专题05 有理数的乘除法重难点题型专训（12大题型+18道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

专题05 有理数的乘除法重难点题型专训（12大题型+18道拓展培优） 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 有理数乘法的实际应用 题型四 利用乘法运算律进行巧算 题型五 倒数、绝对值和相反数的综合运算 题型六 有理数的除法运算 题型七 有理数的除法应用 题型八 有理数乘除的混合运算 题型九 与有理数乘除有关的新定义问题 题型十 有理数乘除法中的多结论问题 题型十一 有理数乘除法中的程序计算 题型十二 利用有理数的乘除法化简含绝对值的分数 知识点1：有理数的乘法 1.有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 知识点2：倒数 1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 知识点3：有理数的除法 1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【经典例题一 两个有理数的乘法运算】 【例1】（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 2．（22-23七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）在中任取两个数相乘，最大的积是a，最小的积是b． (1)求的值； (2)若，求的值． 3．（23-24七年级上·安徽六安·期中）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． (1)求的值． (2)试比较与的大小． 4．（23-24七年级上·广东韶关·期中）对于四个数“，，1，4”，列算式解决下列问题： (1)求这四个数的和； (2)在这四个数中选出两个数，并分别满足下列要求； ①这两个数相减的结果最小； ②这两个数相乘的结果最大． 【经典例题二 多个有理数的乘法运算】 【例2】（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) 1．（23-24七年级下·湖北武汉·开学考试） 2．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）（1） （2） 4．（23-24七年级上·河北沧州·阶段练习）嘉嘉玩一个摸球游戏，在一个密闭的容器中放入五个小球小球分别标有如下数字，现从容器中摸取四个小球，然后把摸到的球上的数字进行加、减、乘中的某一种运算．    (1)若取出的四个小球上分别标有，，，，求：； (2)若这四个数字的积不为0，求这四个数的积； (3)若这四个数字的和最大，求没有取出的小球上标的数字． 【经典例题三 有理数乘法的实际应用】 【例3】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为，2021年增产，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产，若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破的年份是（    ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 1．（23-24七年级下·湖北武汉·开学考试）小明步行每分钟行60米，小华骑自行车每分钟行160米，二人同时同地相背而行5分钟后，小华立即调头来追甲，再经过（    ）分钟小华可追上小明． A． B． C．10 D．11 2．（2024七年级·全国·竞赛）如图所示为中国行政区划地图中某五个行政区域的示意图，现对图中、、、、这五个部分用四种不同的颜色染色，相邻的部分不能用相同的颜色，不相邻的部分可以用相同的颜色，则不同的染色方法共有 种．    3．（23-24七年级上·河北承德·期中）某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行计件工资制，每辆车元，超额完成任务每辆奖元，少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【经典例题四 利用乘法运算律进行巧算】 【例4】（23-24七年级上·山东淄博·开学考试）请用适当的方法计算： (1) (2) (3) (4) (5) 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1) (2) (3) 2．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）用递等式计算，怎样算简便就怎样算．（请将计算过程书写在答题卡指定位置） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 3．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 4．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）用简便方法计算： (1)． (2)． 【经典例题五 倒数、绝对值和相反数的综合运算】 【例5】（23-24七年级上·广东珠海·期中）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为3，求的值 A．0 B． C．0或 D．0或 1．（23-24七年级上·四川广安·期末）若a的绝对值为7，b的倒数为，则的值为（    ） A．5 B．9 C．或9 D．5或 2．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）已知一种运算满足，；．例如：． （1） ． （2）如图，数轴上从左至右排列着三个数b，c，a，其中c为最大的负整数，a的绝对值为3，且在原点右侧，b到c的距离为2，则 （填“>”“<”或“=”），计算 ． 3．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，是数轴上原点表示的数． (1)分别直接写出，，，的值； (2)的值是多少？ 【经典例题六 有理数的除法运算】 【例6】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 2．（23-24七年级上·云南昆明·开学考试）计算下面各题，怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【经典例题七 有理数的除法应用】 【例7】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）甲乙丙三位同学合乘一辆滴滴车去顺路的三个地点，事先约定三人根据路程分摊车费，甲在全程的四分之一处下车，甲下车时，乙离下车点还有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元车费，则三人一共支付多少车费？（    ） A．36元 B．48元 C．63元 D．81元 1．（2024七年级·全国·竞赛）在2018的左边添加一个数字，右边添加一个数字，组成一个六位数，且能被45整除，则的最大值是（    ） A．10 B．35 C．56 D．81 2．（23-24七年级上·贵州遵义·期中）有两个正数、，满足，规定把大于或等于且小于或等于的所有数记作，，例如大于或等于0且小于或等于5的所有数记作，如果在中，在中，那么的一切值所在范围是 ． 3．（23-24七年级上·山东滨州·期末）有筐白菜，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？每筐白菜的平均质量是多少千克？ (3)若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？（结果精确到十分位） 【经典例题八 有理数乘除的混合运算】 【例8】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 1．（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（23-24六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 3．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) (5) 4．（23-24七年级上·山西大同·期中）阅读下面材料． 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：． 例2：． 参照上面的例题．利用运算律进行简便计算： (1)； (2)． 【经典例题九 与有理数乘除有关的新定义问题】 【例9】（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）若定义一种新的运算，例如：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·浙江金华·二模）对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． (1)求的值． (2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）定义运算，如． (1)求的值； (2)求的值． 