第一单元长方体和正方体重难点突破（思维导航+方法技巧与总结+题型归纳与总结）（专项练习）-2024-2025学年六年级上册数学苏教版

长方体和正方体重难点突破 题型目录 题型一：长方体与正方体棱长和的运用 题型二：长方体与正方体的展开图 题型三：长方体与正方体图形计算 题型四：长方体与正方体的表面积 题型五：长方体与正方体的体积 题型六：体积不变问题 题型七：体积浸没问题 思维导图 1．长方体的特征 【知识点归纳】 长方体的特征： 1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同． 2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱． 3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高． 4．长方体相邻的两条棱互相垂直． 2．正方体的特征 【知识点归纳】 正方体的特征： ①8个顶点． ②12条棱，每条棱长度相等． ③相邻的两条棱互相垂直． 3．长方体的展开图 【知识点归纳】 长方体展开图形如下情况： 4．长方形、正方形的面积 【知识点归纳】 长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab 正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2． 【解题思路点拨】 （1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢． （2）其他求法可通过分割补，灵活性高． 5．长方体和正方体的表面积 【知识点归纳】 长方体表面积：六个面积之和． 公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S＝6a2．（a表示棱长） 6．长方体和正方体的体积 【知识点归纳】 长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长） 题型一：长方体与正方体棱长和的运用 典型例题 如果一个长方体的棱长总和是60厘米，那么相交于同一个顶点的所有棱长之和是（    ）厘米。 A．180 B．20 C．15 D．5 【变式1】 老师为同学们准备了如下小棒，用这些小棒不能搭成的长方体是（    ）。 小棒长度 9cm 7cm 4cm 根数 4 8 6 A． B． C． D． 【变式2】 一根52cm长的铁丝，正好可以焊成一个长为6cm、宽为4cm、高为（    ）的长方体框架。 A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【变式3】 有长度为4厘米的小棒6根，5厘米的小棒9根，用其中的12根做成一个长方体框架（连接点长度忽略不计），这个长方体框架的棱长总和是（    ）厘米。 A．44 B．54 C．56 D．69 题型二：长方体与正方体的展开图 典型例题 下面的图形中，（    ）是正方体的表面展开图。 A． B． C． D． 【变式1】 在下面的正方体展开图中，只有当动物和它喜欢的食物在正方体的相对面上时它才能吃到，下面图（    ）正方体中的动物不能吃到自己喜欢的食物。 A． B． C． D． 【变式2】 在正方体的展开图中（如图），1对面的数字是（    ）。 A．6 B．3 C．4 D．5 【变式3】 如图长方体的展开图是（    ）。 A． B． C． D． 题型三：长方体与正方体图形计算 典型例题 求出下面图形的表面积和体积。 【变式1】 下图是一个长方体的展开图，请计算它的表面积和体积。（单位：分米） 【变式2】 计算如图图形的表面积和体积。 【变式3】 计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 题型四：长方体与正方体的表面积 典型例题 一间教室的长是9m，宽是6m，高是3.5m，门窗的面积是21.5m2，要粉刷教室的四壁和屋顶，求粉刷的面积是多少平方米？如果每平方米需要8元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少钱？ 【变式1】 个长方体形状的游泳池，长40米，宽20米，深3米。要给游泳池的底面和四壁抹一层水泥，如果每平方米用水泥15千克，20吨水泥够不够用？ 【变式2】 一个长方体的表面积是210平方厘米，正好可以分成3个相同的正方体，每个小正方体的表面积是多少？ 【变式3】 王苼用一根铁丝做了一个体积是42立方厘米的长方体框架，这个长方体的长、宽、高都是整厘米数，且都是质数，如果用这根铁丝做一个正方体，这个正方体的表面积是多少平方厘米？（接头处忽略不计） 题型五：长方体与正方体的体积 典型例题 2022年北京冬奥会冰壶赛场通常每条赛道长约46米，宽5米，铺设约4.5厘米厚度的冰面。冰面体积是多少立方米？ 【变式1】 一块长方体石材长6分米，宽5分米，高4分米，如果每立方分米石材重2.7千克，这块石材重多少千克？ 【变式2】 两个完全一样的长方体拼成一个棱长是6厘米的正方体，原来每个长方体的体积是多少立方厘米？ 【变式3】 学校有一个长40分米，宽30分米，深5分米的沙坑，沙坑内的沙面离坑口1分米。这个沙坑的占地面积是多少平方米？沙坑内的沙有多少立方米？ 题型六：体积不变问题 典型例题 把一个棱长为8分米的正方体铁块熔化，铸成一个底面积为32平方分米的长方体铁块。这个长方体铁块的高是多少分米？ 【变式1】 修路队用沙子铺路。