2.5.1 直线与圆的位置关系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章　直线和圆的方程 2.5.1　直线与圆的位置关系 人教A版 数学 选择性必修第一册 课 程 标 准 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点　直线与圆的位置关系的判断方法 直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断 可消x,也可消y,都能得到一元二次方程 两 < > < 名师点睛 利用直线和圆的方程,通过定量计算研究直线与圆的位置关系. 过关自诊 1.利用几何法、代数法都可以判断直线与圆的位置关系,哪种方法简单? 2.[2023江苏南通期末]已知圆(x-2)2+(y+3)2=r2与y轴相切,则r=(　　) 提示 一般几何法较为简单. C 解析 由圆(x-2)2+(y+3)2=r2的方程可得圆心的坐标为(2,-3),再由圆与y轴相切,可得半径r=2.故选C. 3.[北师大版教材习题]已知直线l:y=x+b,圆C:x2+(y-1)2=2,求实数b分别为何值时,直线l与圆C相交、相切、相离. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　判断直线与圆的位置关系 【例1】 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m满足什么条件时,直线与圆: (1)有两个公共点? (2)只有一个公共点? (3)没有公共点? 解 (方法1)将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程,化简、整理, 得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0. 规律方法 直线与圆的位置关系的判定有两种方法 探究点二　直线与圆相切 【例2】 过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程. 解 因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以点A在圆外. (1)若所求切线的斜率存在,设切线斜率为k, 则切线方程为y+3=k(x-4). 因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径,半径为1, (2)若直线斜率不存在,圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1,这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4. 综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4. 规律方法 过一点的圆的切线方程的求法 (1)点(x0,y0)在圆上 ①先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为- ,由点斜式可得切线方程. ②如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程y=y0或x=x0. (2)点(x0,y0)在圆外 ①设切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,得到切线方程. ②当用此法只求出一个方程时,另一个方程应为x=x0,因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况. 提醒:已知一点求圆的切线方程时,切勿漏掉斜率不存在的情况. 变式训练1过点Q(3,0)作圆x2+y2=4的切线,求此切线方程. 解 容易判断点Q(3,0)在圆外.易知切线斜率存在,设切线的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0. 探究点三　直线与圆相交 【例3】 (1)过圆x2+y2=8内的点P(-1,2)作直线l交圆于A,B两点.若直线l的倾斜角为135°,则弦AB的长为　 .  (2)圆心为C(2,-1),截直线y=x-1的弦长为2 的圆的方程为　 . (x-2)2+(y+1)2=4 规律方法 1.求圆的弦长的两个方法 圆的 性质 利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系r2=d2+ 2解题 交点 坐标 若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间的距离公式计算弦长 2.与弦长相关的问题 利用弦长、弦心距、半径的关系构造方程或方程组,解出其中的未知量. 变式训练2[人教B版教材习题]已知直线x-y+1=0与圆C:x2+y2-4x-2y+m=0交于A,B两点. (1)求线段AB的垂直平分线的方程; (2)若|AB|=2 ,求m的值. 解 (1)由题意,线段AB的垂直平分线经过圆的圆心(2,1),斜率为-1, ∴线段AB的垂直平分线的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0. (2)圆x2+y2-4x-2y+m=0可化为(x-2)2+(y-1)2=-m+5, 探究点四　直线与圆的方程的实际应用 【例4】 如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=1, AC=0.6,BD=1.2(单位:千米). (1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长; (2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选 在D处?并说明理由. 解 (1)过点A作AE⊥BD,垂足为E,如图. 由已知条件得,四边形ACDE为矩形,DE=BE=AC=0.6,AE=CD=0.8. (2)①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求. 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此,Q选在D处也不满足规划要求. 综上,P和Q均不能选在D处. 规律方法 解决直线与圆的方程的应用题的步骤 (1)审题:从题目中抽象出几何模型,明确已知和未知. (2)建系:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示几何模型中的基本元素. (3)求解:利用直线与圆的有关知识求出未知. (4)还原:将运算结果还原到实际问题中去. 