3．（22-23七年级上·湖南益阳·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 4．（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ； ； ； ； ； ； ． (1)计算： ① ② (2)归纳*运算的法则（文字语言或符号语言均可）：两数进行*运算时，_____________；特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，___________． (3)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【经典例题十 有理数乘除法中的多结论问题】 【例10】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若有理数a、b在数轴上表示的点的位置如图所示．下列结论： ①；    ②；    ③； ④；    ⑤；    ⑥． 其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）关于有理数，下列说法不正确的是（    ） A．若，那么必有 B．一个有理数和它的相反数的乘积必为负数 C．任何一个有理数同0相加的和等于这个数同1相乘的积 D．如果两个有理数的积是负数，和是正数，那么它们符号相反，且正数的绝对值大 2．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）关于有理数，下列说法不正确的是（    ） A．一个负数和它的相反数的差的绝对值等于 B．一个有理数和它的相反数的乘积必为负数 C．任何一个有理数同0相加的和等于这个数同1相乘的积 D．如果两个有理数的积是负数，和是正数，那么它们符号相反，且正数的绝对值大 3．（23-24七年级上·广东广州·期末）在数轴上表示有理数，，的点如图所示，若，，则下面四个结论：①；②；③；④，其中一定成立的结论个数为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24七年级上·新疆克孜勒苏·期末）如图是小思的试卷，她的得分是（    ） 填空题．（每小题20分，共100分）  姓名:小思  得分_____ 1．可以表示一个数的相反数，这个数是； 2．绝对值是2019的数是2019； 3．在，，0，1中最小的数与最大的数的差是； 4．比较大小： ； 5．若的倒数与互为相反数，则m的值是． A．20分 B．40分 C．60分 D．80分 【经典例题十一 有理数乘除法中的程序计算】 【例11】（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）如图所示的程序框图，如图所示的运算程序中，若开始输入的值为100，我们发现第1次输出的结果为50，第2次输出的结果为25，…，第2023次输出的结果为（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 1．（23-24七年级上·山东济南·期中）如图所示运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…第2017次输出的结果为（　　） A．3 B．6 C．4 D．2 2．（23-24七年级上·山东济南·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是﹣4，…，则第2021次输出的结果是 ． 3．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）哥哥在电脑中设置了一个有理数运算程序：输入数及运算符号，再输入，得运算式：． (1)求的值； (2)弟弟在运行该程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推测弟弟输入的数据可能是什么情况？ 【经典例题十二 利用有理数的乘除法化简含绝对值的分数】 【例12】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）下列说法正确的有（    ） ①对于任意有理数，代数式有最大值1； ②10条直线两两相交，最多有90个交点： ③已知a、b、c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ④规定，如果，，，那么． A．①② B．①②③ C．③④ D．①③④ 1．（23-24七年级上·重庆渝中·期末）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（    ） A． B． C．6 D．24 2．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知，，则的值是 ． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 1．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图是一个正方体纸盒的表面展开图，在其中的三个正方形a，b，c内分别填入适当的数，使得折成正方体后相对面上的两数满足下列条件：①a面上的数与它对面的数互为倒数；②b面上的数等于它对面的数的绝对值；③c面上的数与它对面的数互为相反数．下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）若5个有理数的积是负数，则5个因数中正因数的个数可能是（　　） A．1个 B．3个 C．1或3或5个 D．以上答案都不对 3．（22-23七年级上·福建泉州·期中）已知有理数x、y满足，，，则有（　　） A． ，，x绝对值较大 B． ，，y绝对值较大 C． ，，x绝对值较大 D． ，，y绝对值较大 4．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．对下列三个人的说法判断正确的是（　　） 小嘉说：247是13的“和倍数”    小淇说：441是9的“和倍数” 小华说：214、357均不是“和倍数” A．三人说法都对 B．只有一人说法不对 C．小华说的不对 D．只有一人说法对 5．（23-24八年级上·广东中山·期中）已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法①；②；③④．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24七年级上·福建福州·期中）若规定“!”是一种数学运算符号，且，，，，…，则的值为（    ） A．9900 B．99! C． D．2 7．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）在，，0，2，6中取出三个数，把三个数相乘，所得到的最小乘积是 ． 8．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列结论：①若为有理数，则；②若，则，③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 ． 9．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）对于一个自然数n，如果能找到正整数x、y，使得，则称n为“好数”，例如：，则3是一个“好数”，在8，9，10，11，12这五个数中，是“好数”的 ． 10．（23-24七年级上·重庆渝中·阶段练习）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1，2，5，10，其中1，2，5是10的真因数，把一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”，如10的完美指标是，一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如21的“完美指标”是 ，那么比20大，比30小的自然数中，最“完美”的数是 ． 11．（22-23七年级上·福建泉州·阶段练习）下列说法： ①若互为相反数，则； ②如果，则； ③若表示一个有理数，则的最小值为7； ④若，则的值为-2或0． 其中一定正确的结论是 ．（只填序号）． 12．（22-23七年级上·四川成都·期中）已知：，，，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算 ． 13．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）巧算： (1) (2) 14．（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）计算： (1)； (2)． 15．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)（请用简便方法计算）； (4)（请用简便方法计算）． 16．（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）阅读下列材料：， 即当时，；当时，． 