第十二章 全等三角形（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第12章 全等三角形（B卷·培优卷） 第13章 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中能和重合的是（　　） A．丙和乙 B．甲和丙 C．只有甲 D．只有丙 2．如图，已知，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，平分，于点，于点，，则图中全等三角形有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 4．小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使，，，点、、在同一直线上，就能保证，可作为证明的依据的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在和中，点，，，，，能判定的是（    ）    A． B． C． D． 6．在中，平分，则的面积为（    ） A．24 B．16 C．12 D．9 7．如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，，且，，是上两点，，．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在和中，，，，交于点M，交于点N．下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 10．如图，在 中，，，，，平分 ，交 于点，，是 ，上的动点，则 的最小值为（   ）    A． B．3 C．4 D． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．如图，在和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使得和全等．    12．如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带 去（填序号）． 13．如图，在的正方形网格中，线段、的端点为格点，则 ． 14．如图，、相交于点E，点F在线段的延长线上，平分，，，，若，，则的长度为 ． 15．如图，中，是角平分线，垂直于F，交于E，若和的面积分别是6和9，则阴影部分的面积为 ． 16．如图，在中，，，于点D，于点E，若，，则 ． 17．如图，中，，点为线段上一点，连接，过点作于点，在的延长线上存在一点，使若，，则 ． 18．如图，在中，，垂足是点平分交于E，交于F，点G，点H分别为线段上动点，下面四个结论：①；②；③；④．其中正确的有 （写出所有正确结论的序号）．    三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）如图，，求证：． 20．（10分）如图，在中，，，过点C作，连接． (1)基本尺规作图：作，交线段于点F（保留作图疯迹）； (2)求证：． 解：∵， ∴________ ∵ ∴ 在和中 ∴， ∴（_______） 21．（10分）如图，在中，为边上一点，于点，于点，． (1)求证：平分； (2)若，，，则的长为 ． 22．（10分）如图，点在上，，，，。 （1）求的度数。 （2）证明：。 23．（10分）如图，相交于点． (1)求证：； (2)若，求的大小． 24．（10分）如图，于E，交的延长线于点F． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 25．（10分）如图1，在中，，，，．动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图1，当时，______（用含的式子表示）； (2)当且的面积等于面积一半时，求的值； (3)如图2，在中，，，，．在边有一动点，与点同时从点出发，沿边运动，回到点停止．当时，点的运动速度为______． 26．（10分）已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，． （1）如图1，①若，请直接写出______； ②连接，若，求证：； （2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 全等三角形（B卷·培优卷） 第13章 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中能和重合的是（　　） A．丙和乙 B．甲和丙 C．只有甲 D．只有丙 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等．根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：甲中的三角形和全等，符合全等三角形的判定定理； 乙中的三角形和不全等，不符合全等三角形的判定定理； 丙中的三角形和全等，符合全等三角形的判定定理； 故选：B． 2．如图，已知，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 先根据全等三角形的性质求出，再由求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图，平分，于点，于点，，则图中全等三角形有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形全等的判定定理，角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方程是解题的关键． 根据全等三角形的判定分别证明，，，即可得到答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴； ∴， ∵平分， ∴， ∵于点，于点， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴． ∴图中全等三角形有3对 故选C． 4．小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使，，，点、、在同一直线上，就能保证，可作为证明的依据的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 直接利用全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：，， ， 在和中， ， 证明的依据的是， 故选：． 5．如图，在和中，点，，，，，能判定的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定，先根据平行线的性质得到，加上，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断即可，掌握全等三角形的判定方法：、、、，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 、添加，不能判定； 、添加，能判定； 、添加，不能判定； 、添加，不能判定； 故选：． 6．在中，平分，则的面积为（    ） A．24 B．16 C．12 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过D点作于F，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式进行计算． 【详解】解：过D点作于F，如图， ∵平分， ∴， ∴． 故选：C． 7．如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识，根据三角形的内角和求出相应各个角的度数是解决问题的关键. 根据三角形的内角和求出利用三角形全等求出，再利用外角求出答案. 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选： A. 8．如图，，且，，是上两点，，．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由可得，由，可得，，从而，进而证得，可得，，推出，代入数据即可解答． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：B 9．如图，在和中，，，，交于点M，交于点N．下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．通过和推出相关结论，即可得到答案． 【详解】，，， ， ， ， 故①符合题意； ， ， ，， ， 故②符合题意； ， ， 和不一定相等． 其中所有正确结论的序号是①②． 故选：A． 10．如图，在 中，，，，，平分 ，交 于点，，是 ，上的动点，则 的最小值为（   ）    A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，    ∵平分 ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ∵， ∴， 即的最小值为， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．如图，在和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使得和全等．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，等等．根据题意可得，，根据全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：添加条件，利用可证明； 添加条件，利用可证明； 添加条件，利用可证明； 添加条件，利用可证明； 故答案为：（答案不唯一）． 12．如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带 去（填序号）． 【答案】③ 【分析】本题是一道利用全等三角形解决实际问题的题目，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理； 利用三角形全等的判定定理“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等”，即可确定； 【详解】解：第③块玻璃含有两个角，能确定整块玻璃的形状．