专题06 有理数的乘方重难点题型专训（13大题型+18道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

专题06 有理数的乘方重难点题型专训（13大题型+21道拓展培优） 题型一 有理数幂的概念理解 题型二 有理数的乘方运算 题型三 有理数乘方逆运算 题型四 乘方运算的符号规律 题型五 乘方的应用 题型六 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 题型八 有理数四则混合运算 题型九 有理数四则混合运算的实际应用 题型十 程序流程图与有理数计算 题型十一 算24点 题型十二 含乘方的有理数混合运算 题型十三 有理数乘方的新定义运算 知识点01：有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 知识点02：有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【经典例题一 有理数幂的概念理解】 【例1】（23-24七年级上·河北邢台·期中）若是的倍，则的值是（　　） A．2 B．8 C． D． 1．（23-24七年级上·山西临汾·期末）（    ） A． B． C． D． 2．（2022七年级上·全国·专题练习）填空： ； ； ； ； ； ． 3．（23-24七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定． (1)根据除方的定义，可记作____________； (2)直接写出计算结果：____________； (3)计算：； (4)对于有理数时， ____________． 【经典例题二 有理数的乘方运算】 【例2】（2024·河北廊坊·二模）已知：，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，，，…，若分裂后，其中有一个奇数是777，则m的值是（　　） A．29 B．28 C．27 D．26 2．（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）若x，y为有理数，且则的值为 ． 3．（23-24七年级上·吉林长春·期中）阅读下面内容，解决问题： 【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把n个有理数相除记作，读作“a的n次商”． 【初步探究】 (1)直接写出结果：______，______； (2)关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零有理数的2次商都等于1 B．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 C．除零外两个相反数的偶数次商都相等，奇数次商还是互为相反数 D．（a是有理数，，n是正整数） 【深入思考】 除法运算能够转化为乘法运算，有理数的除方运算也可以转化为乘方运算，如： (3)将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： ______，______． (4)想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于______（n是整数且）． (5)算一算：． 【经典例题三 有理数乘方逆运算】 【例3】（2023七年级上·江苏·专题练习）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 1．（23-24七年级上·湖北黄冈·阶段练习）已知，，且＜0，则的值是（   ） A．±9 B．±1或±9 C．±1 D．－1或－9 2．（23-24七年级上·湖北·阶段练习）计算：的值为 ． 3．（22-23七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【经典例题四 乘方运算的符号规律】 【例4】（23-24七年级上·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 1．（23-24七年级上·四川甘孜·期中）下列各组数：①和；②和； ③和；④和，其中相等的有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 2．（23-24六年级下·全国·课后作业）若，则 ． 3．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知a，b是有理数，且 求的值． 【经典例题五 乘方的应用】 【例5】（23-24七年级上·广东广州·开学考试）池塘里睡莲面积每天长一倍，经过天长满整个池塘，则这些睡莲长满半个池塘要（　　）天． A．6 B．7 C．9 D．11 1．（23-24六年级上·山东烟台·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记录捕到的鱼的数量．由图可知，他一共捕到的鱼的数量为（   ） A．34 B．194 C．1234 D．6154 2．（22-23七年级上·福建龙岩·阶段练习）我们常用的数是十进制，如，十进制数要用个数码（又叫数字），．而在电子计算机中用的是二进制，只要2个数码：0和1，如二进制，相当于十进制数中的6，，相当于十进制数中的．那么二进制中的等于十进制中的数是 ．（提示：非零有理数的零次幂都为 3．（23-24七年级上·四川成都·期中）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： 例：①； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ． (1)计算：①；                      ②； (2)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 ，并把两数的 ； 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果等于这个数的 ． (3)是否存在整数 ，使得 ，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由． 【经典例题六 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例6】（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）物理是上帝的游戏，而数学是上帝的游戏规则．不管多大或多小的数，都得靠数学来表示呢！来自2024年综合运输春运工作专班的数据显示，2月10日～17日（农历正月初一至初八），全社会跨区域人员流动量累计亿人次．客流量大已成为2024年春运的最显著特征，铁路、公路、民航等客运频频刷新纪录．用科学记数法表示亿，正确的是（    ）． A． B． C． D． 1．（2024·甘肃武威·三模）党的二十大报告中提到以“得罪千百人、不负十四亿”的使命担当开展反腐败斗争，其中“十四亿”是概指全体中国人民，则数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·广东汕头·模拟预测）新冠肺炎疫情爆发以来，给全世界人民的生命安全，带来了很大的威胁，截至年月日，根据世界卫生组织统计，全球感染新冠肺炎的确诊病例已超过万人，请把数“万”用科学记数法表示为 ． 3．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上不经意地掉下几粒米饭，甚至有些挑食的同学会把吃剩的米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米重约10克．现在请你来计算： （1）一粒大米重约 　 　克？ （2）按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（结果用科学记数法表示） （3）若贫困地区每名儿童每天需0.4千克大米，则（2）节约下来的大米供多少名贫困地区儿童生活一年？（结果用科学记数法表示） 【经典例题七 将用科学记数法表示的数变回原数】 【例7】（23-24七年级上·河南商丘·期末）截至2020年10月末，全国核酸日检测能力是人份，实现了“应检尽检”、“愿检尽检”．数据原来的数是（  ） A．576000 B．576万 C．57600000 D．57.6万 1．（23-24七年级上·山东青岛·期末）过度包装既浪费资源又污染环境，据测算如果全国每年减少十分之一的包装纸用量那么能减少吨二氧化碳的排放量，把写成原数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级下·全国·课后作业）有 个整数位；是 位数． 3．（23-24七年级上·海南海口·期中）（1）用科学记数法表示下列各数: ①900200        ②11000000        ③－510000. （2）将科学记数法表示的数写为原数: ①6.070×103         ② 6×107          ③ 104 【经典例题八 有理数四则混合运算】 【例8】（23-24七年级上·河北秦皇岛·开学考试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24六年级上·山东淄博·期末）使式子：的运算结果为正整数，“□”中的运算符号为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·江西吉安·阶段练习）如图，按如下程序进行运算，当输入数据为15时，则输出结果为 ．    3．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)用简便方法计算：； (5)计算：． 【经典例题九 有理数四则混合运算的实际应用】 【例9】（23-24七年级上·福建厦门·期末）周六，小巧和同学一行共10人相约一起去看电影，电影院的价目表显示，电影票45元/张，也可以购买套餐，套餐价格如下表所示．不论是单买或购买套餐，购买一定金额还可参加“满减”的优惠活动． 套餐 内容 价格（元） 优惠活动 套餐A 1张电影票＋1桶爆米花 60 消费满300元，减25元 消费满600元，减60元 套餐B 1张电影票＋1桶爆米花＋1个主题纪念币 70 若全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，还需要一些爆米花一起共享，则最少需要支付（    ） A．