根据以上结论解决下面问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求的值； (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值； (3)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 17．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择一种合适的解法解答下列问题：计算：． 18．（23-24七年级上·福建宁德·期末）【问题情境】在数学活动课上，同学们玩“计算竟大”游戏：每场游戏开始时、乙两人手上各执四张数字牌和四张运算符号牌，四张数字牌上分别标有一个数字，四张运算符号牌分别标有“+”“-”“×”“÷”四个运算符号，双方都能看到对方牌面的信息．游戏开始，两人依次轮流出牌，每次只有一人出牌． 游戏规则： ①第一次，由先出牌者出一张数字牌，直接做为第一次结果． ②从第二次开始，每次由出牌者出一张符号牌和一张数字牌，与上一次结果进行相应运算，运算结果记为本次结果．若本次结果的绝对值比上一次结果的绝对值大，则游戏继续；否则游戏结束，本次出牌者失利，对方获得本场游戏胜利； ③若游戏继续，则按上述规则玩到两人手上都没有数字牌为止．若最后一次结果们绝对值大于上一次结果的绝对值，则最后一次出牌者获得本场游戏胜利，否则对方获胜． （相应的运算示例：若上一次的结果为，本次出牌的符号为“÷”，数字为“2”，则相应的运算为） 【问题解决】在某一场游戏前，甲、乙两人拿到的数字牌和符号牌如下：    (1)若第一次甲出“2”，第二次乙出“-”和“3”，直接写出第二次的结果，并判断游戏是否继续； (2)若第一次甲出“”，第二次乙出“-”和“1”，第三次甲出“÷和“”，第四次乙出“×”和“3”，第五次甲出“×”和“2”，请列出综合算式求第五次的结果； (3)在（2）的基础上，第六次乙应如何出牌才能保证最后结果总是自己胜出？请写出保证乙能最终获胜的第六次出牌方案，并说明该方案乙必胜的理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 有理数的乘除法重难点题型专训（12大题型+18道拓展培优） 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 有理数乘法的实际应用 题型四 利用乘法运算律进行巧算 题型五 倒数、绝对值和相反数的综合运算 题型六 有理数的除法运算 题型七 有理数的除法应用 题型八 有理数乘除的混合运算 题型九 与有理数乘除有关的新定义问题 题型十 有理数乘除法中的多结论问题 题型十一 有理数乘除法中的程序计算 题型十二 利用有理数的乘除法化简含绝对值的分数 知识点1：有理数的乘法 1.有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 知识点2：倒数 1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 知识点3：有理数的除法 1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【经典例题一 两个有理数的乘法运算】 【例1】（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． （1）根据有理数乘法法则直接计算即可； （2）根据有理数乘法法则直接计算即可； （3）根据有理数乘法法则直接计算即可． 【详解】（1）解：； （2） ； （3） ． 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2)12 (3)0 (4) (5) 【分析】本题考查有理数的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用有理数的乘法法则计算各题即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 2．（22-23七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）在中任取两个数相乘，最大的积是a，最小的积是b． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，绝对值的非负性，求代数式的值， （1）先根据有理数的乘法运算得出的值，再代入求解即可； （2）先根据绝对值的非负性求出的值，再代入求解即可； 熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【详解】（1）由题意得， ∴； （2）由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（23-24七年级上·安徽六安·期中）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． (1)求的值． (2)试比较与的大小． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘法运算，有理数的大小比较； （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据新定义分别计算，然后比较大小即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）由题意可得， ． 4．（23-24七年级上·广东韶关·期中）对于四个数“，，1，4”，列算式解决下列问题： (1)求这四个数的和； (2)在这四个数中选出两个数，并分别满足下列要求； ①这两个数相减的结果最小； ②这两个数相乘的结果最大． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查了有理数的加减法、乘法运算，有理数大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）用加号连接四个数字，计算即可得到其和； （2）①根据最小有理数减去最大有理数，结果最小，求解即可；②利用有理数的乘法法则计算并比较大小即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：①根据最小有理数减去最大有理数，结果最小得： ，此时结果最小． ∴选，4； ②∵， ， ， ， ， ， 又∵ ∴选，两个数相乘的结果最大． 【经典例题二 多个有理数的乘法运算】 【例2】（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算： （1）（2）根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1．（23-24七年级下·湖北武汉·开学考试） 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法，计算括号内的加法后，利用乘法交换律和结合律进行计算即可. 【详解】解： 2．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)7 (2)24 (3) 【分析】（1）根据有理数的乘法法则和交换律进行计算即可； （2）利用有理数的乘法分配律进行计算即可； （3）利用有理数的乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法法则和运算律是解题的关键． 3．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）（1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用乘法交换律和有理数的乘法计算即可； （2）先算括号内的乘法，再利用乘法分配律和有理数的加减法计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【点睛】本题考查有理数的计算，涉及到乘法运算律，有理数的乘法，有理数的加减法，熟记运算法则是关键． 4．（23-24七年级上·河北沧州·阶段练习）嘉嘉玩一个摸球游戏，在一个密闭的容器中放入五个小球小球分别标有如下数字，现从容器中摸取四个小球，然后把摸到的球上的数字进行加、减、乘中的某一种运算．    (1)若取出的四个小球上分别标有，，，，求：； (2)若这四个数字的积不为0，求这四个数的积； (3)若这四个数字的和最大，求没有取出的小球上标的数字． 【答案】(1)13 (2)288 (3) 【分析】（1）根据有理数加减运算法则计算即可； （2）由这四个数字的积不为0，则不含有0这个球，然后求积即可； （3）因为和最大，则没有摸到数最小的球，确定最小的数即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵这四个数字的积不为0， ∴这四个数为：， ∴这四个数的积为． （3）解：∵这四个数字的和最大， ∴没有摸到数最小的球， ∴没有取出的小球上标的数字是． 【点睛】本题主要考查了有理数加减运算、有理数乘法运算、有理数加法运算、有理数大小比较等知识点，掌握有理数的运算法则是解答本题的关键． 【经典例题三 有理数乘法的实际应用】 【例3】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为，2021年增产，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产，若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破的年份是（    ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，理解题意成为解题的关键． 