2.5.2 圆与圆的位置关系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章　直线和圆的方程 2.5.2　圆与圆的位置关系 人教A版 数学 选择性必修第一册 课 程 标 准 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法. 2.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系. 3.能综合应用圆与圆的位置关系解决问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点　圆与圆的位置关系的判定方法 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示           d与r1,r2的 关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2| d<|r1-r2| 方程组解的情况 2组 1组 0组 两圆的公共点 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 圆O1与圆O2相交时,两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程 过关自诊 1.当两圆外离、外切、相交、内切、内含时,公切线的条数分别是多少? 2.当两圆相交、外切、内切时,连心线有什么性质? 提示 公切线的条数分别是4,3,2,1,0. 提示 当两圆相交时,连心线垂直平分公共弦;当两圆外切时,连心线垂直于过两圆公共点的公切线;当两圆内切时,连心线垂直于两圆的公切线. 3.[北师大版教材习题]若圆(x+2)2+(y-2)2=m与圆x2+y2-2x+4y-4=0相交,求实数m的取值范围. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　判断两圆的位置关系 【例1】 已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0),圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0 (a>0).试求a为何值时,两圆C1,C2的位置关系满足下列条件: (1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含. 思路分析 求出圆心距,与两半径的和或差比较求出a的值. 解 圆C1,C2的方程,经配方后可得 C1:(x-a)2+(y-1)2=16, C2:(x-2a)2+(y-1)2=1, ∴圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,r2=1. (1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切; 当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切. (2)当3<|C1C2|<5,即3<a<5时,两圆相交. (3)当|C1C2|>5,即a>5时,两圆外离. (4)当|C1C2|<3,即0<a<3时,两圆内含. 规律方法 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法:利用两圆半径的和或差与圆心距作比较,得到两圆的位置关系; (2)代数法:把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题,转化为方程组的解的组数问题. 变式训练1若两圆x2+y2=a与x2+y2+6x-8y-11=0内切,则a的值为　　　　　. 121或1 探究点二　两圆相交问题 【例2】 [人教B版教材习题]已知圆C1:x2+y2=2与圆C2:(x-2)2+y2=8相交于A,B两点,求AB的中点的坐标. 解 因为圆C1的圆心为C1(0,0),圆C2的圆心为C2(2,0), 所以AB的中点在C1C2,即x轴上. 规律方法 公共弦问题的解决方法 (1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数. (2)求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在的直线方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. 变式训练2两圆相交于两点A(1,3)和B(m,-1),两圆圆心都在直线x-y+c=0上,则m+c的值为　　　　　.  3 解析 由题意知直线AB与直线x-y+c=0垂直, ∴AB的中点坐标为(3,1). AB的中点在直线x-y+c=0上, ∴3-1+c=0,∴c=-2,∴m+c=5-2=3. 探究点三　两圆相切问题 思路分析 设圆的方程,利用两圆外切和直线与圆相切建立方程组求得. 解 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 由题知所求圆与圆x2+y2-2x=0外切, 变式探究 1将本例变为“求与圆x2+y2-2x=0外切,圆心在x轴上,且过点(3, - )的圆的方程”,如何求? 解 因为圆心在x轴上, 所以可设圆心坐标为(a,0),设半径为r, 则所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2, 变式探究 2将本例改为“若圆x2+y2-2x=0与圆x2+y2-8x-8y+m=0相外切”,试求实数m的值. 规律方法 处理两圆相切问题的两个步骤 定性 即必须准确把握是内切还是外切,若只是告诉相切,则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论 转化 思想 即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时) 探究点四　圆系方程及其应用 【例4】 求圆心在直线x-y-4=0上,且过两圆x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0的交点的圆的方程. 又圆x2+y2-4y-6=0的圆心不过直线x-y-4=0, 所以所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-6=0. 规律方法 1.当经过两圆的交点时,圆的方程可设为(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),然后用待定系数法求出λ.需验证圆x2+y2+D2x+E2y+F2=0是否符合条件. 