530元 B．540元 C．545元 D．550元 1．（2023·浙江·一模）十字路口红绿灯时长设置是根据路口的实际车流状况来分配的，据统计，某十字路口每天的车流量中，东西走向直行与左转车辆分别约占总流量，南北走向直行与左转车辆分别约占总流量．因右转车辆不受红绿灯限制，所以在设置红绿灯时，按东西走向直行、左转，南北走向直行、左转的次序依次亮起绿灯作为一个周期时间（当某方向绿灯亮起时，其他3个方向全为红灯），若一个周期时间为2分钟，则应设置南北走向直行绿灯时长较为合理的是（    ） A．12秒 B．16秒 C．18秒 D．24秒 2．（2024·北京石景山·一模）某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下： ①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行； ②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如下表所示： 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间/分钟 9 7 6 4 在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要 分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要 分钟． 3．（23-24七年级上·山东德州·期中）阅读与计算：出租车司机小李某天上午营运时是在欢乐谷门口出发，沿南北走向的大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午所接送八位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)将第几位乘客送到目的地时，小李离欢乐谷门口最远？ (3)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (4)若出租车起步价为5元，起步里程为（包括），超过部分每千米1.2元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【经典例题十 程序流程图与有理数计算】 【例10】（23-24七年级上·浙江温州·期末）按如图所示的流程图操作，若输入的值是，则输出的结果是（   ） A．0 B．7 C．14 D．49 1．（23-24七年级上·河南郑州·期中）下图是一个“数值转换机”的示意图，按如图所示的运算程序，能使输出值为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2、（24-25七年级上·全国·随堂练习）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为6和，则输出的值分别为 ． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图是一个数值转换机的示意图． (1)若输入x的值为，输入y的值为2，求输出的结果； (2)用含x，y的代数式表示输出的结果为：______； (3)若输入x的值为2，输出的结果为8，求输入y的值； (4)若y是x的3倍（为常数），且不论取任意负数时，输出的结果都是0，求的值． 【经典例题十一 算24点】 【例11】（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 1．（23-24七年级上·湖北鄂州·期末）“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）嘉嘉和琪琪在玩24点游戏，游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算（可以使用括号）得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．嘉嘉抽到的四张牌如下，请帮他写出一个计算结果为24的算式 ． 3．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，乘积的最大值为 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，商的最小值为 ． (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少； 答：我抽取的2张卡片是 、 ，组成一个最大的数为 ． (4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片算24的式子为 ． 【经典例题十二 含乘方的有理数混合运算】 【例12】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)（用简便方法计算） (4)． 1．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）计算 (1) (2) (3) (4)． (5) (6) (7) (8)． 2．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 3．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此，，所以即，依照以上推理计算：的值． 【经典例题十三 有理数乘方的新定义运算】 【例13】（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． (1)归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________ (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 1．（23-24七年级上·福建泉州·期末）设a，b是有理数，定义新运算， 例如，． (1)计算：； (2)设，，求的值． 2．（23-24七年级上·湖南益阳·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 3．（23-24七年级上·河北沧州·期中）【知识迁移】我们已经知道：求若干个相同的有理数（均不等于0）的乘法运算叫做乘方．类比乘方的定义，我们规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 如：，等，我们把记作，读作“2的3次商”， 记作，读作“的次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”．根据以上信息，完成下列问题． (1)直接写出结果：______，______． (2)关于除方，下列说法错误的是（      ） A．任何非零数的次商都等于 B．对于任何正整数， C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数 D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 (3)深入思考：除法运算能转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：______；______； (4)综合应用：算一算：． 1．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）若a， b互为相反数， c， d互为倒数， x的绝对值是1，则的值为（      ） A． B． C．0 D．1 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）观察下列算式：①；②；③寻找规律，并判断的值的末位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 3．（23-24六年级下·山东威海·期末）根据图中的程序，当输入，输出的结果，将计算结果再次输入，记为第二次输入，则第2024次输出的结果为（    ） A． B． C．2 D．无法确定 4．（23-24八年级下·广东深圳·期末）又到了荔枝成熟的季节，家住宝安的张华同学想给远在老家的亲人们寄一些荔枝，某快递公司规定每件重量不超标的普通小件包裹的收费标准如下： 首重 续重 元千克 元千克 说明：单件包裹重量不超过千克； 运费计算方式：首重运费续重续重运费， 首重为千克，超过千克即要续重，续重以千克为一个计重单位（不足千克按千克计算） 例如：寄出的包裹为千克，则总运费为元． 若张华想要寄千克的荔枝回老家，在不考虑保价及其它优惠活动的情况下，至少需要付运费（　　）元． A． B． C． D． 5．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）物理是上帝的游戏，而数学是上帝的游戏规则．不管多大或多小的数，都得靠数学来表示呢！来自2024年综合运输春运工作专班的数据显示，2月10日～17日（农历正月初一至初八），全社会跨区域人员流动量累计亿人次．客流量大已成为2024年春运的最显著特征，铁路、公路、民航等客运频频刷新纪录．用科学记数法表示亿，正确的是（    ）． A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）有一列数，其中，则（    ） A． B． C． D．1 7．（24-25七年级上·全国·单元测试）如果，那么 ． 8．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）观察下列三行数： ，4，，16，，64，…；① ，5，，17，，65，…；② ，1，，4，，16，…③ 取每行的第8个数，计算这三个数的和为 ． 9．（23-24九年级下·北京·阶段练习）有一条可以坐名游客的木船要载名游客从岸边到湖中的、两岛参观，参观岛需要分钟，参观岛需要分钟，岸边与岛间船航行需要分钟，岸边与岛间船航行分钟，岛与岛间航行需分钟，则名游客全部参观完两岛后返回岸边最少需要 分钟． 10．（23-24八年级下·四川眉山·期中）观察下列等式： ； ； ； … 已知按照一定规律排列的一组数，若 则 （结果用含的代数式表示） 11．（23-24七年级下·北京·期中）某日小王驾驶一辆小型车到某地办事，上午到达，在路边的电子收费停车区域内停车．