根据增长率求出依次求出2021年、2022年、2023年基地黄桃产量，然后对比即可解答． 【详解】解：2021年基地黄桃产量为， 2022年基地黄桃产量为， 2023年基地黄桃产量为， 因此突破的年份是2023年． 故选B． 1．（23-24七年级下·湖北武汉·开学考试）小明步行每分钟行60米，小华骑自行车每分钟行160米，二人同时同地相背而行5分钟后，小华立即调头来追甲，再经过（    ）分钟小华可追上小明． A． B． C．10 D．11 【答案】D 【分析】先求出5分钟后，两人相距多少米，用相距路程(甲的速度乙的速度)来计算；再用追及时间相距路程(乙的速度甲的速度)来求乙追上甲经过的时间． 【详解】解：（米）； （分钟）． 故选D． 【点睛】本题考查行程问题．解题的关键是熟练掌握计算方法． 2．（2024七年级·全国·竞赛）如图所示为中国行政区划地图中某五个行政区域的示意图，现对图中、、、、这五个部分用四种不同的颜色染色，相邻的部分不能用相同的颜色，不相邻的部分可以用相同的颜色，则不同的染色方法共有 种．    【答案】96 【分析】本题考查了排列组合，根据题意“相邻的部分不能用相同的颜色，不相邻的部分可以用相同的颜色”，得出各个部分的情况总数，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： ∵一共有4种颜色， ∴A有4种情况， ∵A、B不同色， ∴B有3种情况， ∵C与A、B不同色， ∴C有2种情况， ∵D与B、C不同色， ∴D有2种情况， ∵E与C、D不同色， ∴E有2种情况， ， 即不同的染色方法共有96种， 故答案为：96． 3．（23-24七年级上·河北承德·期中）某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行计件工资制，每辆车元，超额完成任务每辆奖元，少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)599 (2)26 (3)该厂工人这一周的工资是元 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理解正负数的意义，掌握有理数的运算法则是关键． （1）三天的计划总数加上三天多生产的辆数的和即可； （2）求出超产的最多数与减产的最少数的差即可； （3）求得这一周生产的总辆数，然后按照工资标准求解． 【详解】（1）解：前三天生产的辆数是辆． 答案是：； （2）解：辆， 故答案是， 故答案为：； （3）解：这一周多生产的总辆数是辆． 元． 答：该厂工人这一周的工资是元． 【经典例题四 利用乘法运算律进行巧算】 【例4】（23-24七年级上·山东淄博·开学考试）请用适当的方法计算： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3)19 (4) (5)30 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数乘法运算律、有理数加法运算律等知识点，灵活运用相关运算律成为解题的关键． （1）运用加法交换律进行简便运算即可； （2）运用小数混合运算的顺序进行计算即可； （3）运用乘法分配律进行计算即可； （4）运用乘法分配律进行计算即可； （5）运用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)； (3)； 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律： （1）（2）（3）根据有理数的乘法分配律的逆运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）用递等式计算，怎样算简便就怎样算．（请将计算过程书写在答题卡指定位置） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）逆用乘法的分配律直接进行简便运算即可； （2）先计算乘法运算，再计算加减运算即可； （3）先计算括号内的运算，再计算除法运算即可； （4）先计算括号内的运算，再计算除法运算即可； （5）先计算括号内的运算，再计算乘法运算即可； （6）先计算括号内的运算，再计算除法运算即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； 【点睛】本题考查的是有理数的四则混合运算，熟记四则混合运算的运算顺序是解本题的关键． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．应用运算律简便运算是解题关键． 4．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）用简便方法计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定符号，再利用乘法的分配律进行简便运算即可； （2）把原式化为，再利用分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； 【点睛】本题考查的是有理数的乘法分配律的应用，熟练的利用乘法分配律进行简便运算是解本题的关键． 【经典例题五 倒数、绝对值和相反数的综合运算】 【例5】（23-24七年级上·广东珠海·期中）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为3，求的值 A．0 B． C．0或 D．0或 【答案】D 【分析】根据相反数，倒数，绝对值的定义，得出，则，即可求解． 【详解】解：∵a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为3， ∴，则， 当时，， 当时，， 综上：的值为0或， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相反数，倒数，绝对值，解题的关键是掌握相反数相加得0，乘积为1的两个数互为倒数，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 1．（23-24七年级上·四川广安·期末）若a的绝对值为7，b的倒数为，则的值为（    ） A．5 B．9 C．或9 D．5或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，倒数的意义，有理数的加法等知识．先根据题意得到，，再分和两种情况即可求出的值． 【详解】解：因为a的绝对值为7， 所以， 因为b的倒数为， 所以， 当是，； 当是，． 故选：D． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）已知一种运算满足，；．例如：． （1） ． （2）如图，数轴上从左至右排列着三个数b，c，a，其中c为最大的负整数，a的绝对值为3，且在原点右侧，b到c的距离为2，则 （填“>”“<”或“=”），计算 ． 【答案】 【分析】（1）根据求出的值即可； （2）先根据题意求出，再根据和分别求出和的值，得到和的大小关系，再求出，进一步求出的值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为： （2）∵c为最大的负整数，a的绝对值为3，且在原点右侧，b到c的距离为2， ∴， ∵；， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：， 【点睛】本题考查了有理数的运算和比较有理数大小，正确理解新运算法则、掌握有理数运算的顺序和法则是解题的关键． 3．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，是数轴上原点表示的数． (1)分别直接写出，，，的值； (2)的值是多少？ 【答案】(1)，，，； (2)或 【分析】（1）本题考查了相反数、倒数、绝对值、数轴，，互为相反数，得到，根据，互为倒数，得到，根据的绝对值等于，所以，是数轴上原点表示的数，所以； （2）本题考查了相反数、倒数、绝对值、数轴，将、、、代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，互为相反数， ， ，互为倒数， ， 的绝对值等于， ， 是数轴上原点表示的数， ； （2）解：①当时， ∴， ②当时， ∴， 的值为或． 【经典例题六 有理数的除法运算】 【例6】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （3）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （4）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了有理数乘法及有理数除法，熟练掌握有理数乘法及有理数除法法则进行求解是解决本题的关键．应用有理数除法法则：有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即： （）， （1）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （2）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （3）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．