-2024学年高二下学期期末数学试题汇编

2023-2024学年度第二学期北京市各区期末试题汇编 《计数原理》 一、排列组合 1．（23-24高二下·北京顺义·期末） 的值为（    ） A． B． C． D． -2．（23-24高二下·北京海淀·期末）将分别写有2，0，2，4的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为（    ） A． B． C． D． -3．（23-24高二下·北京房山·期末）要安排5位同学表演文艺节目的顺序，要求甲同学既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则不同的安排方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 -4．（23-24高二上·北京石景山·期末）用可以组成无重复数字的两位数的个数为（    ） A．25 B．20 C．16 D．15 -5．（23-24高二下·北京朝阳·期末）某兴趣小组组织A，B，C三项比赛，请甲、乙、丙三位同学参加，每项冠军只有一人，若甲恰好拿到其中一项冠军，则不同的冠军归属有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．27种 -6．（23-24高二下·北京大兴·期末）有5名同学被安排在周一至周五值日，每人值日一天，其中同学甲只能在周三值日，那么这5名同学值日顺序的不同编排方案种数为（    ） A． B． C． D． -7．（23-24高二下·北京丰台·期末）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次（无并列情况）．甲、乙、丙去询问成绩．老师对甲说：“你不是最差的．”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军．”对丙说：“你不是第2名．”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（    ） A．44 B．46 C．52 D．54 8．（23-24高二下·北京通州·期末）某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从，，，，，这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果员工不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有（    ） A．360种 B．300种 C．180种 D．120种 9．（23-24高二下·北京大兴·期末）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，记录了如图所示的“杨辉三角” ．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第项为（    ） A． B． C． D． 二、二项式定理 10．（23-24高二下·北京海淀·期末）的展开式中，所有二项式的系数和为（    ） A．0 B． C． D． 11．（23-24高二下·北京房山·期末）在的展开式中，的系数是（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高二下·北京东城·期末）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二下·北京怀柔·期末）在二项式的展开式中，常数项为（    ） A．20 B． C．80 D． 14．（23-24高二下·北京·期末）在的展开式中，常数项为（    ） A． B．15 C．30 D．360 15．（23-24高二下·北京·期末）在的展开式中，常数项为（    ） A．15 B． C．30 D． 16．（23-24高二下·北京大兴·期末）展开式中各项的系数和为 ． 17．（23-24高二下·北京海淀·期末）的展开式中含项的系数为 ． 18．（13-14高二下·重庆·期中）的展开式中的常数项为 ． 19．（23-24高二下·北京房山·期末）若，则 ； . 20．（23-24高二下·北京怀柔·期末）若，则= . 21．（23-24高二下·北京朝阳·期末）在的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则 ；常数项为 .（用数字作答） 22．（23-24高二下·北京东城·期末）已知二项式的所有项的系数和为，则 ； . 23．（23-24高二下·北京大兴·期末）已知二项式，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并解答下列问题： (1)求的值； (2)设，求展开式中所有奇数项的系数和． 条件①：只有第项的二项式系数最大； 条件②：第项与第项的二项式系数相等； 条件③：所有二项式系数的和为． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 24．（23-24高二下·北京顺义·期末）已知的展开式中，各项的系数之和为729. (1)求的值； (2)判断展开式中是否存在含的项，若存在，求出该项；若不存在，说明理由. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期北京市各区期末试题汇编 《计数原理》 一、排列组合 1．（23-24高二下·北京顺义·期末） 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 故选：C 2．（23-24高二下·北京海淀·期末）将分别写有2，0，2，4的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，可将四位数分成两类： 第一类，首位是2，则只需要将所剩下的三个数字全排即得，有个； 第二类，首位是4，只需在余下的三个数位选一个给0即可，有个. 由分类加法计数原理可得，组成的不同四位数的个数为. 故选：A. 3．（23-24高二下·北京房山·期末）要安排5位同学表演文艺节目的顺序，要求甲同学既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则不同的安排方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【详解】第一步：先将甲同学排列除第一个、最后一个之外得3个位置，共有种排法， 第二步：将剩余得4个节目全排列，共有种排法， 所以共有种， 故选： 4．（23-24高二上·北京石景山·期末）用可以组成无重复数字的两位数的个数为（    ） A．25 B．20 C．16 D．15 【答案】C 【详解】从中任选两个数字，组成两位数的个数有个， 其中数字0排首位的有4个， 所以满足条件的两位数有个. 故选：C 5．（23-24高二下·北京朝阳·期末）某兴趣小组组织A，B，C三项比赛，请甲、乙、丙三位同学参加，每项冠军只有一人，若甲恰好拿到其中一项冠军，则不同的冠军归属有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．