九年级上学期开学摸底卷02 （考试范围：沪教版八下全部内容+九年级上衔接内容）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）

九年级上学期开学摸底考 重难点检测卷 【考试范围：沪教版八下全部内容+九年级上衔接内容】 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（22-23八年级上·上海·阶段练习）如果直线经过第一、三、四象限，那么（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24八年级下·上海金山·期末）下列方程是高次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．在十进制中， C．班里的两名同学，他们的生日是同一天 D．任意一个三角形的内角和为360° 4．（2024·上海静安·二模）如图，菱形的对角线、相交于点，那么下列条件中，能判断菱形是正方形的为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知四边形是菱形，给出下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（22-23八年级上·上海·阶段练习）函数和在同一坐标系中的图像大致是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（23-24八年级下·上海·期末）方程的解是 ． 8．（2024·上海·模拟预测）从的数字中任选6个数，都不是合数的概率为 ． 9．（23-24八年级下·上海宝山·期中）已知和是方程的两个解，则 ． 10．（23-24八年级下·上海·期末）已知一次函数与直线 平行，那么 ． 11．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 12．（23-24八年级下·上海·期末）如图，已知中，点D、E分别是边、中点，，点F、G分别是、的中点，则 ． 13．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如图，在梯形中，，如果，那么边的长是 ．    14．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，一次函数与的图像相交于点P，那么 ． 15．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，，D是边的中点，过点D作，垂足为E，如果，那么 ． 16．（23-24八年级下·上海·期末）对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“友好菱形”．问题：如图，在中， ，且的面积为S．如果存在“友好菱形”为菱形，那么S的取值范围是 ． 17．（2024·上海虹口·三模）如图，在中，，，平分交于点，交于点，连结交于点，设，，用、的线性组合表示向量 18．（2024·上海杨浦·模拟预测）某款轿车每行驶100千米的耗油量升与其行驶速度千米/小时之间的函数关系图象如图所示，其中线段的表达式为，点的坐标为，即行驶速度为千米/小时时该轿车每行驶千米的耗油量是14升．如果从甲地到乙地全程为260千米，其中有60千米限速50千米/小时的省道和200千米限速120千米/小时的高速公路，那么在不考虑其他因素的情况下，这款轿车从甲地行驶到乙地至少需要耗油 升． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）解方程：． 20．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米．甲工程队每天修建的费用为2万元，乙工程队每天修建的费用为万元． (1)求甲、乙两个工程队每天各修建多少米； (2)为在35天内完成修建任务，应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少？并说明理由． 21．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）木盒里有红球和白球，共4个，每个球除了颜色外其他都相同．从盒子里先摸出一个球，放回去摇匀后，再摸出一个球，继续放回去摇匀后，再摸第3次、第4次… (1)甲同学摸球10次，都没有摸到红球，于是他就判断“摸到红球”是“不可能事件”．他的判断正确吗？ (2)如果盒子里有3个红球、1个白球，乙同学按照摸球的规则，摸球2次，那么摸到一个红球和1个白球的概率是多少？（用列表展现所有等可能的结果） 22．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在梯形中，，，对角线相交于点，设，． (1)试用，的式子表示向量； (2)在图中作出向量在方向上的分向量，并写出结论． 23．（23-24八年级下·上海·期末）小杰、小明两人在一段笔直的滨江步道上同起点、同终点、同方向匀速步行 米，先到终点的人原地休息．已知小杰先出发分钟，在整个步行过程中，小杰、小明两人间的距离（米）与小杰出发的时间（分）之间的关系如图中折线 所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)求小明的步行速度； (3)求小明比小杰早几分钟到达终点? 24．（2024·上海虹口·二模）如图，一次函数图像在反比例函数图像相交于点和点，与轴交于点．点在反比例函数图像上，过点作轴的垂线交一次函数图像于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积． 25．（23-24九年级上·上海·期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题（第（1）（2）不必写出过程） (1)的值为（     ）． A． B．1 C． D．2 (2)对于，的正对值的取值范围是 ． (3)如果，，其中为锐角，试求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上学期开学摸底考 重难点检测卷 【考试范围：沪教版八下全部内容+九年级上衔接内容】 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（22-23八年级上·上海·阶段练习）如果直线经过第一、三、四象限，那么（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与y轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交． 