铺的路宽2米，厚3厘米，把216立方米的沙子均匀铺在路上，能铺多少米？ 【变式2】 美术课上王老师准备教同学们捏橡皮泥。他们把一个棱长是8厘米的正方体橡皮泥捏成了一个底面积是32平方厘米的长方体。这个长方体的高是多少？ 【变式3】 泥塑艺术是我国一种古老常见的民间艺术，它以泥土为原料，以手工捏制成形。小聪在泥塑课上把一个棱长为4厘米的正方体彩泥捏成了一个长是5厘米、宽是4厘米的长方体，捏成的长方体的高是多少厘米？ 题型七：体积浸没问题 典型例题 一个长方体玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米。如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 【变式1】 有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米，把两堆碎石分别沉在中、小池的水中，两个水池的水面分别升高了8厘米、6厘米。如果将这两块碎石都沉在大水池中，那么大水池水面将升高多少厘米？ 【变式2】 将一块不规则石块放入一个装有水的长方体容器中，容器的长8分米，宽5分米，高6分米，石块完全浸没在水中，这时水面上升了1.3分米，这块不规则的石块是多少立方分米？ 【变式3】 一个长30厘米、宽25厘米、高30厘米的玻璃缸中装有一些水，水深20厘米，完全浸没一个形状不规则的铁块后，水面高度上升到24厘米。这个铁块的体积是多少立方分米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长方体和正方体重难点突破 题型目录 题型一：长方体与正方体棱长和的运用 题型二：长方体与正方体的展开图 题型三：长方体与正方体图形计算 题型四：长方体与正方体的表面积 题型五：长方体与正方体的体积 题型六：体积不变问题 题型七：体积浸没问题 思维导图 1．长方体的特征 【知识点归纳】 长方体的特征： 1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同． 2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱． 3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高． 4．长方体相邻的两条棱互相垂直． 2．正方体的特征 【知识点归纳】 正方体的特征： ①8个顶点． ②12条棱，每条棱长度相等． ③相邻的两条棱互相垂直． 3．长方体的展开图 【知识点归纳】 长方体展开图形如下情况： 4．长方形、正方形的面积 【知识点归纳】 长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab 正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2． 【解题思路点拨】 （1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢． （2）其他求法可通过分割补，灵活性高． 5．长方体和正方体的表面积 【知识点归纳】 长方体表面积：六个面积之和． 公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S＝6a2．（a表示棱长） 6．长方体和正方体的体积 【知识点归纳】 长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长） 题型一：长方体与正方体棱长和的运用 典型例题 如果一个长方体的棱长总和是60厘米，那么相交于同一个顶点的所有棱长之和是（    ）厘米。 A．180 B．20 C．15 D．5 【答案】C 【分析】相交于同一个顶点的三条棱就是长方体的长、宽、高，求相交于同一个顶点的所有棱长之和，也就是求一组长、宽、高的和。根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用棱长总和除以4，即可解答。 【详解】60÷4＝15（厘米） 即相交于同一个顶点的所有棱长之和是15厘米。 故答案为：C 【变式1】 老师为同学们准备了如下小棒，用这些小棒不能搭成的长方体是（    ）。 小棒长度 9cm 7cm 4cm 根数 4 8 6 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】长方体特征长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其它四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱，据此逐项分析解答。 【详解】 A．，需要9cm小棒4根，7cm小棒8根；9cm小棒有4根，7cm小棒有8根；能搭成长方体； B．，需要9cm小棒4根，7cm小棒4根，4cm小棒4根；9cm小棒有4根，7cm小棒有8根，4cm小棒有6根，能搭成长方体； C．，需要7cm小棒7根，4cm小棒8根；7cm小棒有8根，4cm小棒有6根，不能搭成长方体； D．，需要7cm小棒8根，4cm小棒4根；7cm小棒有8根，4cm小棒有6根，能搭成长方体。 老师为同学们准备了如下小棒，用这些小棒不能搭成的长方体是。 小棒长度 9cm 7cm 4cm 根数 4 8 6 故答案为：C 【变式2】 一根52cm长的铁丝，正好可以焊成一个长为6cm、宽为4cm、高为（    ）的长方体框架。 