（23-24七年级上·云南昆明·开学考试）计算下面各题，怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算， （1）先计算小括号内的，再进行加法和除法计算即可； （2）先计算小括号内的，再计算中括号内的，最后计算除法； （3）逆向运用乘法分配律计算即可； （4）把写出，再根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘除法，关键是熟记有理数乘除法法则和混合运算顺序． （1）根据有理数的乘除法运算法则进行计算便可； （2）根据有理数的乘除法运算法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 【经典例题七 有理数的除法应用】 【例7】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）甲乙丙三位同学合乘一辆滴滴车去顺路的三个地点，事先约定三人根据路程分摊车费，甲在全程的四分之一处下车，甲下车时，乙离下车点还有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元车费，则三人一共支付多少车费？（    ） A．36元 B．48元 C．63元 D．81元 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法的实际应用，根据题意得到甲乙丙的路程比，即可求得总车费． 【详解】解：由题意得甲乙丙三人的路程比为， 三人一共支付车费（元）， 故选：C． 1．（2024七年级·全国·竞赛）在2018的左边添加一个数字，右边添加一个数字，组成一个六位数，且能被45整除，则的最大值是（    ） A．10 B．35 C．56 D．81 【答案】A 【分析】本题考查有理数的除法运算，根据整除的概念，得出或，根据的不同取值，讨论的值，即可解题． 【详解】解：∵能被45整除， ∴或， 当时，； 当时，能被9整除，则，故的最大值为． 故选：A． 2．（23-24七年级上·贵州遵义·期中）有两个正数、，满足，规定把大于或等于且小于或等于的所有数记作，，例如大于或等于0且小于或等于5的所有数记作，如果在中，在中，那么的一切值所在范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数混合运算．根据题意，找出使取最大（小值时，的值，再计算即可． 【详解】解：在中，在中， 当，时，的最大值为； 当，时，的最小值为， ； 故答案为：． 3．（23-24七年级上·山东滨州·期末）有筐白菜，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？每筐白菜的平均质量是多少千克？ (3)若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？（结果精确到十分位） 【答案】(1)千克； (2)千克，千克； (3)元． 【分析】（）用差值最大的数减去最小的数即可求解； （）用差值乘以框数，求出它们的和，进行判断即可，进而可求出每筐白菜的平均质量； （）用总质量乘以每千克的售价，进行求解即可． 本题考查了正负数的意义，有理数混合运算的实际应用，读懂题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由表可得，最重的一筐比最轻的一筐重千克； （2）解：， ∴与标准重量比较，筐白菜总计超过千克， ∴每筐白菜的平均质量千克； （3）解：元， 答：出售这筐白菜可卖元． 【经典例题八 有理数乘除的混合运算】 【例8】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘除法，熟记有理数乘除法则是解题的关键． 根据有理数的乘除法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 1．（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的运算等知识，根据有理数的运算法则进行运算即可求解． （1）根据两个有理数相乘的法则进行乘法计算即可求解； （2）先把除法运算化为乘法运算，再进行多个有理数乘法运算即可求解； （3）先进行乘除运算，再进行加减运算即可求解； （4）利用分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（23-24六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查分数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）除法转化为乘法，再约分即可； （2）利用乘法分配律展开，再计算即可； （3）乘法分配律的逆运用提取公因数，再进一步计算即可； （4）先计算括号内减法，再进一步计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 3．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，掌握运算律以及运算顺序是解本题的关键； （1）先化为省略加号的和的形式，再计算即可； （2）先化为省略加号的和的形式，再结合运算律进行简便计算即可； （3）直接利用乘法的分配律进行简便运算即可； （4）先把除法化为乘法，再计算即可； （5）逆用乘法的分配律，进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； 4．（23-24七年级上·山西大同·期中）阅读下面材料． 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：． 例2：． 参照上面的例题．利用运算律进行简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）先变形为，再根据乘法分配律计算； （2）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 【经典例题九 与有理数乘除有关的新定义问题】 【例9】（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）若定义一种新的运算，例如：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义运算先计算，进而计算，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，根据新定义列出算式是解题的关键． 1．（2024·浙江金华·二模）对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． (1)求的值． (2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 【答案】(1) (2)成立，见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据交换律结合新定义进行计算即可求解． 【详解】（1） （2）交换律在“”运算中成立 证明如下： 即交换律在“”运算中成立． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）定义运算，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据，可以求得所求式子的值； （2）根据，可以求得所求式子的值． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2） ． 3．（22-23七年级上·湖南益阳·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】（1）解：①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②是“隔一数对”； ③； ∵，， ∴，则③不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解：根据定义， ； （3）解：根据定义， ． 4．（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ； ； ； ； ； ； ． (1)计算： ① ② (2)归纳*运算的法则（文字语言或符号语言均可）：两数进行*运算时，_____________；特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，___________． (3)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方； (3)1或5 【分析】（1）根据示例，参照求解； （2）根据示例，参照有理数乘法法则归纳； （3）由题知，与异号，，得或，求得参数值，代入代数式求值． 【详解】（1） 解：①； ②； （2）解：两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方； （3）解：∵， ∴与异号， ． ∵m，n是整数， ∴或． ∴或． ∴或． 