根据直线经过第一、三、四象限可以确定k、b的符号； 【详解】解：∵直线经过第一、三、四象限， ∴，， 故选：B． 2．（23-24八年级下·上海金山·期末）下列方程是高次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了高次方程的概念：整理后，次数高于二次的一元整式方程，同时理解无理方程与分式方程；根据高次方程的概念即可判断． 【详解】解：A、是二元一次方程，不是高次方程； B、是一元三次方程，故是高次方程； C、是分式方程，故不是高次方程； D、是无理方程，故不是高次方程； 故选：B． 3．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．在十进制中， C．班里的两名同学，他们的生日是同一天 D．任意一个三角形的内角和为360° 【答案】D 【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯    ，是随机事件，故该选项不符合题意； B. 在十进制中，，是必然事件，故该选项不符合题意； C. 班里的两名同学，他们的生日是同一天，是随机事件，故该选项不符合题意；     D. 任意一个三角形的内角和为，是不可能事件，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键． 4．（2024·上海静安·二模）如图，菱形的对角线、相交于点，那么下列条件中，能判断菱形是正方形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的判定．根据菱形到现在和正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：A、，， ， ， 四边形是菱形， ，故不能判断菱形是正方形；故A不符合题意； B、四边形是菱形， ，， 故不能判断菱形是正方形；故B不符合题意； C、四边形是菱形， ，， ， 故不能判断菱形是正方形；故C不符合题意； D、四边形是菱形， 平行于， ， ， ， 菱形是正方形，故D符合题意． 故选：D． 5．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知四边形是菱形，给出下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，向量，根据大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化． 【详解】解：如图， ①由菱形图象可知，的大小，方向一样，故，①正确； ②这两个向量的方向不同，但是由菱形的定义可知他们的模长相等，得到②正确； ③，， ，故③正确； ④，， ，， 成立，④正确， 综上所述，正确的有：①②③④， 故选：D． 6．（22-23八年级上·上海·阶段练习）函数和在同一坐标系中的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的图象，解题的关键是数形结合． 依据正比例函数图象和一次函数的图象的特征判断即可． 【详解】解：若正比例函数的图象从左往右下降，则，此时，一次函数的图象与y轴交于负半轴，且从左往右上升，故A选项错误，B选项正确； 若正比例函数的图象从左往右上升，则，此时，一次函数的图象与y轴交于正半轴，且从左往右上升，故D选项错误；而C选项不合题意． 故选：B． 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（23-24八年级下·上海·期末）方程的解是 ． 【答案】无实数根 【分析】本题考查了解无理方程； 移项后两边平方，得到关于的一元二次方程，根据判别式的意义可知此方程无实数根，则原无理方程无实数根． 【详解】解：移项得：， 两边平方得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， 即方程无实数根， 故答案为：无实数根． 8．（2024·上海·模拟预测）从的数字中任选6个数，都不是合数的概率为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了求概率．根据题意可得从的数字中任选6个数，都不是合数的0种情况，即可求解． 【详解】解：∵从的数字中，合数是4，6，8，9，10共5个， ∴从的数字中任选6个数，都不是合数的是0种情况， ∴从的数字中任选6个数，都不是合数的概率为0． 故答案为：0 9．（23-24八年级下·上海宝山·期中）已知和是方程的两个解，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了方程的解的定义，理解方程解的定义是解题的关键．将，代入方程，求出的值即可求解． 【详解】将，代入方程得， ，解得， ． 故答案为：3． 10．（23-24八年级下·上海·期末）已知一次函数与直线 平行，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据平行的两直线的解析式的一次项系数相等，即可求解． 【详解】解：∵一次函数与直线 平行， ∴， 解得：， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一次不等式的关系．结合图象得出不等式的解集即可． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， 由图象得，当时，的图象位于图象上方， ∴关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 12．（23-24八年级下·上海·期末）如图，已知中，点D、E分别是边、中点，，点F、G分别是、的中点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线及梯形的中位线，熟练掌握两个定理是解题的关键．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，再根据梯形的中位线平行于两底边并且等于两底和的一半求解即可． 