第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据“”来配一块一样的玻璃．应带③去． 故答案为：③． 13．如图，在的正方形网格中，线段、的端点为格点，则 ． 【答案】90 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，通过证明，得出，即可解答． 【详解】解：由图可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90． 14．如图，、相交于点E，点F在线段的延长线上，平分，，，，若，，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定， 在上截取，连接，首先证明出，得到，，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】在上截取，连接 ∵平分， ∴ 在和中 ∴ ∴， ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 故答案为：2． 15．如图，中，是角平分线，垂直于F，交于E，若和的面积分别是6和9，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，与三角形中线有关的求解问题，先证明，得出，，根据三角形中线得出，根据和的面积分别是6和9，得出，根据，得出答案即可． 【详解】解：∵中，是角平分线， ∴， ∵垂直于F， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵若和的面积分别是6和9， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， 解得：． 故答案为：． 16．如图，在中，，，于点D，于点E，若，，则 ． 【答案】7 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键．易证，即可证明，可得，根据，即可解题． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ， ． 故答案是：7． 17．如图，中，，点为线段上一点，连接，过点作于点，在的延长线上存在一点，使若，，则 ． 【答案】 【分析】过点作于，先证得为等腰直角三角形，则，，再证和全等得，，则，，然后证和全等得，从而得，然后可得出答案． 此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于，如下图所示： 在中，，， ， ， ， ， ， ， 即， 为等腰直角三角形， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18．如图，在中，，垂足是点平分交于E，交于F，点G，点H分别为线段上动点，下面四个结论：①；②；③；④．其中正确的有 （写出所有正确结论的序号）．    【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了直角三角形和角平分线．熟练掌握直角三角形角性质和角平分线性质，全等三角形的判断和性质，三角形三边关系，是解决问题的关键． 由垂直的定义可得，由，得到，由角平分线的定义可得，判断①；由，可得， ；判断②；由，判断③；在上取点，使，连接，，证明，得到，得到，判断④． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴， 故③正确，符合题意；    在上取点，使，连接，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故④错误，不符合题意； 故答案为：①②③． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）如图，，求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用即可证明． 【详解】证明：， ，即． 在和中， ， ∴． 20．（10分）如图，在中，，，过点C作，连接． (1)基本尺规作图：作，交线段于点F（保留作图疯迹）； (2)求证：． 解：∵， ∴________ ∵ ∴ 在和中 ∴， ∴（_______） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据运用作相等角的作图方法画图即可； （2）根据平行线的性质可推出①及②，再根据全等三角形的判定定理和性质可得③④． 【详解】（1）解：如图：即为所求； （2）解：∵ ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴（全等三角形的对应边相等）． 21．（10分）如图，在中，为边上一点，于点，于点，． (1)求证：平分； (2)若，，，则的长为 ． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质和判定，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）连接，证明，得，再利用角平分线的性质即可解决问题； （2）结合（1），根据，代入值计算即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接， 于点，于点， ， 在和中， ， ， ， 于点，于点， 平分； （2）解：， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：4． 22．（10分）如图，点在上，，，，。 （1）求的度数。 （2）证明：。 【答案】（1）；（2）见解析. 【分析】（1）由AAS证明△ABC≌△ADE，由平角的定义求出∠ADE＝70°，得出对应角相等即可； （2）由等边对等角得，再由三角形内角和定理和平角的定义得到. 【详解】， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）， ， ， 又， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键． 23．（10分）如图，相交于点． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）根据证明； （2）先求出的度数，即可利用全等三角形的性质求出的度数，由此即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴（）； （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 24．（10分）如图，于E，交的延长线于点F． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理，证明是解题的关键． （1），则，根据角平分线的判定即可得到结论； （2）由（1）可得，证明，则，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又， ∴平分； （2）解：由（1）可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 25．（10分）如图1，在中，，，，．动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图1，当时，______（用含的式子表示）； (2)当且的面积等于面积一半时，求的值； (3)如图2，在中，，，，．在边有一动点，与点同时从点出发，沿边运动，回到点停止．当时，点的运动速度为______． 【答案】(1) (2) (3)Q运动的速度为或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． （1）当时，点在上，利用速度乘时间即可求解； （2）根据三角形中线的性质，且即可解答； （3）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上两种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：∵ ∴在上时，的面积等于面积的一半， ∴， ∴； （3）解：设点Q的运动速度为， ①当点P在上，点Q在上，时，， ∴，解得； ②当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴，解得； ∴Q运动的速度为或． 26．（10分）已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，． （1）如图1，①若，请直接写出______； ②连接，若，求证：； （2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①45°；②见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）①利用直角三角形两个锐角相加得和三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性质结合题干已知即可解题． ②延长至点，使得，连接，从而可证明≌（SAS），再利用全等的性质，可知，即可知道，所以，根据题干又可得到，所以，从而得出结论． （2）延长至点，使得，连接，从而可证明≌（SAS），再利用全等的性质，可知，，根据题干即可证明≌（HL），即得出结论． 【详解】（1）①∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 故答案为． ②如图，延长至点，使得，连接， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴≌， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）． 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴≌， ∴，， ∵． ∴≌， ∴． 【点睛】本题主要考查直角三角形的角的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的性质．综合性较强，作出辅助线是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$