收费标准如图： 白天 首小时内 小型车：1.5元/15分钟 大型车：3元/15分钟 首小时后 小型车：2.25元/15分钟 大型车：4.5元/15分钟 夜间（（不含）～次日（不含）） 小型车：1元/2小时 大型车：2元/2小时 不足一个计时单位按一个计时单位收取费用 （1）如果他离开，那么应缴费 元； （2）如果他离开时缴费15元，那么停车的时长t（单位：分钟）的取值范围是 ． 12．（2024·北京西城·一模）将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数．若第1个空格填入37，则第2个空格所填入的数为 ，第37个空格所填入的数为 ． 37 13．（22-23七年级上·山东济宁·期中）计算： (1)； (2)． 14．（23-24七年级上·重庆铜梁·开学考试）我国个人所得税征收2019年1月1日起的实施标准：个人月收入在5000元以下不征收税；超过5000元部分按表征税． 全月纳税所得额（超出5000元部分） 税率 不超过3000元部分 超过3000元至12000元部分 超过12000元至25000元部分 … … (1)王老师四月份的月收入是6100元，他应缴纳多少元所得税？ (2)在企业担任中层领导的张叔叔四月份缴纳了290元的个人所得税，张叔叔四月份税前收入是多少元？ 15．（23-24六年级下·山东烟台·期末）观察下列式子： ； ； ； ； (1)猜想： ； ； (2)根据以上发现的规律计算：，并直接写出计算结果的个位数字． 16．（23-24七年级上·四川成都·期末）观察下列等式： 第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ． (2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）； (3)求． 17．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）（概念学习） 规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 除方 乘方幂的形式 （初步探究）（1）关于除方，下列说法错误的是 ． A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．对于任何正整数n，． C．． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． （深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （2）算一算：. 18．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）初夏逢盛会，冰城万象新．2024年第三十三届哈尔滨国际经济贸易洽谈会，吸引了众多采购商和消费者的目光，让海内外宾朋收获颇丰，也给哈尔滨市的旅游行业带来了新的生机，某出租车驾驶员在一条东西向的道路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：）． 第一批 第二批 第三批 第四批 第五批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，那么在连续接送5批客人的过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费9元，超过的部分每千米加元收费，在连续接送5批客人的过程中，该驾驶员一共收到车费多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 有理数的乘方重难点题型专训（13大题型+21道拓展培优） 题型一 有理数幂的概念理解 题型二 有理数的乘方运算 题型三 有理数乘方逆运算 题型四 乘方运算的符号规律 题型五 乘方的应用 题型六 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 题型八 有理数四则混合运算 题型九 有理数四则混合运算的实际应用 题型十 程序流程图与有理数计算 题型十一 算24点 题型十二 含乘方的有理数混合运算 题型十三 有理数乘方的新定义运算 知识点01：有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 知识点02：有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【经典例题一 有理数幂的概念理解】 【例1】（23-24七年级上·河北邢台·期中）若是的倍，则的值是（　　） A．2 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据乘方的意义，可知：，即可得出答案． 【详解】解：∵， 又∵是的倍， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了乘方的意义，掌握乘方的意义是解题的关键． 1．（23-24七年级上·山西临汾·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算，分别根据乘方和乘法的意义求解．找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 2．（2022七年级上·全国·专题练习）填空： ； ； ； ； ； ． 【答案】 9 / 【分析】根据乘方的意义计算即可． 【详解】解：；；；；； 故答案为：9，，，，，． 【点睛】本题考查乘方运算，理解乘方的意义进行计算是解决问题的关键． 3．（23-24七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定． (1)根据除方的定义，可记作____________； (2)直接写出计算结果：____________； (3)计算：； (4)对于有理数时， ____________． 【答案】(1) (2)1 (3)33 (4) 【分析】本题主要考查了有理数运算的新定义及乘方运算，解题的关键是读懂题意，掌握新定义的计算法则，利用新定义计算． （1）根据题意，利用新定义计算即可． （2）根据题意，利用新定义计算即可． （3）根据题意，利用新定义计算即可． （4）根据题意，利用新定义计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， 故答案为：1． （3）解：； （4）解：原式， 故答案为：． 【经典例题二 有理数的乘方运算】 【例2】（2024·河北廊坊·二模）已知：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的意义，相同因数和的意义，根据乘方的定义，加法的意义计算即可求解，掌握乘方的意义及相同因数和的意义是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，，，…，若分裂后，其中有一个奇数是777，则m的值是（　　） A．29 B．28 C．27 D．26 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据题意得出可分裂为m个奇数，进而得出777是从3开始的第388个奇数，用首位相加求和的方法即可确定m的值． 【详解】解：∵底数为2的分裂为2个奇数，底数为3的分裂为3个奇数，底数为4的分裂为4个奇数， ∴可分裂为m个奇数， ∵， ∴777是从3开始的第388个奇数， ∵，， ∴第388个奇数是底数为28的数的立方分裂的奇数中的一个， 即， 故选：B． 2．（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）若x，y为有理数，且则的值为 ． 【答案】1 【分析】直接利用绝对值和偶次方的非负数的性质得出x，y的值，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ，， 解得，， ． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键． 3．（23-24七年级上·吉林长春·期中）阅读下面内容，解决问题： 【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把n个有理数相除记作，读作“a的n次商”． 【初步探究】 (1)直接写出结果：______，______； (2)关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零有理数的2次商都等于1 B．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 C．除零外两个相反数的偶数次商都相等，奇数次商还是互为相反数 D．（a是有理数，，n是正整数） 【深入思考】 除法运算能够转化为乘法运算，有理数的除方运算也可以转化为乘方运算，如： (3)将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： ______，______． (4)想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于______（n是整数且）． (5)算一算：． 【答案】(1)，4 (2)D (3)， (4) (5) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义的理解与运用；熟练掌握运算法则是解本题的关键．对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序． （1）利用题中的新定义计算即可求出值； （2）利用题中的新定义计算即可求出值； （3）将原式变形即可得到结果； （4）根据题意确定出所求即可； （5）根据（4）中结论计算即可求出值． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，4； （2）A．任何非零数的2次商都等于1，说法正确，不符合题意； B．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，原说法正确，不符合题意； C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数，说法正确，不符合题意； D．