【详解】解：点D、E分别是边、中点， 是的中位线， ，， ， ， 点F、G分别是、的中点， 是梯形的中位线， ， 故答案为： 13．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如图，在梯形中，，如果，那么边的长是 ．    【答案】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，过点D作于点E，根据矩形的性质分别求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 故答案为：．    14．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，一次函数与的图像相交于点P，那么 ． 【答案】5 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求反比例函数的解析式．由图象得出交点纵坐标是5是解题的关键． 由图象可得交点P的纵坐标为5，代入一次函数，求得点P坐标，再把点P坐标代入反比例函数求解即可． 【详解】解：对于一次函数， 当时，则， 解得：， ∴， 把代入，得， 故答案为：5． 15．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，，D是边的中点，过点D作，垂足为E，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，先由线段中点的定义得到，则由勾股定理可得，则，再证明，则． 【详解】解：∵D是边的中点，， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（23-24八年级下·上海·期末）对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“友好菱形”．问题：如图，在中， ，且的面积为S．如果存在“友好菱形”为菱形，那么S的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由的面积为S可得的高为，然后再分三角形的高取最小值和最大值两种情况求解即可． 【详解】解：∵的面积为S， ∴， ∴边上的高为， 如图：当高取最小值时，为等边三角形，A与M或N或上重合， 如图：过A作，垂足为D， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，即； 如图：当高取最大值时，菱形为正方形， ∴A在中点， ∴，即 ∴． 故填：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、正方形的性质、等边三角形的性质以及勾股定理，考查知识点较多，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 17．（2024·上海虹口·三模）如图，在中，，，平分交于点，交于点，连结交于点，设，，用、的线性组合表示向量 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平面向量． 根据平行线的性质和角平分线的定义得到，设，根据得到，分别代入即可求得，再根据平面向量三角形减法法则得出，根据可求得与的关系，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为： ． 18．（2024·上海杨浦·模拟预测）某款轿车每行驶100千米的耗油量升与其行驶速度千米/小时之间的函数关系图象如图所示，其中线段的表达式为，点的坐标为，即行驶速度为千米/小时时该轿车每行驶千米的耗油量是14升．如果从甲地到乙地全程为260千米，其中有60千米限速50千米/小时的省道和200千米限速120千米/小时的高速公路，那么在不考虑其他因素的情况下，这款轿车从甲地行驶到乙地至少需要耗油 升． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质及待定系数法求一次函数解析式，正确识图并熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 根据线段的表达式可得出点B坐标，利用待定系数法即可得线段的解析式，根据一次函数的性质可得在省道和高速公路上行驶时耗油量最小时的速度，根据解析式即可得出每行驶100千米的耗油量，进而可得答案． 【详解】解：∵线段的表达式为， ∴当时，，即． 令BC的表达式为， ∵点C的坐标为， ∴， 解得：， ∴线段的表达式为． ∵在中，， ∴y随x的增大而减小， ∵省道限速50千米/小时， ∴当x＝50时，耗油量最低，即， ∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∵高速公路限速120千米/小时， ∴当x=100时，耗油量最低，即， ∵有60千米的省道和200千米的高速公路， ∴从甲地行驶到乙地至少需要耗油（升）． 即至少耗油升． 故答案为： 三、解答题（7小题，共64分） 19．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解无理方程，掌握解无理方程的技巧和解一元二次方程是解题的关键． 先将无理方程转化为一元二次方程，然后解一元二次方程即可，最后根据无理方程的特点要进行检验即可． 【详解】解：， ， ， ，， 经检验时，不符合题意，舍去． ∴原方程的解为． 20．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米．甲工程队每天修建的费用为2万元，乙工程队每天修建的费用为万元． (1)求甲、乙两个工程队每天各修建多少米； (2)为在35天内完成修建任务，应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少？并说明理由． 