1.4.2 第1课时 距离问题-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

学习单元3　空间向量的应用 1．4　空间向量的应用 1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第一课时　距离问题 第一章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、与平面平行的直线与平面间的距离、平行平面间的距离问题．　 2.体会向量方法在研究几何问题中的作用. 知识点1　点到直线的距离 内容索引 知识点2　点到平面的距离 课时作业 巩固提升 课堂达标·素养提升 3 知识点1　点到直线的距离 点线距 例1 　如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为平面A1ABB1的中心，E为BC的中点，求点O到直线A1E的距离． 思维提升 2．用向量法求点到直线的距离时需注意：(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段；(2)在直线上可以任意选点，但一般选较容易求得坐标的特殊点；(3)直线的方向向量可以任取． 跟踪训练 1．如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离． 知识点2　点到平面的距离 点面距 点面距 例2 　如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．   (1)求点D到平面PEF的距离； [分析]　根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应距离． (2)求直线AC到平面PEF的距离． [分析]　根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应距离． 思维提升 2．求点面距离方法还有： (1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离． (2)在三棱锥中常用等体积法求解． 跟踪训练 2．如图所示，正方体的棱长为1，E，F，M，N分别为棱AD，AB，DC，BC的中点．求平面A1EF与平面B1NMD1间的距离． 〈课堂达标·素养提升〉 A 2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一 个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是________． 3．若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，   则点P到平面ABC的距离是________． 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4．(多选)已知平面α的一个法向量为n＝(－1，－2，2)，点A(x2，2x＋1，2)为平面α内一点．若点P(0，1，2)到平面α的距离为4，则x的值为(　　) A．2 B．1 C．－3 D．－6 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面 ABC，则点B1到平面ABC1的距离为__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，E，F分别为D1C1，C1C的中点． (1)求E到直线AF的距离； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)求B1到平面A1BE的距离． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝ 4，点E在棱BB1上，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中 点，EF与B1D相交于点H. (1)求证：B1D⊥平面ABD； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)求证：平面EGF∥平面ABD； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10．在底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11．如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且BA1⊥AC1.求C1到平面A1AB的距离． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：取AB的中点E，则DE∥BC. 因为BC⊥AC， 所以DE⊥AC. 又A1D⊥平面ABC， 所以DE，DC，DA1两两垂直， 以DE，DC，DA1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则A(0，－1，0)，C(0，1，0)，B(2，1，0)，A1(0，0，t)， C1(0，2，t)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 12．如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥平面BCDE，如图②.若点F是线段BE的靠近点E的三等分点，点P是线段A1F上的点，直线l过点B且垂直于平面BCDE，求点P到直线l的距离的最小值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$