（a是有理数，，n是正整数），说法错误，例如：，符合题意． 故选：D； （3） ； ； 故答案为：，； （4）由（3）得到规律：， 所以，将一个非零有理数的次商写成乘方（幂）的形式等于， 故答案为：； （5） ． 【经典例题三 有理数乘方逆运算】 【例3】（2023七年级上·江苏·专题练习）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 1．（23-24七年级上·湖北黄冈·阶段练习）已知，，且＜0，则的值是（   ） A．±9 B．±1或±9 C．±1 D．－1或－9 【答案】C 【分析】根据绝对值以及平方的性质即可求得a，b的值，然后代入数据即可求解． 【详解】解：∵|b|=5， ∴b=±5， ∵a2=16， ∴a=±4， ∵ab＜0 ∴a=4，b=-5或a=-4，b=5， ∴a+b=4-5=-1， 或a+b=-4+5=1． 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值和平方的性质，正确确定a，b的值是关键． 2．（23-24七年级上·湖北·阶段练习）计算：的值为 ． 【答案】7 【分析】根据有理数的乘方运算和逆运算即可得． 【详解】原式， ， ， ， ， ， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算和逆运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 3．（22-23七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4） 【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值； （2）根据（1）的结果即可得到答案； （3）根据乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为和的乘积即可证明猜想； （4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ； ②， ； （2）； （3），理由如下： ； （4） ． 【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键． 【经典例题四 乘方运算的符号规律】 【例4】（23-24七年级上·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【答案】B 【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得． 【详解】解：由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子①错误； 由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子②正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 1．（23-24七年级上·四川甘孜·期中）下列各组数：①和；②和； ③和；④和，其中相等的有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】利用有理数的乘方法则计算各组数即可求解． 【详解】解：①，，两个数不相等； ②，，两个数相等； ③，，两个数不相等； ④，，两个数相等； 综上所述，相等的有②和④，共2组， 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的乘方，掌握有理数的乘方法则是解题的关键，注意符号． 2．（23-24六年级下·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性和偶数次方的非负性，算出x和y的值，再代入式子求解． 【详解】解：∵，且，， ∴，，解得，， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题考查绝对值的性质和乘方的性质，解题的关键是利用绝对值的非负性和偶数次方的非负性进行计算求解． 3．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知a，b是有理数，且 求的值． 【答案】． 【分析】先根据平方和绝对值的非负性求出a和b的值，再代入式子用裂项的方法求和． 【详解】解：由得，，   ． 【点睛】本题考查平方和绝对值的非负性，以及裂项求和，解题的关键是掌握平方和绝对值的非负性，熟悉裂项求和的方法． 【经典例题五 乘方的应用】 【例5】（23-24七年级上·广东广州·开学考试）池塘里睡莲面积每天长一倍，经过天长满整个池塘，则这些睡莲长满半个池塘要（　　）天． A．6 B．7 C．9 D．11 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方，睡莲的面积后一天是前一天的2倍，从而得到12天后的面积与初始面积的关系，将睡莲长满半个池塘的天数设为未知数，根据题意列方程并求解即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：设睡莲原来的面积为，则12天后的面积为，设这些睡莲长满半个池塘要天，根据题意得： ， 整理得， 解得， 故选： ． 1．（23-24六年级上·山东烟台·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记录捕到的鱼的数量．由图可知，他一共捕到的鱼的数量为（   ） A．34 B．194 C．1234 D．6154 【答案】B 【分析】本题主要考查了用数字表示事件，理解题意是解题的关键．根据题意列式即可． 【详解】解：． 故选B． 2．（22-23七年级上·福建龙岩·阶段练习）我们常用的数是十进制，如，十进制数要用个数码（又叫数字），．而在电子计算机中用的是二进制，只要2个数码：0和1，如二进制，相当于十进制数中的6，，相当于十进制数中的．那么二进制中的等于十进制中的数是 ．（提示：非零有理数的零次幂都为 【答案】 【分析】依据题中的二进制的换算方式将二进制转化为十进制计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的乘方运算．根据已知转化方法，找出其中规律是解决此题的关键． 3．（23-24七年级上·四川成都·期中）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： 例：①； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ． (1)计算：①；                      ②； (2)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 ，并把两数的 ； 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果等于这个数的 ． (3)是否存在整数 ，使得 ，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)正，负，平方相加；平方 (3)存在，当，时，；当，时， 【分析】本题考查了新定义的运算及规律探究，根据已知等式正确归纳出运算法则是解题关键． （1）根据已知新定义运算法则计算即可； （2）根据题干已知运算等式，归纳运算法则即可； （3）由判断得到或，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 ① ； ② ； （2）解：由题意得 归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加； 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果等于这个数的平方． 故答案：正，负，平方相加；平方． （3）解：存在，理由如下 ， 或； ， ， 是整数， ①当，时， 此时，，符合题意； ； ②当，时， ， 此时，，不符合题意； ③当，时， ， 此时，，符合题意； ； ④当，时， ， 此时，，不符合题意； 综上所述：当，时，；当，时，． 【经典例题六 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例6】（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）物理是上帝的游戏，而数学是上帝的游戏规则．不管多大或多小的数，都得靠数学来表示呢！来自2024年综合运输春运工作专班的数据显示，2月10日～17日（农历正月初一至初八），全社会跨区域人员流动量累计亿人次．客流量大已成为2024年春运的最显著特征，铁路、公路、民航等客运频频刷新纪录．用科学记数法表示亿，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将亿写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：亿． 故选B． 1．（2024·甘肃武威·三模）党的二十大报告中提到以“得罪千百人、不负十四亿”的使命担当开展反腐败斗争，其中“十四亿”是概指全体中国人民，则数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 2．（2024·广东汕头·模拟预测）新冠肺炎疫情爆发以来，给全世界人民的生命安全，带来了很大的威胁，截至年月日，根据世界卫生组织统计，全球感染新冠肺炎的确诊病例已超过万人，请把数“万”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 根据科学记数法的表示方法解答即可． 【详解】解：万=． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上不经意地掉下几粒米饭，甚至有些挑食的同学会把吃剩的米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米重约10克．现在请你来计算： （1）一粒大米重约 　 　克？ （2）按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（结果用科学记数法表示） （3）若贫困地区每名儿童每天需0.4千克大米，则（2）节约下来的大米供多少名贫困地区儿童生活一年？