1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

学习单元3　空间向量的应用 1．4　空间向量的应用 1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第二课时　空间中直线、平面的平行 第一章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．　 2.能用向量方法判定或证明空间直线、平面间的平行关系. 知识点1　利用向量证明直线和直线平行 内容索引 知识点2　利用向量证明直线和平面平行 课时作业 巩固提升 知识点3　利用向量证明平面和平面平行 课堂达标·素养提升 * 知识点1　利用向量证明直线和直线平行 a，b是直线l1，l2的方向向量，直线l1与直线l2平行的充要条件是__________________． a∥b 例1 思维提升 证明直线平行的两种思路 1．如图，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，M，N分别在线段AE，BD上，且AE＝3AM，BN＝2ND，G为BE的中点，试判断MN与GC是否平行，并利用向量方法证明你的判断． 跟踪训练 知识点2　利用向量证明直线和平面平行 a是直线l的方向向量，n是平面α的法向量．当l⊄α时，直线l与平面α平行的充要条件是________． a⊥n 例2 思维提升 利用空间向量证明线面平行的方法 1．法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，证明方向向量与法向量垂直，从而证明直线与平面平行． 2．共线向量法：证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线，再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行． 3．共面向量法：证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a，b是共面向量，即满足p＝xa＋yb(x，y∈R)，则p，a，b共面，从而可证直线与平面平行． 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD. 跟踪训练 知识点3　利用向量证明平面和平面平行 m，n是平面α，β的法向量，平面α与平面β平行的充要条件是________． m∥n 　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心．P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO? [分析]　建立空间直角坐标系，设出点Q的坐标，然后可根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线进行证明． 例3 思维提升 利用空间向量证明面面平行的方法 1．通过证明两个平面的法向量平行，进而证明面面平行． 2．转化为线面平行、线线平行，然后借助向量共线或垂直进行证明． 跟踪训练 〈课堂达标·素养提升〉 1．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　) A．垂直　　　　　　　　　 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直 B 2．(多选)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是 (　　) A．a＝(1，0，0)，n＝(0，－2，0) B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1) C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1) D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1) AD 若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝0，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，D中a·n＝－3＋3＝0. 4．已知两个平面α，β的法向量分别是n1＝(1，x，2)和n2＝(3，6，y).若α∥β，则y－x＝________． 4 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2．若直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是(　　) A．m＝(1，2，1)，n＝(1，0，1) B．m＝(0，1，0)，n＝(0，3，0) C．m＝(1，－2，3)，n＝(－2，2，2) D．m＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则要使l∥α， 只要满足m·n＝0即可． 对于A：m·n＝2； 对于B：m·n＝3； 对于C：m·n＝0； 对于D：m·n＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)   A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 l∥α或l⊂α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6．已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则β与α的位置关系是________． 平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为底面A1B1C1D1和侧面B1C1CB的中心．求证：   (1)EF∥A1B； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)EF∥平面A1BD； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3)平面B1EF∥平面A1BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 证明： (3)由(2)，同理，求出平面EFB1的一个法向量 n＝(1，－1，－1). 由m∥n，而平面B1EF与平面A1BD不重合， 因此平面B1EF∥平面A1BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：平面EFG∥平面PBC. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是__________． 13 平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12．如图，在正四面体ABCD中，E是BC的中点．直线AD上是否存在点F，使得AE∥CF? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$