【点睛】本题考查有理数的运算，新定义运算；理解新定义是解题的关键． 【经典例题十 有理数乘除法中的多结论问题】 【例10】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若有理数a、b在数轴上表示的点的位置如图所示．下列结论： ①；    ②；    ③； ④；    ⑤；    ⑥． 其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，以及比较有理数的大小，根据数轴可以确定a、b的正负和它们的绝对值的大小，从而判断题目中各式子是否正确． 【详解】解：由图可知：，，， ，则①正确； ，则②错误； ，则③正确； ，则④正确； ，则⑤错误； ，则⑥正确； 综上所述，正确的结论有①③④⑥，共个， 故选：C． 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）关于有理数，下列说法不正确的是（    ） A．若，那么必有 B．一个有理数和它的相反数的乘积必为负数 C．任何一个有理数同0相加的和等于这个数同1相乘的积 D．如果两个有理数的积是负数，和是正数，那么它们符号相反，且正数的绝对值大 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加减乘除的运算方法，绝对值的含义和求法，以及互为相反数的两个数的性质和应用，根据有理数加减乘除的运算方法，绝对值的含义和求法，以及互为相反数的两个数的性质和应用，逐项判断即可；理解有理数加减乘除的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A．若，必有，结论正确，故不符合题意； B．一个有理数和它的相反数的乘积为负数或零，结论错误，故符合题意； C． ，，，结论正确，故不符合题意； D．如果两个有理数的积是负数，和是正数，那么它们符号相反，且正数的绝值大，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）关于有理数，下列说法不正确的是（    ） A．一个负数和它的相反数的差的绝对值等于 B．一个有理数和它的相反数的乘积必为负数 C．任何一个有理数同0相加的和等于这个数同1相乘的积 D．如果两个有理数的积是负数，和是正数，那么它们符号相反，且正数的绝对值大 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数加减乘除的运算方法，绝对值的含义和求法，以及互为相反数的两个数的性质和应用，根据有理数加减乘除的运算方法，绝对值的含义和求法，以及互为相反数的两个数的性质和应用，逐项判断即可． 【详解】∵一个负数和它的相反数的差的绝对值等于， ∴选项A不符合题意； ∵一个有理数和它的相反数的乘积为负数或零， ∴选项B符合题意； ∵任何一个有理数同0相加的和以及这个数同1相乘的积都等于这个数， ∴任何一个有理数同0相加的和等于这个数同1相乘的积， ∴选项C不符合题意； ∵如果两个有理数的积是负数，和是正数，那么它们符号相反，且正数的绝值大， ∴选项D不符合题意． 故选：B． 3．（23-24七年级上·广东广州·期末）在数轴上表示有理数，，的点如图所示，若，，则下面四个结论：①；②；③；④，其中一定成立的结论个数为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要了数轴，绝对值，有理数的加法和乘法法则，解题的关键是掌握和的符号与加数的关系．根据已知得出，，b的符号无法确定，再逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ①b的符号无法确定，故不一定成立，故①不符合题意； ②∵b的符号无法确定，故不一定成立，故②不符合题意； ③∵，∴，故③一定成立，符合题意； ④∵， ∴原点在点A和点C之间， ∵表示点A与点C之间的距离，表示点A到原点距离， ∴，故④不成立，不符合题意； 综上：一定成立的结论有③，共1个， 故选：A． 4．（23-24七年级上·新疆克孜勒苏·期末）如图是小思的试卷，她的得分是（    ） 填空题．（每小题20分，共100分）  姓名:小思  得分_____ 1．可以表示一个数的相反数，这个数是； 2．绝对值是2019的数是2019； 3．在，，0，1中最小的数与最大的数的差是； 4．比较大小： ； 5．若的倒数与互为相反数，则m的值是． A．20分 B．40分 C．60分 D．80分 【答案】A 【分析】本题主要考查相反数，倒数，绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．根据知识点逐一进行分析即可． 【详解】解：，可以表示一个数的相反数，这个数是，故第一个正确； 绝对值是2019的数是，故第二个错误； 在，，0，1中最小的数与最大的数分别是，它们的差为，故第三个错误； ，故第四个错误； 的倒数是，与互为相反数，故，故，故第五个错误； 小思只有分． 故选A． 【经典例题十一 有理数乘除法中的程序计算】 【例11】（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）如图所示的程序框图，如图所示的运算程序中，若开始输入的值为100，我们发现第1次输出的结果为50，第2次输出的结果为25，…，第2023次输出的结果为（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据设计的程序进行计算，找到循环的规律，根据规律推导计算． 【详解】由设计的程序，可知： 依次输出的结果是50,25,32,16,8,4,2,1,8,4,2,1,…，发现从8开始循环． 则，故第2023次输出的结果是2. 故答案为：B. 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，掌握循环的规律，根据循环的规律进行推广是关键． 1．（23-24七年级上·山东济南·期中）如图所示运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…第2017次输出的结果为（　　） A．3 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据题意可以写出前几次输出的结果，从而可以发现输出结果的变化规律，进而得到第2019次输出的结果． 【详解】解：根据题意得：可发现第1次输出的结果是24； 第2次输出的结果是24×=12； 第3次输出的结果是12×=6； 第4次输出的结果为6×=3； 第5次输出的结果为3+5=8； 第6次输出的结果为8=4； 第7次输出的结果为4=2； 第8次输出的结果为2=1； 第9次输出的结果为1+5=6； 归纳总结得到输出的结果从第3次开始以6，3，8，4，2，1循环， ∵（2017-2）6=335.....5， 则第2017次输出的结果为2. 故选：D. 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中输出结果的变化规律． 2．（23-24七年级上·山东济南·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是﹣4，…，则第2021次输出的结果是 ． 【答案】-6 【分析】先根据数据运算程序计算出第1-8次的输出结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1次运算输出的结果为 ×2=1， 第2次运算输出的结果为1−5=−4， 第3次运算输出的结果为 ×(−4)=－2， 第4次运算输出的结果为 ×(−2)=－1， 第5次运算输出的结果为−1−5=－6， 第6次运算输出的结果为×(−6)=－3， 第7次运算输出的结果为−3−5=－8， 第8次运算输出的结果为 ×(−8)=－4， 归纳类推得：从第2次运算开始，输出结果是以−4，−2，−1，−6，−3，−8循环往复的， 因为2021−1=336×6+4， 所以第2021次运算输出的结果与第5次输出的结果相同，即为−6． 故答案为：-6． 【点睛】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 3．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）哥哥在电脑中设置了一个有理数运算程序：输入数及运算符号，再输入，得运算式：． (1)求的值； (2)弟弟在运行该程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推测弟弟输入的数据可能是什么情况？ 【答案】(1) (2)输入的两个数互为相反数，使运算式分母为零，失去意义，故屏幕显示无法运行 【分析】（1）根据新定义，进行计算即可求解； （2）根据除数不能为0，即可求解． 【详解】（1）解： . （2）输入的两个数互为相反数，使运算式分母为零，失去意义，故屏幕显示“该操作无法运行” 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义运算是解题的关键． 【经典例题十二 利用有理数的乘除法化简含绝对值的分数】 【例12】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）下列说法正确的有（    ） ①对于任意有理数，代数式有最大值1； ②10条直线两两相交，最多有90个交点： ③已知a、b、c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ④规定，如果，，，那么． A．