（结果用科学记数法表示） 【答案】（1）0.02；（2）3.066×107千克；（3）2.1×105名 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）结合（1）的结论列式计算即可，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数； （3）结合（2）的结论计算即可． 【详解】解：（1）10÷500＝0.02（克）， 故答案为：0.02； （2）0.02×1×3×365×1 400 000 000÷1 000＝3.066×107（千克）． 答：一年大约能节约大米3.066×107千克． （3）3.066×107÷(0.4×365) ＝3.066×107÷146 ＝2.1×105（名）． 答：（2）节约下来的大米供2.1×105名贫困地区儿童生活一年． 【点睛】此题考查了有理数的实际应用以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值，解答此类题要审清题意，抓住问题的关键，列出相应的算式来解决问题． 【经典例题七 将用科学记数法表示的数变回原数】 【例7】（23-24七年级上·河南商丘·期末）截至2020年10月末，全国核酸日检测能力是人份，实现了“应检尽检”、“愿检尽检”．数据原来的数是（  ） A．576000 B．576万 C．57600000 D．57.6万 【答案】B 【分析】将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 【详解】解：=5760000=576万． 故选：B． 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 1．（23-24七年级上·山东青岛·期末）过度包装既浪费资源又污染环境，据测算如果全国每年减少十分之一的包装纸用量那么能减少吨二氧化碳的排放量，把写成原数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的逆过程，科学记数法的表示形式为：的形式，关键是根据n的大小向右移动小数点得到原数． 【详解】∵n=6，∴小数点需要向右移动6位 故3.12×106=3120000 故选B． 【点睛】本题考查科学记数法的逆过程，科学记数法还可表示较小的数，注意，此刻小数点的移动方向与较大数表示时移动方向刚好相反． 2．（23-24六年级下·全国·课后作业）有 个整数位；是 位数． 【答案】 5 9 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，且n的数值比原数整数位的数值小1，中n的数值为4，故其原数整数位为5位数； 故其原数整数位n+１． 【详解】解： 整数位有5位； 整数位有9位； 故答案为5，9． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（23-24七年级上·海南海口·期中）（1）用科学记数法表示下列各数: ①900200        ②11000000        ③－510000. （2）将科学记数法表示的数写为原数: ①6.070×103         ② 6×107          ③ 104 【答案】（1）①9.002×105 ; ②1.1×107 ; ③-5.1×105; （2）①6070 ; ②60000000 ; ③10000. 【分析】（1）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数； （2）把科学记数法表示的数a×10n写为原数时，小数点向右移动n位，即可得出原数． 【详解】解：（1）①900200 = 9.002×105       ②11000000= 1.1×107        ③－510000=-5.1×105. （2）①6.070×103 =6070        ② 6×107 =60000000          ③ 104=10000 【点睛】此题主要考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，n＞0时，n是几，小数点就向右移几位． 【经典例题八 有理数四则混合运算】 【例8】（23-24七年级上·河北秦皇岛·开学考试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟知有理数的四则混合运算法则和运算律并据此逐项计算即可求解． 【详解】解：A. ，故原选项计算错误，不合题意； B. ，故原选项计算错误，不合题意； C. ，故原选项计算错误，不合题意； D. ，故原选项计算正确，符合题意． 故选：D 1．（23-24六年级上·山东淄博·期末）使式子：的运算结果为正整数，“□”中的运算符号为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则成为解题的关键． 先计算，然后再根据即可解答． 【详解】解：， A. 由，故该选项不符合题意； B. 由，故该选项符合题意； C.由，则该选项不符合题意； D.由，则该选项不符合题意． 故选：B． 2．（22-23七年级上·江西吉安·阶段练习）如图，按如下程序进行运算，当输入数据为15时，则输出结果为 ．    【答案】 【分析】将15代入程序，利用程序图中的程序进行运算即可． 【详解】解：当输入数据为15时， ， ∴输出结果为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握程序图的程序是解决问题的关键． 3．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)用简便方法计算：； (5)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的乘方以及四则运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法交换律和结合律简便运算求解即可； （2）根据有理数的乘除运算求解即可； （3）利用乘法分配律简便计算即可； （4）利用乘法分配律简便计算即可； （5）根据有理数的混合运算，先计算乘法，再计算乘法，最后计算加减求解即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 【经典例题九 有理数四则混合运算的实际应用】 【例9】（23-24七年级上·福建厦门·期末）周六，小巧和同学一行共10人相约一起去看电影，电影院的价目表显示，电影票45元/张，也可以购买套餐，套餐价格如下表所示．不论是单买或购买套餐，购买一定金额还可参加“满减”的优惠活动． 套餐 内容 价格（元） 优惠活动 套餐A 1张电影票＋1桶爆米花 60 消费满300元，减25元 消费满600元，减60元 套餐B 1张电影票＋1桶爆米花＋1个主题纪念币 70 若全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，还需要一些爆米花一起共享，则最少需要支付（    ） A．530元 B．540元 C．545元 D．550元 【答案】B 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据题意，得到至少要购买5份套餐，再结合优惠活动进行求解即可．读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． 【详解】解：∵全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币， ∴至少要购买5份套餐， ①当购买5份套餐，其余全部购买电影票时： （元）， ∵消费满300元，减25元， ∴共消费：元， ②当购买6份套餐，其余全部购买电影票时： 元， ∵消费满600元，减60元， ∴共消费：元， 此时最优惠， 故选B． 1．（2023·浙江·一模）十字路口红绿灯时长设置是根据路口的实际车流状况来分配的，据统计，某十字路口每天的车流量中，东西走向直行与左转车辆分别约占总流量，南北走向直行与左转车辆分别约占总流量．因右转车辆不受红绿灯限制，所以在设置红绿灯时，按东西走向直行、左转，南北走向直行、左转的次序依次亮起绿灯作为一个周期时间（当某方向绿灯亮起时，其他3个方向全为红灯），若一个周期时间为2分钟，则应设置南北走向直行绿灯时长较为合理的是（    ） A．12秒 B．16秒 C．18秒 D．24秒 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题关键是重新计算比例，而非直接用．先重新计算南北走向直行流量占比，再用120乘以占比可得一个周期时间为2分钟南北走向直行绿灯时长． 【详解】解：右转车辆不受红绿灯限制， 南北走向直行占题四种走向流量的比例为：， 一个周期时间为2分钟，设置南北走向直行绿灯时长为， 故选：B． 2．（2024·北京石景山·一模）某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下： ①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行； ②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如下表所示： 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间/分钟 9 7 6 4 在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要 分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要 分钟． 【答案】 43 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据题意列出算式求出甲单独完成一间客房的清洁工作，需要的时间即可；按照题目要求让甲完成四间客房的打扫卫生工作，同时乙，丙完成另外三项工作，最后一间客房的另外三项工作由甲、乙、丙同时完成，计算出时间即可． 