2.对于此类问题首先要理解运算对象,然后选择好运算方法,设计好运算程序,最后求得运算结果. 变式训练3已知圆C1:x2+y2+6x-4=0与圆C2:x2+y2+6y-28=0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程; (2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程. 解 (1)将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程x2+y2+6x-4-(x2+y2+6y-28)=0,即x-y+4=0. (2)设所求圆的方程为x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0(λ≠-1), 又圆x2+y2+6y-28=0的圆心不在直线x-y-4=0上, 所以所求方程为x2+y2-x+7y-32=0. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)两圆的位置关系; (2)两圆的公共弦; (3)圆系方程; (4)圆与圆的综合性问题. 2.方法归纳:几何法、代数法. 3.常见误区:(1)容易将两圆内切和外切相混; (2)对各种圆系方程表示的含义不清晰. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 1.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2y=0相切,则实数m取值的集合为(　　) A.{-1,1} B.{-9,1} C.{1} D.{-8,2} B 1 2 3 4 2.(多选题)圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2:(x-m)2+(y+1)2=4外切,则m的值可以为(　　) A.2 B.-5 C.-2 D.5 AB 解析 圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9的圆心为(-2,m),半径为3,圆C2:(x-m)2+(y+1)2=4的圆心为(m,-1),半径为2. 即m2+3m-10=0,解得m=2或m=-5. 1 2 3 4 3.圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是　　　　　　　　　.  4x+3y-2=0 解析 两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y-2=0. 1 2 3 4 4.已知圆C:x2+y2-4=0与圆D:x2+y2-4x+2y+4=0交于A,B两点,则两圆公共弦AB所在直线的方程为　　　　　　　,公共弦长|AB|为　　　　　　　　. 2x-y-4=0 1 2 3 4 解析 因为圆C:x2+y2-4=0与圆D:x2+y2-4x+2y+4=0相交于A,B两点, 所以AB所在直线即为两圆公共弦所在的直线, 联立两圆的方程,消去x2和y2,可得4x-2y=8, 即2x-y-4=0, 故两圆公共弦所在的直线方程为2x-y-4=0. 因为圆C:x2+y2=4的圆心C(0,0),半径r=2, 1.几何法:圆O1:(x-x1)2+(y-y1)2=(r1>0),圆O2:(x-x2)2+(y-y2)2=(r2>0),两圆的圆心距d=|O1O2|=,则有 2.代数法:圆O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(-4F1>0),圆O2:x2+y2+D2x+ E2y+F2=0(-4F2>0),两圆的方程联立得方程组,则有 解 (x+2)2+(y-2)2=m的圆心为(-2,2),半径为,m>0. 将x2+y2-2x+4y-4=0化为(x-1)2+(y+2)2=9,圆心为(1,-2),半径为3. 所以圆心距为d==5. 又两圆相交,则|3-|<5<3+, 所以4<m<64,所以实数m的取值范围为(4,64). ∴|C1C2|==a. 解析 ∵x2+y2=a表示一个圆,∴a>0. 两圆的圆心、半径长分别为(0,0),与(-3,4),6. 由于两圆内切,则=|-6|, 解得a=121或a=1. 由 得AB的方程为4x=-2,即x=-. 所以AB的中点的坐标为. ∴kAB×1=-1,即=-1,得m=5, 【例3】 求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+y=0相切于点M(3,-)的圆的方程. 则=r+1.① 又所求圆过点M的切线为直线x+y=0, 故,② =r.③ 解由①②③组成的方程组得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-4,r=6. 故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36. 又因为与圆x2+y2-2x=0外切,且过点(3,-), 所以解得 所以圆的方程为(x-4)2+y2=4. 解 圆x2+y2-2x=0的圆心为A(1,0),半径为r1=1, 圆x2+y2-8x-8y+m=0的圆心为B(4,4),半径为r2=. 因为两圆相外切, 所以=1+,解得m=16. 解 (方法1)设经过两圆交点的圆系方程为x2+y2-4x-6+λ(x2+y2-4y-6)=0(λ≠-1), 即x2+y2-x-y-6=0,所以圆心坐标为. 又圆心在直线x-y-4=0上,所以-4=0,即λ=-. (方法2)由 得两圆公共弦所在直线的方程为y=x. 由解得 所以两圆x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0的交点坐标分别为A(-1,-1),B(3,3), 线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y-1=-(x-1). 由即所求圆的圆心坐标为(3,-1), 半径为=4. 所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16. 其圆心坐标为,代入直线x-y-4=0,解得λ=-7. 解析 由圆x2+y2-2y=0,得x2+(y-1)2=1,方程表示圆心为(0,1),半径等于1的圆. 圆心(0,1)到直线3x+4y+m=0的距离d=, ∵直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2y=0相切, ∴=1,解得m=1或m=-9, ∴实数m取值的集合为{-9,1}.故选B. 依题意有=3+2, 则圆心C到直线AB的距离为d=, 所以|AB|=2,则公共弦AB的长为. $$