专题1.1 集合（考点精讲）-【中职专用】2025年对口招生数学一轮复习讲练测（安徽专用）

专题1.1 集合 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 4 考点一：集合的基本概念 4 考点二：集合间的基本关系 7 考点三：集合的基本运算 9 【考纲要求】 1. 理解集合的概念及其表示，理解元素与集合的关系及集合间的关系；掌握集合的表示方法. 2. 掌握集合间的关系（子集、真子集、相等），能准确应用“元素与集合关系”和“集合与集合关系”符号. 3. 掌握交集、并集、补集的含义，并能进行简单的运算，会借助数轴进行不等式形式的集合运算. 【考向预测】 1.集合的基本概念 2.集合间的基本关系 3.集合的基本运算 【知识导图】 【知识清单】 1.元素与集合 一组对象的全体构成一个集合． (1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性． (2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，a∈A或a∉A，二者必居其一． (3)常见集合的符号表示及其关系图. 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N* Z Q R (4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法． (5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示． 2.集合间的基本关系 关系 定义 表示 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 A中的任意一个元素都是B中的元素 A⊆B 真子集 A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A AB 注意：(1)空集用∅表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. (3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C． 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为CUA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 运算性质 A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. A∩(CUA)＝∅，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A 求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA. 特别提醒: 1.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔CUA⊇CUB. 2. CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB). 【考点分类剖析】 考点一：集合的基本概念 例1．下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的定义和性质判断可得答案． 【详解】对于①，很小的实数是个不确定的概念，不可以构成集合，故错误； 对于②，R表示一切实数组成的集合，故正确； 对于③，给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是无限集，故错误； 对于④，2023年联合国常任理事国有中国、俄罗斯、英国、法国、美国，能组成一个集合，故正确． 故选：C． 【变式探究】下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据集合的定义判断即可. 【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B 例2．下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由数与数域的关系判断出正确个数，求出答案. 【详解】对于①，，①错误； 对于②，，②正确； 对于③，，③错误； 对于④，，④错误， 故正确的个数为1个. 故选：A 【变式探究】下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据数集的含义和元素与集合间的关系判断即可. 【详解】Q表示有理数集，是有理数，故（1）正确； R表示实数集，为实数，故（2）错； 表正整数集，0不是正整数，故（3）错； Z表示整数集，不是整数，故（4）错； 和都表示集合，集合间的关系不能用表示，故（5）错. 故选：A. 例3．设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据给定条件计算出所有的值，再借助集合中元素的性质即可作答. 【详解】，时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素． 故选：B． 【变式探究】1．已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 【答案】C 【分析】根据条件，利用元素与集合的关系及集合的性质即可求解. 【详解】由元素和集合关系可知：或或， 解的或或， 由集合的性质可知，当时，不满足互异性， 所以的取值为或. 故选：C. 【变式探究】2．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用集合的描述法计算即可. 【详解】由题意可知只有，符合题意.即. 故选：A 例4．集合是指（    ）． A．第一象限内的所有点 B．第三象限内的所有点 C．第一象限和第三象限内的所有点 D．不在第二象限、第四象限内的所有点 【答案】D 【分析】根据题意，说明同号，包括零.得到点的意义即可解题. 【详解】,说明同号，包括零. 则表示不在第二，四象限内的所有点. 故选：D． 【变式探究】下列说法中正确的是（    ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 【答案】B 【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】对于A，1不能表示一个集合，故错误； 对于B，因为集合中的元素具有无序性，故正确； 对于C，因为集合的元素具有互异性，而中有相同的元素，故错误； 对于D，因为集合中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误. 故选：B. 考点二：集合间的基本关系 例1．若集合，集合，则的子集个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由交集的概念得出交集中元素的个数即可求解. 【详解】集合，集合，则，则的子集个数是. 故选：D. 【变式探究】1．已知，，则的非空真子集的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据补集定义求，再由结论确定其非空真子集的个数. 【详解】由已知，非空真子集有个. 故选：A. 【变式探究】2．若集合，当时，集合的非空真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】C 【分析】先确定集合中的元素，再求其非空真子集个数. 【详解】根据题意，当时， 集合， 集合中有3个元素，所以集合的非空真子集个数为. 故选：C 例2．已知集合，，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先求出集合，再由可求出集合，从而可求得答案. 【详解】由，得， 所以， 因为，， 所以，或，或，或， 所以集合的个数为4， 故选：D 【变式探究】1．下列集合关系表述正确的是（    ）（其中：自然数集，整数集） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由各数集的含义可得 【详解】为自然数集，为整数集，因为整数集包含自然数集与负整数集，所以； 为整数集，为有理数集，因为有理数集包含整数集和小数集，所以 为有理数集，为实数集，因为实数集包含有理数集与无理数集，所以 为实数集，复数集，因为复数集包含实数集和虚数集，所以， 综上，所以， 故选：A. 【变式探究】2．已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意先求集合，结合包含关系分析求解. 