【详解】解：甲单独完成一间客房的清洁工作，需要的时间为： （分钟）， 甲先完成第1间客房的卫生打扫工作，然后乙完成第1间客房的更换客用物品和检查设备，丙完成第1间客房整理床铺工作，完成后再等2分钟，开始第1间客房的更换客用物品和检查设备，乙完成后再进行第2间客房整理床铺工作，完成后再等1分钟，开始第3间客房的更换客用物品和检查设备，丙完成第2间客房工作后，马上再完成第3间客房整理床铺工作，当甲完成第四间客房打扫卫生工作后，三个人同时完成剩余的三项工作，这样所需要的时间为： （分钟）， 即甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要43分钟． 故答案为：26；43． 3．（23-24七年级上·山东德州·期中）阅读与计算：出租车司机小李某天上午营运时是在欢乐谷门口出发，沿南北走向的大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午所接送八位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)将第几位乘客送到目的地时，小李离欢乐谷门口最远？ (3)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (4)若出租车起步价为5元，起步里程为（包括），超过部分每千米1.2元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在欢乐谷门口的北边2千米处 (2)将第六位乘客送到目的地时，小李离欢乐谷门口最远 (3)这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气6.8立方米 (4)小李这天上午共得车费56.8元 【分析】本题考查了正数和负数、有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解此题的关键． （1）将这些正数和负数全部相加，进行计算即可解答； （2）分别计算出送完每一位乘客时，距欢乐谷的距离，即可解答； （3）将这些正数和负数的绝对值全部相加，进行计算即可解答； （4）八名顾客均有起步价，再求出超出千米的加价，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： （千米）， 将最后一位乘客送到目的地时，小李在欢乐谷门口的北边2千米处； （2）解：由题意得： 第一位乘客：（千米）， 第二位乘客：（千米）， 第三位乘客：（千米）， 第四位乘客：（千米）， 第五位乘客：（千米）， 第六位乘客：（千米）， 第七位乘客：（千米）， 第八位乘客：（千米）， ， 将第六位乘客送到目的地时，小李离欢乐谷门口最远； （3）解：由题意得： （千米）， ， 这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气6.8立方米； （4）解：由题意得： （元）， 小李这天上午共得车费元． 【经典例题十 程序流程图与有理数计算】 【例10】（23-24七年级上·浙江温州·期末）按如图所示的流程图操作，若输入的值是，则输出的结果是（   ） A．0 B．7 C．14 D．49 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是根据流程图的意思列出算式． 【详解】解：输入的的值是， 则，返回继续运算， ，输出结果， 故选：D． 1．（23-24七年级上·河南郑州·期中）下图是一个“数值转换机”的示意图，按如图所示的运算程序，能使输出值为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本体考查了代数式求值，将各项代入运算程序中，逐一计算即可，读懂运算程序是解题的关键． 【详解】、输入，，即，输出，不符合题意； 、输入，，即，输出，不符合题意； 、输入，，即，输出，不符合题意； 、输入，，即，输出，符合题意； 故选：． 2、（24-25七年级上·全国·随堂练习）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为6和，则输出的值分别为 ． 【答案】4和5 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，绝对值的求解，根据程序顺序代入求值即可，解题的关键是读懂程序框图，并掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 【详解】解：输入x的值为6时，， 输出的值为； 输入x的值为时，， 输出的值为； 所以输出的值分别为4和5， 故答案为：4和5． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图是一个数值转换机的示意图． (1)若输入x的值为，输入y的值为2，求输出的结果； (2)用含x，y的代数式表示输出的结果为：______； (3)若输入x的值为2，输出的结果为8，求输入y的值； (4)若y是x的3倍（为常数），且不论取任意负数时，输出的结果都是0，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或． 【分析】本题考查了整式的加减中的程序计算，正确理解程序是解题的关键． (1)根据程序，得，计算即可． (2)根据程序，列出代数式，计算即可． (3)根据程序，列出等式，计算即可． (4)根据程序，列出等式，计算即可． 【详解】（1）根据程序，得． （2）根据程序，得， 故答案为：． （3）根据程序，得， ∴， 解得或． （4）根据程序，得， ∴， ∴， 解得或． 【经典例题十一 算24点】 【例11】（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 1．（23-24七年级上·湖北鄂州·期末）“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2， ∵， ∴①符合题意； ②这四个数分别为-4、-6、6、2， ∵， ∴②符合题意； ③这四个数分别为-4、-3、12、2， ∵， ∴③符合题意； ④这四个数分别为-4、-3、6、1， ∵， ∴④符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）嘉嘉和琪琪在玩24点游戏，游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算（可以使用括号）得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．嘉嘉抽到的四张牌如下，请帮他写出一个计算结果为24的算式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】解： 本题中设计的数字有：8，4，2，12． 根据题目规则，可得满足条件的算式如下： （1）． （2）． （3）． （4）等． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，乘积的最大值为 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，商的最小值为 ． (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少； 答：我抽取的2张卡片是 、 ，组成一个最大的数为 ． (4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片算24的式子为 ． 【答案】(1)、；15； (2)、； (3)、4； (4) 【分析】本题考查有理数的运算．熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则即可确定； （2）根据有理数的除法法则即可确定； （3）根据有理数的乘方运算即可确定； （4）根据有理数的混合运算法则即可确定． 【详解】（1）解：∵，，， ∴抽取、两张卡片的乘积最大，最大值为15． 故答案为：、；15； （2）∵， ∴抽取、两张卡片相除的商最小，最小值为． 故答案为：、；． （3）∵，， ∴抽取、4两张卡片，组成的最大值为． 故答案为：、4；． （4）抽取、、0、3，则． 故答案为：． 【经典例题十二 含乘方的有理数混合运算】 【例12】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)（用简便方法计算） (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数混合计算法则进行计算即可； （3）根据简便运算进行计算； （4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 1．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）计算 (1) (2) (3) (4)． (5) (6) (7) (8)． 【答案】(1)8 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)9 【分析】（1）应用加法交换律和加法结合律，求出算式的值是多少即可； （2）应用加法交换律和加法结合律，求出算式的值是多少即可； （3）先运算乘除，然后加减解题即可； （4）先运算乘方，然后乘法，最后加减解题； （5）应用乘法分配律，求出每个算式的值各是多少即可． （6）先运算括号内的加减，然后运算除法解题即可； （7）先运算乘方，然后乘法，最后加减解题； （8）先运算乘方，然后乘法，最后加减解题． 此题主要考查了有理数的混合运算，明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1） ； （2） （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） 2．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值化简，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，然后再进行有理数的混合运算即可； （2）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （3）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （4）先算乘方、括号、以及绝对值化简，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ． 3．