变式训练3如图是某主题公园的部分景观平面示意图,圆形池塘以O为圆心,以45 m为半径,B为公园入口,道路AB为东西方向,道路AC经过点O且向正北方向延伸,OA=10 m,AB=100 m,现计划从B处起修一条新路与道路AC相连,且新路在池塘的外围,假设路宽忽略不计,则新路的最小长度为(　　) A 解析 以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略), 设修建的新路所在直线方程为kx-y+100k=0(k>0), 则当该直线与圆O相切时,小路长度最小, 本节要点归纳 1.知识清单: (1)直线与圆的三种位置关系; (2)弦长公式; (3)圆的切线方程; (4)直线与圆的方程的应用. 2.方法归纳:几何法、代数法、坐标法、弦长公式法、数学建模. 3.常见误区:(1)求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况; (2)不能正确进行数学建模. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 1.[2023天津期末]直线l:x-y+2=0被圆O:x2+y2=9截得的弦长为(　　) A 1 2 3 4 5 2.(多选题)若直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值可以是(　　) A.-2 B.-12 C.2 D.12 CD 解析 圆的方程为x2+y2-2x-2y+1=0, 可化为(x-1)2+(y-1)2=1, 1 2 3 4 5 D 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4.经过点M(2,1)作圆x2+y2=5的切线,则切线的方程为　　　　　　　　　. 2x+y-5=0 解析 易知点M在圆上,所以M为切点,切点和圆心连线的斜率k= , 则切线斜率为-2,切线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0. 1 2 3 4 5 5.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它　　　　(填“会”或“不会”)受到台风的影响.  不会 解析 如图,以台风中心为原点O,正东方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系,其中,取10 km为单位长度.则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O,圆的方程为x2+y2=9;轮船航线所在的直线l的方程为4x+7y-28=0.由圆心(0,0)到直线l的距离大于半径,可知直线与圆相离,故轮船不会受到台风的影响. 位置关系 相交 相切 相离 公共点 　个  一个 零个 判 定 方 法 几何法:设圆心到直线的距离 d= d　 r  d=r d　 r  代数法:由 消元得到一元二次方程 Δ>0 Δ=0 Δ 　0  A. B. C.2 D.3 解 圆心C(0,1),半径r=,l的方程化为x-y+b=0. 圆心到直线的距离d=. 当d<r,即,-1<b<3时,直线l与圆C相交; 当d=r,即,b=-1或b=3时,直线l与圆C相切; 当d>r,即,b<-1或b>3时,直线l与圆C相离. ∵Δ=4m(3m+4),∴当Δ>0,即m>0或m<-时,直线与圆相交, 即直线与圆有两个公共点; 当Δ=0,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点; 当Δ<0,即-<m<0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点. (方法2)已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,即圆心为(2,1),半径r=2. 圆心(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离d=. 当d<2,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点; 当d=2,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点; 当d>2,即-<m<0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点. 所以=1,即|k+4|=, 所以k2+8k+16=k2+1,解得k=-. 所以切线方程为y+3=-(x-4),即15x+8y-36=0. 又圆的圆心为(0,0),半径为2,所以=2,解得k=±, 所以所求切线方程为y=±(x-3). 解析 (1)由题意知直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0, 圆心O(0,0)到直线l的距离为d=, 则有|AB|=2. (2)设圆的半径为r,由条件得圆心到直线y=x-1的距离为d=. 又直线y=x-1被圆截得的弦长为2,即半弦长为, ∴r2=2+2=4,得r=2, ∴所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4. ∵|AB|=2,∴圆心到直线AB的距离为. 又圆心到直线AB的距离d=, ∴,∴m=1. 因为PB⊥AB,所以cos∠PBD=sin∠ABE=. 所以PB==1.5. 因此道路PB的长为1.5千米. ②若Q在D处,连接AD,如图,由(1)知AD==1, 从而cos∠BAD=>0,所以∠BAD为锐角. A.100 m B.100 m C.150 m D.150 m 此时=45,解得k=1,此时求得小路长度为100m. A.2 B. C.2 D. 解析 由圆O:x2+y2=9,得圆心O(0,0),半径r=3, ∴圆心O到直线l:x-y+2=0的距离d=, ∴弦长=2=2.故选A. 由圆心(1,1)到直线3x+4y-b=0的距离为=1,得b=2或12. 3.[2023四川遂宁期末]曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,则k的取值范围是(　　) A. B. C.(] D.(] 解析 由直线的方程y=k(x-2)+4可知,直线过点A(2,4). 又曲线y=1+,整理,得x2+(y-1)2=4(y≥1), 表示的图形是以(0,1)为圆心,2为半径的半圆,如图. 当直线l与半圆相切,C为切点时,圆心到直线的距离d=r, 即=2,解得k=. 当直线l过点B(-2,1)时,直线l的斜率为, 则直线l与半圆有两个交点时,实数k的取值范围为(].故选D. $$