【详解】由题意知，将代入方程，可得， 则，满足题意， 故选：B． 例3．已知集合，下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合A，再利用元素与集合之间的关系依次判断各选项即可得解. 【详解】， ，故ABD正确； 而与是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故C错误. 故选：C 【变式探究】下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义，结合选项即可求解. 【详解】对于A,集合中有一个元素，故不是空集， 对于B,方程无实数解，∴集合为空集， 对于C，是无限集，所以不是空集， 对于D, ，不是空集. 故选：B． 考点三：集合的基本运算 例1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出两集合，再求两集合的交集. 【详解】解：由，，得到，即， 由，得到， 则， 故选：C． 【变式探究】设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集概念进行求解. 【详解】. 故选：D 例2．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的概念即可得出答案. 【详解】因为，，所以 故选：D 【变式探究】已如集合， ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合并集运算即可求解. 【详解】集合， ，则, 故选：C 例3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式求出集合，然后由补集运算可得. 【详解】解不等式，得或，所以， 所以. 故选：A 【变式探究】设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由补集运算以及集合与元素的关系即可求解. 【详解】由题意，所以. 故选：B. 例4．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交运算以及补运算的定义即可求解. 【详解】集合，则. . 故选：D. 【变式探究】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的交、补集运算可得. 【详解】 或，又， ． 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 集合 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 4 考点一：集合的基本概念 4 考点二：集合间的基本关系 5 考点三：集合的基本运算 6 【考纲要求】 1. 理解集合的概念及其表示，理解元素与集合的关系及集合间的关系；掌握集合的表示方法. 2. 掌握集合间的关系（子集、真子集、相等），能准确应用“元素与集合关系”和“集合与集合关系”符号. 3. 掌握交集、并集、补集的含义，并能进行简单的运算，会借助数轴进行不等式形式的集合运算. 【考向预测】 1.集合的基本概念 2.集合间的基本关系 3.集合的基本运算 【知识导图】 【知识清单】 1.元素与集合 一组对象的全体构成一个集合． (1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性． (2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，a∈A或a∉A，二者必居其一． (3)常见集合的符号表示及其关系图. 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N* Z Q R (4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法． (5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示． 2.集合间的基本关系 关系 定义 表示 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 A中的任意一个元素都是B中的元素 A⊆B 真子集 A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A AB 注意：(1)空集用∅表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. (3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C． 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为CUA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 运算性质 A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. A∩(CUA)＝∅，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A 求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA. 特别提醒: 1.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔CUA⊇CUB. 2. CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB). 【考点分类剖析】 考点一：集合的基本概念 例1．下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式探究】下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式探究】下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例3．设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式探究】1．已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 【变式探究】2．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例4．集合是指（    ）． A．第一象限内的所有点 B．第三象限内的所有点 C．第一象限和第三象限内的所有点 D．不在第二象限、第四象限内的所有点 【变式探究】下列说法中正确的是（    ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 考点二：集合间的基本关系 例1．若集合，集合，则的子集个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式探究】1．已知，，则的非空真子集的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式探究】2．若集合，当时，集合的非空真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 例2．已知集合，，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式探究】1．下列集合关系表述正确的是（    ）（其中：自然数集，整数集） A． B． C． D． 【变式探究】2．已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 例3．已知集合，下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式探究】下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 考点三：集合的基本运算 例1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】设集合，则（    ） A． B． C． D． 例2．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已如集合， ，则（   ） A． B． C． D． 例3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 例4．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$