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此，，所以即，依照以上推理计算：的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用类比的数学思想解决问题是解题关键．仿照题干，令，进而得到，然后作差，整理即可得到所求式子的值． 【详解】解：令，则， ， ， 即的值为． 【经典例题十三 有理数乘方的新定义运算】 【例13】（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． (1)归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________ (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)17 (3) 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算． （1）首先根据*运算的运算法则进行运算的算式，归纳出*运算的运算法则即可；然后根据∶ ；，可得∶0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方； （2）根据（1）中总结出的*运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【详解】（1）解：归纳*运算的法则∶ 两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方． （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ∴， 解得：， 1．（23-24七年级上·福建泉州·期末）设a，b是有理数，定义新运算， 例如，． (1)计算：； (2)设，，求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的乘方．理解题意掌握新定义下的实数运算法则是解题关键． （1）根据新定义下的运算法则计算即可； （2）根据新定义下的运算法则计算出M、N，再相加整理即可． 【详解】（1）解：； （2） 解： ． 2．（23-24七年级上·湖南益阳·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】（1）解：①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②是“隔一数对”； ③； ∵，， ∴，则③不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解：根据定义， ； （3）解：根据定义， ． 3．（23-24七年级上·河北沧州·期中）【知识迁移】我们已经知道：求若干个相同的有理数（均不等于0）的乘法运算叫做乘方．类比乘方的定义，我们规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 如：，等，我们把记作，读作“2的3次商”， 记作，读作“的次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”．根据以上信息，完成下列问题． (1)直接写出结果：______，______． (2)关于除方，下列说法错误的是（      ） A．任何非零数的次商都等于 B．对于任何正整数， C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数 D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 (3)深入思考：除法运算能转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：______；______； (4)综合应用：算一算：． 【答案】(1)， (2)B (3)； (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义的理解与运用； （1）利用题中的新定义计算即可求出值； （2）根据题意确定出所求即可； （3）利用题中的新定义计算即可求出值； （4）原式变形后，计算即可求出值． 【详解】（1）， ， 故答案为：；； （2）A．任何非零数的次商都等于，说法正确，不符合题意； B．对于任何正整数，当为奇数时，；当为偶数时，，原说法错误，符合题意； C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数，说法正确，不符合题意； D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，说法正确，不符合题意． 故选：B； （3）解： 故答案为：；． （4） 1．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）若a， b互为相反数， c， d互为倒数， x的绝对值是1，则的值为（      ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】由a， b互为相反数， c， d互为倒数， x的绝对值是1，可得，则，，然后代值求解即可． 【详解】解：∵a， b互为相反数， c， d互为倒数， x的绝对值是1， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数，倒数，绝对值，有理数的乘方，代数式求值．熟练掌握相反数，倒数，绝对值，有理数的乘方，代数式求值是解题的关键． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）观察下列算式：①；②；③寻找规律，并判断的值的末位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了整式的规律探究，有理数的乘方．根据题意得到式子的规律，再根据幂的运算得到尾数的规律是解题的关键． 由题意可推导一般性规律为：，当时代入求解，然后找出2的次方末尾数字规律，进而可得结果． 【详解】解：由题意可推导一般性规律为：， 当时， ， ∴， ∵，，，，， ∴尾数是4个一循环， ∵， ∴尾数为：， 故选：C． 3．（23-24六年级下·山东威海·期末）根据图中的程序，当输入，输出的结果，将计算结果再次输入，记为第二次输入，则第2024次输出的结果为（    ） A． B． C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题是规律探索问题，找到规律是关键；求出部分输出结果，发现输出的结果以，，2循环，据此求解即可． 【详解】解：第1次输入，则输出的结果， 第2次输入，则输出的结果， 第3次输入，则输出的结果， … 输出的结果以，，2循环， ∵， ∴第2024次输出的结果为， 故选：B． 4．（23-24八年级下·广东深圳·期末）又到了荔枝成熟的季节，家住宝安的张华同学想给远在老家的亲人们寄一些荔枝，某快递公司规定每件重量不超标的普通小件包裹的收费标准如下： 首重 续重 元千克 元千克 说明：单件包裹重量不超过千克； 运费计算方式：首重运费续重续重运费， 首重为千克，超过千克即要续重，续重以千克为一个计重单位（不足千克按千克计算） 例如：寄出的包裹为千克，则总运费为元． 若张华想要寄千克的荔枝回老家，在不考虑保价及其它优惠活动的情况下，至少需要付运费（　　）元． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，根据表中给出的运费计算方式应当分千克和千克，然后计算运费即可，解题的关键是读懂题意，理解表中给出的运费计算方式． 【详解】解：张华想要寄千克的荔枝回老家，根据表中给出的运费计算方式应当分千克和千克， 则总运费为（元）， 故选：． 5．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）物理是上帝的游戏，而数学是上帝的游戏规则．不管多大或多小的数，都得靠数学来表示呢！来自2024年综合运输春运工作专班的数据显示，2月10日～17日（农历正月初一至初八），全社会跨区域人员流动量累计亿人次．客流量大已成为2024年春运的最显著特征，铁路、公路、民航等客运频频刷新纪录．用科学记数法表示亿，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将亿写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：亿． 故选B． 6．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）有一列数，其中，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了数字规律的探索，含乘方的有理数计算，根据已知分别求出的值，可以发现结果为，，，，，，每三个一循环，根据即可得出结果． 【详解】解：，，，， 这列数是，，，，，，且这列数是每三个一循环的， ，， ， 故选：A． 7．（24-25七年级上·全国·单元测试）如果，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的乘方的定义及法则．熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键．根据有理数乘方的定义，已知等式中的相当于的5次方，由此可以求出x的值为．已知等式中的8相当于2的3次方，由此可以求出y的值为2．进而可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 因此． 故答案为：4． 8．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）观察下列三行数： ，4，，16，，64，…；① ，5，，17，，65，…；② ，1，，4，，16，…③ 取每行的第8个数，计算这三个数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律探究、有理数的混合运算，仔细观察，得出每行数字的变化规律是解答的关键．根据观察，第①行第n个数为由此规律即可得出第①行第八个数，再将根据第②、③行与第①行的数字关系得出，其余两行第八个数相加即可得到答案． 【详解】观察发现：第①行第n个数为，第②行的第n个数字比第①行的大1，第③行的第n个数字是第①行的， ∴第①行第8个数是256， 第②行第8个数是， 第③行第8个数是， 这三个数的和为：． 