①② B．①②③ C．③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的应用，直线相交交点个数的探究，化简绝对值，新定义运算的含义，由绝对值的非负性的含义可判断①，由直线相交交点个数的规律探究可判断②，由绝对值的含义，结合有理数的除法运算的符号确定可判断③，先根据探究得到，再根据新定义运算的含义可判断④，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴对于任意有理数，代数式有最大值1；故①符合题意； ∵2条直线相交，最多1个交点， 3条直线两两相交，最多3个交点，而， 4条直线两两相交，最多6个交点，而， ∴10条直线两两相交，最多有个交点，故②不符合题意； 由可得，中有一个或三个值为负数， 当，时，， 当时，，故③符合题意； ∵，，， ∴异号，且，， ∴， ∴，故④符合题意； 故选D 1．（23-24七年级上·重庆渝中·期末）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（    ） A． B． C．6 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，绝对值的性质，熟记运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴a、b、c有1个负数或3个负数． ∵， ∴a、b、c只有1个负数， ∴，，， 当时，，时， ， 当时，，时， ， 当时，，时， ， ∴x的最大值为6，最小值为， ∴， 即x的最大值与最小值的乘积为． 故选：A． 2．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的除法法则，由变形可得：，，，从而原式可化为：；再由和可知：在中必为两正一负或两负一正，分情况讨论就可求得原式的值． 【详解】∵， ∴，，， ∴原式， ∵和， ∴在中必为两正一负或两负一正， ∴当为两正一负时，原式， 当为两负一正时，原式， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 【答案】（1）或2（2）或1；（3）或或3 【分析】（1）分和，两种情况进行讨论求解即可； （2）分 中有一个负数和三个均为负数，两种情况进行讨论求解； （3）分，和，两种情况，进行讨论求解． 【详解】解：（1）∵， ∴同号， 当时：； 当时：； 故答案为：或2； （2）∵， ∴有两种情况：有一个负数和两个正数或三个均为负数， 当时，则：； 当有两个正数和一个负数时，假设：，则：； 故答案为：或1； （3）∵， ∴中有两正一负， ①当时：则：均为正， ∴， ∴； ②当时，则：一正一负， 若，则：，此时：； 如，则：，此时：； 综上，原式或或3． 故答案为：或或3 【点睛】本题考查化简绝对值，有理数乘法的符号法则．熟练掌握绝对值的性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 1．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图是一个正方体纸盒的表面展开图，在其中的三个正方形a，b，c内分别填入适当的数，使得折成正方体后相对面上的两数满足下列条件：①a面上的数与它对面的数互为倒数；②b面上的数等于它对面的数的绝对值；③c面上的数与它对面的数互为相反数．下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字和实数运算，倒数，绝对值，相反数的定义，根据正方体展开图的特征可以求出“a”的对面是，“b”的对面是，“c”的对面是2，进而求出a，b，c的值． 【详解】解：由图形可知“a”的对面是，“b”的对面是，“c”的对面是2， ∵a面上的数与它对面的数互为倒数， ，故选项A错误； ∵b面上的数等于它对面上的数的绝对值， ； ∵c面上的数与它对面的数互为相反数， ， 故选：C． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）若5个有理数的积是负数，则5个因数中正因数的个数可能是（　　） A．1个 B．3个 C．1或3或5个 D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法法则．根据几个不为零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数的个数为偶数时积为正，负因数的个数为奇数时积为负，即可得解． 【详解】解： 5个有理数的积是负数，则5个因数中负因数的个数为1个，3个或5个， 正因数的个数可能为4个或2个或0个． 故选：D． 3．（22-23七年级上·福建泉州·期中）已知有理数x、y满足，，，则有（　　） A． ，，x绝对值较大 B． ，，y绝对值较大 C． ，，x绝对值较大 D． ，，y绝对值较大 【答案】A 【分析】根据有理数的加法运算法则和两数相乘异号得负进行判断即可．本题考查了绝对值，有理数的乘法，有理数的加法，熟记运算法则：①“两数相乘，同号得正，异号得负”，②“绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号”是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴x、y异号， ∵， ∴负数的绝对值大， ∵， ∴，，则绝对值较大． 故选：A． 4．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．对下列三个人的说法判断正确的是（　　） 小嘉说：247是13的“和倍数”    小淇说：441是9的“和倍数” 小华说：214、357均不是“和倍数” A．三人说法都对 B．只有一人说法不对 C．小华说的不对 D．只有一人说法对 【答案】A 【分析】本题考查了新定义问题，根据新定义问题进行计算是解题关键．根据“和倍数”的定义依次判断即可 【详解】解∶∵ ， ∴247是13的“和倍数”，故小嘉的说法正确； ∵ ， ∴441是9的“和倍数”，故小淇的说法正确； ∵ ， ∴214不是“和倍数”， ∵ ， ∴357不是“和倍数”，故小华的说法正确； 故选：A． 5．（23-24八年级上·广东中山·期中）已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法①；②；③④．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据数轴上的位置关系．判断出a，b，c的大小关系以及各自绝对值的大小关系，在进行判断即可． 【详解】解：由数轴知，， ①， ∵，， ∴；故①说法错误； ②∵， ∴ ∴， 即 ∴；故②说法错误； ③∵， ∴，，， 故；故③说法错误； ④∵， 即 ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 则；故④说法正确； 故正确的有④． 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴与绝对值的综合运用，解题的关键在于掌握绝对值化简的技巧． 6．（23-24七年级上·福建福州·期中）若规定“!”是一种数学运算符号，且，，，，…，则的值为（    ） A．9900 B．99! C． D．2 【答案】A 【分析】根据运算的定义，可以把和写成连乘积的形式，然后约分即可求解． 【详解】解：根据题意，可得 ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘除法运算，正确理解新定义运算是解题关键． 7．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）在，，0，2，6中取出三个数，把三个数相乘，所得到的最小乘积是 ． 【答案】 【分析】为了使乘积最小，取奇数个负数，使积为负． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，以及有理数大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列结论：①若为有理数，则；②若，则，③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 ． 【答案】② 【分析】根据平方的意义，非负数的意义，相反数的定义，绝对值的意义即可判断． 【详解】解：①若时，则，故①错误； ②，，若，则，即，故②正确； ③若，，同时为零，则不存在，故③错误； ④，当，，时，， 当，，时，，故④错误， 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，非负数的性质，互为相反数的性质，掌握特殊值解题方法是解题的关键． 9．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）对于一个自然数n，如果能找到正整数x、y，使得，则称n为“好数”，例如：，则3是一个“好数”，在8，9，10，11，12这五个数中，是“好数”的 ． 【答案】 【分析】根据题意，由，可得，所以，因此如果是合数，则n是“好数”，据此判断即可． 【详解】根据分析， ∵， ∴8是好数； ∵， ∴9是好数； ∵，11是一个质数， ∴10不是好数； ∵， ∴11是好数； ∵，13是一个质数， ∴12不是好数． 