【答案】(1)甲工程队每天修建12米，则乙工程队每天修建18米 (2)甲工程队所花费用较少；理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确计算． （1）设甲工程队每天修建x米，则乙工程队每天修建米，根据甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，列出方程，解方程即可； （2）分别求出两个工程队完成任务需要的时间和费用，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设甲工程队每天修建x米，则乙工程队每天修建米，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， （天）， 答：甲工程队每天修建12米，则乙工程队每天修建18米． （2）解：甲工程队修建时间为：（天），需要花费： （万元）， 乙工程队修建时间为：（天），需要花费： （万元）， ∵， ∴两个工程队都能在天内完成， ∵， ∴甲工程队所花费用较少． 21．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）木盒里有红球和白球，共4个，每个球除了颜色外其他都相同．从盒子里先摸出一个球，放回去摇匀后，再摸出一个球，继续放回去摇匀后，再摸第3次、第4次… (1)甲同学摸球10次，都没有摸到红球，于是他就判断“摸到红球”是“不可能事件”．他的判断正确吗？ (2)如果盒子里有3个红球、1个白球，乙同学按照摸球的规则，摸球2次，那么摸到一个红球和1个白球的概率是多少？（用列表展现所有等可能的结果） 【答案】(1)他的判断不正确 (2) 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． （1）根据概率的可能性进行判断即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出摸到一个红球和1个白球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）他的判断不正确，因为此事件是随机事件，不能因为事件发生的可能性小就认为它是不可能事件； （2）根据题意画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中摸到一个红球和一个白球的有6种结果， 所以摸到一个红球和一个白球的概率是． 22．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在梯形中，，，对角线相交于点，设，． (1)试用，的式子表示向量； (2)在图中作出向量在方向上的分向量，并写出结论． 【答案】(1) (2)图形见解析，向量在方向上的分向量分别为， 【分析】本题考查了平行线分线段成比例、平面向量定理，解决本题的关键是掌握平面向量定理． （1）根据平行线分线段成比例可得，结合平面向量定理即可表示； （2）根据平面向量定理画图即可． 【详解】（1）解：，， ， ，即， ，，，方向相同， ， ， ； （2）如图所示：即为向量在方向上的分向量分别为，． 23．（23-24八年级下·上海·期末）小杰、小明两人在一段笔直的滨江步道上同起点、同终点、同方向匀速步行 米，先到终点的人原地休息．已知小杰先出发分钟，在整个步行过程中，小杰、小明两人间的距离（米）与小杰出发的时间（分）之间的关系如图中折线 所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)求小明的步行速度； (3)求小明比小杰早几分钟到达终点? 【答案】(1) (2)小明的步行速度为米/分 (3)小明比小杰早分钟到达终点 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据图示，设线段的表达式为：，把，代入得到关于，的二元一次方程组，解之，即可得到答案， （2）根据线段，求出甲的速度，根据图示可知：乙在点处追上甲，根据速度路程时间，计算求值即可， （3）根据图示，求出二者相遇时与出发点的距离，进而求出与终点的距离，结合（2）的结果，分别计算出相遇后，到达终点二者所用的时间，二者的时间差即可所求答案． 【详解】（1）设线段的表达式为： ， 把，代入得： ，解得：， 即线段的表达式为： ， （2）由线段可知：小杰的速度为：(米/分)， 小明的步行速度为：(米/分)， 答：小明的步行速度为米/分， （3）在处小杰、小明相遇时，与出发点的距离为：米)， 与终点的距离为：(米)， 相遇后，到达终点小杰所用的时间为：(分)， 相遇后，到达终点小明所用的时间为：(分)， (分)， 答：小明比小杰早分钟到达终点． 24．（2024·上海虹口·二模）如图，一次函数图像在反比例函数图像相交于点和点，与轴交于点．点在反比例函数图像上，过点作轴的垂线交一次函数图像于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数为，一次函数解析式 (2) 【分析】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数和一次函数解析式，三角形面积． （）利用待定系数法求解即可； （）先分别求出、、的坐标，进而利用三角形面积公式解答即可． 【详解】（1）解：设反比例函数为， 把点代入得，， ∴反比例函数为， 把点，点代入，得 ，， ∴，， ∴点，点， 设一次函数解析式， 把点，点代入得 ， 解得， ∴一次函数解析式； （2）∵一次函数解析式， ∴ 把点代入，得， ∴， ∴点， ∵轴， ∴点的横坐标为， 把代入得， ∴ ∴， ∴ 25．（23-24九年级上·上海·期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题（第（1）（2）不必写出过程） (1)的值为（     ）． A． B．1 C． D．2 (2)对于，的正对值的取值范围是 ． (3)如果，，其中为锐角，试求的值． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，勾股定理以及三角形的三边关系等知识． （1）先判断为等边三角形，得到，最后根据新定义求解即可； （2）先根据三角形的三边关系和等腰三角形的性质得到，最后根据新定义求解即可； （3）过点作于点，则，设，，然后用勾股定理求出、，最后根据新定义求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， 为等边三角形， ， ， 故选：B； （2）在中，根据三角形的三边关系得：， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）如图，过点作于点，则， ， 设，， 在中，， 是等腰三角形， ， ， 在中，， ． 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