故答案为：577. 9．（23-24九年级下·北京·阶段练习）有一条可以坐名游客的木船要载名游客从岸边到湖中的、两岛参观，参观岛需要分钟，参观岛需要分钟，岸边与岛间船航行需要分钟，岸边与岛间船航行分钟，岛与岛间航行需分钟，则名游客全部参观完两岛后返回岸边最少需要 分钟． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用统筹方法是解题的关键，其流程为把40人分为两批，每批20人，先把第一批人带到岛，然后回来带第二批人再去岛，第一批人参观完岛后去岛，又送第二批人去A岛，然后送第一批人返回，再去A岛接第二批人返回即可 【详解】解∶把40人分为两批，每批20人，先带第一批人先去岛用时10分钟，回到C处用时10分钟，再送第二批的人到B岛用时12分钟，从B岛到A岛接第一批的20人用时6分钟，在A岛等2分钟，从A岛到B岛用时6分钟把第一批人送到B岛，在B岛等11分钟，把第二批20人从B岛送到A岛用时6分钟，从A到返回B岛用时6分钟，在B岛等2分钟后将第一批20人送回C用时12分钟，然后去A岛接第二批20人用时分钟， （分钟 ∴名同学参观完两岛后返回岸边处最少需要分钟． 故答案为： 10．（23-24八年级下·四川眉山·期中）观察下列等式： ； ； ； … 已知按照一定规律排列的一组数，若 则 （结果用含的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了规律型问题：数字变化，列代数式等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．由题意可得，再将代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 11．（23-24七年级下·北京·期中）某日小王驾驶一辆小型车到某地办事，上午到达，在路边的电子收费停车区域内停车．收费标准如图： 白天 首小时内 小型车：1.5元/15分钟 大型车：3元/15分钟 首小时后 小型车：2.25元/15分钟 大型车：4.5元/15分钟 夜间（（不含）～次日（不含）） 小型车：1元/2小时 大型车：2元/2小时 不足一个计时单位按一个计时单位收取费用 （1）如果他离开，那么应缴费 元； （2）如果他离开时缴费15元，那么停车的时长t（单位：分钟）的取值范围是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了有理数加减乘除的实际应用，正确列出各运算式子是解题关键． （1）根据白天的小型车收费标准列出运算式子，进行计算即可得； （2）先根据离开时缴费15元可得出他是在之间某个时间点离开的，再根据白天收费标准列出式子即可得． 【详解】解：（1）如果他离开，那么收费标准以白天的首小时内为准，且为4个计时单位， 因此，应缴费为（元）； （2）如果他在离开，则应缴费为， 如果他在离开，则应缴费为， 因此，他是在之间某个时间点离开的， 因为， 所以在以白天的首小时后为收费标准内，他停留了4个计时单位，即（分钟）， 因为不足一个计时单位按一个计时单位收取费用， 所以，即， ∴停车的时长t（单位：分钟）的取值范围是． 12．（2024·北京西城·一模）将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数．若第1个空格填入37，则第2个空格所填入的数为 ，第37个空格所填入的数为 ． 37 【答案】 1 19 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握四则运算法则是解题关键．根据第1个数是第2个数的倍数可得第2个空格所填入的数；先得出这37个数的和也是第37个数的倍数，再求出这37个数的和，由此即可得． 【详解】解：∵第1个空格填入37，第1个数是第2个数的倍数， ∴第2个空格所填入的数为1， ∵前36个数的和是第37个数的倍数， ∴这37个数的和也是第37个数的倍数， 又∵ ， ∴第37个空格所填入的数为19， 故答案为：1，19． 13．（22-23七年级上·山东济宁·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）运用有理数四则混合运算法则和乘法分配律计算即可； （2）运用含乘方的有理数四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式． 14．（23-24七年级上·重庆铜梁·开学考试）我国个人所得税征收2019年1月1日起的实施标准：个人月收入在5000元以下不征收税；超过5000元部分按表征税． 全月纳税所得额（超出5000元部分） 税率 不超过3000元部分 超过3000元至12000元部分 超过12000元至25000元部分 … … (1)王老师四月份的月收入是6100元，他应缴纳多少元所得税？ (2)在企业担任中层领导的张叔叔四月份缴纳了290元的个人所得税，张叔叔四月份税前收入是多少元？ 【答案】(1)王老师应缴纳33元所得税 (2)张叔叔四月份税前收入是10000元 【分析】本题主要考查从统计图表中获取信息、有理数混合运算的应用等知识点，根据个税税率与超出不征税范围列出相应代数式成为解题的关键． （1）根据纳税的规定，对照表格乘相应的税率即可解答； （2）根据张叔叔四月份缴纳的个人所得税以及各段最高交税金额，判断张叔叔个税税率，根据张叔叔所交个税，计算其超出部分的工资，然后加上5000元即可． 【详解】（1）解：（元）， ， （元） 答：王老师应缴纳33元所得税． （2）解：（元）； 元）， ， 张叔叔应交的税率为， ， 张叔叔的收入为：（元）． 答：张叔叔四月份税前收入是10000元． 15．（23-24六年级下·山东烟台·期末）观察下列式子： ； ； ； ； (1)猜想： ； ； (2)根据以上发现的规律计算：，并直接写出计算结果的个位数字． 【答案】(1)，； (2)，4 【分析】本题考查了找规律，以及含乘方的有理数混合运算，解题的关键在于根据示例找出运算规律． （1）由题易得运算规律为 ，再分别表示和即可； （2）先将表示为题干规律形式，在寻找的个位数规律即可解题． 【详解】（1）解：由题可知：运算规律为 ， ， ， 故答案为：，； （2）解：根据题规律可得：， ，，，，，，，， 的个位数变化规律为2、4、8、6，4个数字为一个循环， ， 的个位数字为6， 的个位数字为4． 16．（23-24七年级上·四川成都·期末）观察下列等式： 第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ． (2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据题目所给等式，总结出变化规律是解题的关键． （1）根据题目所给的前几个等式，即可写出第五个等式； （2）根据题目所给的等式，总结出变化规律，即可解答； （3）根据题目所给的等式变化规则，分别计算和，两者相减即可得到． 【详解】（1）解：由题意得：第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …， ∴第n个等式： 故答案为：； （3）解：∵ 又∵ ∴ 17．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）（概念学习） 规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 除方 乘方幂的形式 （初步探究）（1）关于除方，下列说法错误的是 ． A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．对于任何正整数n，． C．． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． （深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （2）算一算：. 【答案】（1）C；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解除方的定义，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据除方的定义逐一判断即可； （2）根据除方的定义，结合有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解（1）A、设，则，说法正确，不符合题意； B、代表个1相除，结果仍为，说法正确，不符合题意； C、，，即，说法错误，符合题意； D、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，说法正确，不符合题意， 故答案为：C； （2） 18．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）初夏逢盛会，冰城万象新．2024年第三十三届哈尔滨国际经济贸易洽谈会，吸引了众多采购商和消费者的目光，让海内外宾朋收获颇丰，也给哈尔滨市的旅游行业带来了新的生机，某出租车驾驶员在一条东西向的道路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：）． 第一批 第二批 第三批 第四批 第五批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，那么在连续接送5批客人的过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费9元，超过的部分每千米加元收费，在连续接送5批客人的过程中，该驾驶员一共收到车费多少元？ 【答案】(1)在公司东面，距离公司6千米 (2)共耗油6升 (3)一共收到车费56.4元 【分析】本题考查正负数的意义以及有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练运用正负数的意义． （1）根据有理数加法即可求出答案． （2）根据题意列出算式即可求出答案． （3）根据题意列出算式即可求出答案． 【详解】（1）解：由行驶路程记录得： ， 答：接送完第5批客人后，该驾驶员在公司东面，距离公司6千米； （2）解：由行驶路程记录得： （升）， 答：在连续接送5批客人的过程中共耗油6升； （3）解：由行驶路程记录得： （元）， 答：在连续接送5批客人的过程中，该驾驶员一共收到车费元． 学科网（北京）股份有限公司 $$