27种 【答案】B 【详解】先从A，B，C三项冠军挑选一项冠军安排给甲，有种， 剩余两项冠军可以给乙，也可以给丙，有种情况， 综上，甲恰好拿到其中一项冠军，则不同的冠军归属有种. 故选：B 6．（23-24高二下·北京大兴·期末）有5名同学被安排在周一至周五值日，每人值日一天，其中同学甲只能在周三值日，那么这5名同学值日顺序的不同编排方案种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意只需安排其余名同学到除周三的另外四天值日，每人值日一天， 故有种不同安排方案. 故选：B 7．（23-24高二下·北京丰台·期末）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次（无并列情况）．甲、乙、丙去询问成绩．老师对甲说：“你不是最差的．”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军．”对丙说：“你不是第2名．”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（    ） A．44 B．46 C．52 D．54 【答案】B 【详解】由题意得：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名．甲的限制最多，故先排甲， 有可能是第二、三、四名3种情况；再排乙，也有3种情况；余下3人有种排法， 故共有种不同的情况， 假如丙是第2名，则甲有可能是第三、四名2种情况； 再排乙，也有2种情况；余下2人有种排法， 故共有种不同的情况， 由间接法得：满足题意的，5名同学可能的名次排列情况种数为种， 故选：B. 8．（23-24高二下·北京通州·期末）某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从，，，，，这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果员工不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有（    ） A．360种 B．300种 C．180种 D．120种 【答案】B 【详解】从6名员工中任选4人，安排在4道工序上工作的安排方法数为种， 其中员工在第四道工序工作的安排方法数为种， 所以不同的安排方法共有（种）. 故选：B 9．（23-24高二下·北京大兴·期末）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，记录了如图所示的“杨辉三角” ．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由“杨辉三角”可知：第一行个数，第二行个数，...，第行个数， 所以前行共有：个数，当时，，又， 所以第项是第行的第个数字，即为， 故选：D. 二、二项式定理 10．（23-24高二下·北京海淀·期末）的展开式中，所有二项式的系数和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】的展开式中所有二项式的系数和为. 故选：B. 11．（23-24高二下·北京房山·期末）在的展开式中，的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知可得展开式的通项， 令，解得， 所以，系数为， 故选：B. 12．（22-23高二下·北京东城·期末）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的通项公式为， 令得，所以的系数为. 故选：D. 13．（23-24高二下·北京怀柔·期末）在二项式的展开式中，常数项为（    ） A．20 B． C．80 D． 【答案】D 【详解】二项式的通项为 ， 要使其为常数，则，即， 故常数项为. 故选：D 14．（23-24高二下·北京·期末）在的展开式中，常数项为（    ） A． B．15 C．30 D．360 【答案】B 【详解】的展开式的通项为：， 令，解得：， 所以常数项为：. 故选：B. 15．（23-24高二下·北京·期末）在的展开式中，常数项为（    ） A．15 B． C．30 D． 【答案】A 【详解】， 令，得， 所以常数项是. 故选：A 16．（23-24高二下·北京大兴·期末）展开式中各项的系数和为 ． 【答案】 【详解】对于，令可得展开式中各项的系数和为. 故答案为： 17．（23-24高二下·北京海淀·期末）的展开式中含项的系数为 ． 【答案】 【详解】二项式展开式的通项为，， 所以，所以展开式中含项的系数为. 故答案为： 18．（13-14高二下·重庆·期中）的展开式中的常数项为 ． 【答案】 【详解】展开式通项为：； 令，解得：，展开式中的常数项为. 故答案为：. 19．（23-24高二下·北京房山·期末）若，则 ； . 【答案】 1 -8 【详解】由题意知，令可得，即， 由二项展开式的通项可得， ，即， ，即， 即， 故答案为： 20．（23-24高二下·北京怀柔·期末）若，则= . 【答案】32 【详解】根据题意，， 令，得， 令，得， 两式相加得：， 所以. 故答案为：32. 21．（23-24高二下·北京朝阳·期末）在的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则 ；常数项为 .（用数字作答） 【答案】 6 【详解】因为在的展开式中，所有的二项式系数之和为64， 所以，得， 所以， 则其展开式的通项公式为， 令，得， 所以展开式的常数项为. 故答案为：6，. 22．（23-24高二下·北京东城·期末）已知二项式的所有项的系数和为，则 ； . 【答案】 【详解】由已知有，且. 再前一式中令得，所以，得. 所以. 由二项式定理可知，. 故答案为：；. 23．（23-24高二下·北京大兴·期末）已知二项式，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并解答下列问题： (1)求的值； (2)设，求展开式中所有奇数项的系数和． 条件①：只有第项的二项式系数最大； 条件②：第项与第项的二项式系数相等； 条件③：所有二项式系数的和为． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若选①：只有第项的二项式系数最大，则展开式中共有项，所以； 若选②：第项与第项的二项式系数相等，即，所以； 若选③：所有二项式系数的和为，则，所以； （2）因为， 令得， 令得， 两式相减得，所以， 即展开式中所有奇数项的系数和为． 24．（23-24高二下·北京顺义·期末）已知的展开式中，各项的系数之和为729. (1)求的值； (2)判断展开式中是否存在含的项，若存在，求出该项；若不存在，说明理由. 【答案】(1)6；(2)存在，. 【详解】（1）的展开式中，各项的系数之和为729， 令，得，解得. （2）的展开式的通项为， 若存在含的项，则， 解得. 所以展开式中存在含的项，此项为. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$