综上，可得在8，9，10，11，12这四个数中，“好数”有3个：8、9、11． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化；此题还考查了对“好数”的定义的理解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：如果是合数，则n是“好数”． 10．（23-24七年级上·重庆渝中·阶段练习）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1，2，5，10，其中1，2，5是10的真因数，把一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”，如10的完美指标是，一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如21的“完美指标”是 ，那么比20大，比30小的自然数中，最“完美”的数是 ． 【答案】 28 【分析】由题意知21的正因数有：1，3，7，21；其中真因数为1，3，7，计算求解即可．分别计算比20大，比30小的自然数的“完美指标”，进行比较即可得出最“完美”的数． 【详解】解：由题意知21的正因数有：1，3，7，21；其中真因数为1，3，7， ∴21的“完美指标”为． 比20大，比30小的自然数有21，22，23，24，25，26，27，28，29， 21的“完美指标”为； 22的“完美指标”为； 23的“完美指标”为； 24的“完美指标”为； 25的“完美指标”为； 26的“完美指标”为； 27的“完美指标”为； 28的“完美指标”为； 29的“完美指标”为； 比较更接近1的数： ∴更接近1， 故答案为：，28． 【点睛】本题以新定义的形式考查了因数，分数的大小比较等知识．解题的关键在于正确的计算． 11．（22-23七年级上·福建泉州·阶段练习）下列说法： ①若互为相反数，则； ②如果，则； ③若表示一个有理数，则的最小值为7； ④若，则的值为-2或0． 其中一定正确的结论是 ．（只填序号）． 【答案】②③④ 【分析】利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可． 【详解】解：的相反数是0， 当为0时，相反数的商为0，就不成立， ①的说法错误； 当同号或中至少一个为0时，， 如果则， ②的说法正确； 当时，根据绝对值的几何意义可得的最小值为7，③的说法正确； 若，则中可能两个正数一个负数或两个负数一个正数，当有两个正数一个负数时，设， ④的说法正确； 综上，正确的说法有：②③④， 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查了相反数，绝对值的意义，对于错误的说法举出反例是解题的关键． 12．（22-23七年级上·四川成都·期中）已知：，，，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算 ． 【答案】165 【分析】对于来讲，等于一个分式，其中分母是从到的个数相乘，分子是从开始，依次减，个连续的自然数相乘． 【详解】解：，，，， ， 故答案为：165． 【点睛】此题考查了数字的变化规律，利用已知得出分子与分母之间的规律是解题关键． 13．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）巧算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算： （1）分析式子中的每一项，得到，据此求解即可； （2）分析式子中的每一项，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据乘法分配律计算即可； （2）先把除法转化为乘法，再根据乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则并正确求解是解答本题的关键． 15．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)（请用简便方法计算）； (4)（请用简便方法计算）． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则进行计算即可得到答案； （2）先将除法转化为乘法，再根据有理数的乘法法则计算即可得到答案； （3）将式子变形为，再利用有理数的乘法运算律进行计算即可得到答案； （4）先将式子变形为，再利用乘法运算律进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序及运算法则是解此题的关键． 16．（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）阅读下列材料：， 即当时，；当时，． 根据以上结论解决下面问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求的值； (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值； (3)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1)当时， (2)时，的值为3或 (3)的值为 【分析】（1）根据，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （2）根据，得出a、b、c中有3个正数或一正两负，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （3）根据，得出，，，求出，根据，，得出a、b、c中一负两正，再化简绝对值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴a、b异号，即，或，， ∴或； ∴当时，； （2）解：∵， ∴a、b、c中有3个正数或一正两负， 当a、b、c都是正数时，； 当a、b、c中有一正两负时，； ∴时，的值为3或； （3）解：∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴． ∴的值为． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，并注意进行分类讨论． 17．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择一种合适的解法解答下列问题：计算：． 【答案】(1)没有除法分配律，故解法一错误； (2)过程见解析，． 【分析】（1）根据有理数的的运算法则进行判断，可得答案； （2）根据有理数的运算顺序，计算原式的倒数，即可得出答案． 【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误； （2）原式的倒数为： ， 所以原式 【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数的运算法则是解决本题的关键． 18．（23-24七年级上·福建宁德·期末）【问题情境】在数学活动课上，同学们玩“计算竟大”游戏：每场游戏开始时、乙两人手上各执四张数字牌和四张运算符号牌，四张数字牌上分别标有一个数字，四张运算符号牌分别标有“+”“-”“×”“÷”四个运算符号，双方都能看到对方牌面的信息．游戏开始，两人依次轮流出牌，每次只有一人出牌． 游戏规则： ①第一次，由先出牌者出一张数字牌，直接做为第一次结果． ②从第二次开始，每次由出牌者出一张符号牌和一张数字牌，与上一次结果进行相应运算，运算结果记为本次结果．若本次结果的绝对值比上一次结果的绝对值大，则游戏继续；否则游戏结束，本次出牌者失利，对方获得本场游戏胜利； ③若游戏继续，则按上述规则玩到两人手上都没有数字牌为止．若最后一次结果们绝对值大于上一次结果的绝对值，则最后一次出牌者获得本场游戏胜利，否则对方获胜． （相应的运算示例：若上一次的结果为，本次出牌的符号为“÷”，数字为“2”，则相应的运算为） 【问题解决】在某一场游戏前，甲、乙两人拿到的数字牌和符号牌如下：    (1)若第一次甲出“2”，第二次乙出“-”和“3”，直接写出第二次的结果，并判断游戏是否继续； (2)若第一次甲出“”，第二次乙出“-”和“1”，第三次甲出“÷和“”，第四次乙出“×”和“3”，第五次甲出“×”和“2”，请列出综合算式求第五次的结果； (3)在（2）的基础上，第六次乙应如何出牌才能保证最后结果总是自己胜出？请写出保证乙能最终获胜的第六次出牌方案，并说明该方案乙必胜的理由． 【答案】(1)，否 (2)72 (3)第六次乙出“＋”和“4”，方案和理由见解析 【分析】本题考查有理数四则运算，绝对值定义． （1）根据题意列式，再利用绝对值定义即可； （2）根据题意列式即可； （3）根据题意考虑所有可能性并列出即可． 【详解】（1）解：根据题意列式为：， ∵， ∴游戏不再继续， 即：第二次结果为：； （2）解：根据题意列式为：， ， ； （3）解：乙必胜的方案是：第六次乙出“＋”和“4”， 理由一：此时，第六次结果为76，第七次若甲出“-”和“5”，则结果为71，游戏结束，乙获胜；第七次若甲出“+”和“5”，则结果为81，游戏继续；第八次乙出“÷”和“”，结果为，游戏结束，乙获胜； 理由二：所有的出牌可能有： ①，甲负乙胜； ②，乙负； ③，乙负； ④，乙负； ⑤，乙胜； ⑥，甲负乙胜， ∴乙必胜的是第六次乙出“＋”和“4”． 学科网（北京）股份有限公司 $$