A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】B 【分析】根据题意，用一根铁丝焊成一个长方体框架，那么这根铁丝的长度等于长方体的棱长总和； 根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，可知长方体的长、宽、高之和＝棱长总和÷4，然后用长、宽、高之和减去长、宽，即可求出这个长方体的高。 【详解】52÷4＝13（cm） 13－6－4＝3（cm） 长方体的高为3cm。 故答案为：B 【变式3】 有长度为4厘米的小棒6根，5厘米的小棒9根，用其中的12根做成一个长方体框架（连接点长度忽略不计），这个长方体框架的棱长总和是（    ）厘米。 A．44 B．54 C．56 D．69 【答案】C 【分析】根据长方体的特征，长方体有12条棱，相对的棱的长度相等，长方体有6个面，一般情况6个面都是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形。已知4厘米的小棒6根，5厘米的小棒9根，用其中的12根做成一个长方体框架，这个长方体的长、宽都是4厘米时，需要8根长4厘米的小棒，很显然这种情况不可能。那么这个长方体的长、宽都是5厘米，高是4厘米。根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，把数据代入公式解答。 【详解】（5＋5＋4）×4 ＝14×4 ＝56（厘米） 这个长方体的棱长总和是56厘米。 故答案为：C 题型二：长方体与正方体的展开图 典型例题 下面的图形中，（    ）是正方体的表面展开图。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正方体的展开图类型： （1）“1—4—1”型：中间4个一连串，两边各一随便放； （2）“2—3—1”型：二三紧连错一个，三一相连一随便； （3）“2—2—2”型：两两相连各错一； （4）“3—3”型：三个两排一对齐；据此判断。 【详解】 A．符合“1—4—1”型，是正方体的展开图； B．不符合正方体的展开图类型，不是正方体的展开图； C．不符合正方体的展开图类型，不是正方体的展开图； D．不符合正方体的展开图类型，不是正方体的展开图。 故答案为：A 【变式1】 在下面的正方体展开图中，只有当动物和它喜欢的食物在正方体的相对面上时它才能吃到，下面图（    ）正方体中的动物不能吃到自己喜欢的食物。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体展开图，结合正方体展开图找对面的规律：在通过正方体展开图形找相对面时，首先在同层中隔一面寻找，再在异层中，隔两面寻找，剩下的两面自然相对。选项A1对4，2对3，鱼对猫；选项B1对3，2对4，桃对猴；选项C1对胡萝卜，2对4，3对兔子；选项D1对3，2对4，羊对草。据此选择即可。 【详解】 根据正方体展开图，结合正方体展开图找对面的规律可知，正方体中的动物不能吃到自己喜欢食物的是。 故答案为：C 【变式2】 在正方体的展开图中（如图），1对面的数字是（    ）。 A．6 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1—4—1”型，折成正方体后，1和6相对，2和4相对，3和5相对。据此解答。 【详解】在正方体的展开图中（如图），1对面的数字是6。 故答案为：A 【变式3】 如图长方体的展开图是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可以从长方体的展开图的特点进行分析，例如相对的两个面，在展开图中不能相邻，相对的面的大小形状相同等特点，据此解答。 【详解】A．选项的展开图可以折回长方体。 B．相对的面不可能相邻，则展开图无法折叠成长方体。 C．上、下两个长方形的宽与相邻的长度不相同，则展开图无法折叠成长方体； D．左边的长方形作上面，缺少对应的下面，则展开图无法折叠成长方体。 故答案为：A 题型三：长方体与正方体图形计算 典型例题 求出下面图形的表面积和体积。 【答案】长方体：表面积128平方厘米；体积96立方厘米 正方体：表面积216平方分米；体积216立方分米 【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此代入数据解答即可。 【详解】长方体表面积： （平方厘米） 长方体体积： （立方厘米） 正方体表面积： （平方分米） 正方体体积： （立方分米） 【变式1】 下图是一个长方体的展开图，请计算它的表面积和体积。（单位：分米） 【答案】68平方分米；40立方分米 【分析】观察展开图，共5个面，表面积即为5个面的面积和。展开图折叠成长方体可以看作长为4分米、宽为2分米、高为5分米无上底面的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高进行计算。 【详解】4×5×2＋2×5×2＋2×4 ＝40＋20＋8 ＝68（平方分米） 4×2×5＝40（立方分米） 它的表面积是68平方分米，体积是40立方分米。 【变式2】 计算如图图形的表面积和体积。 【答案】328平方分米；336立方分米 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，先算出正方体和长方体的表面积再加起来，再减去长方体和正方体相连那里的两个正方形的面积，算出来就是这个图形的表面积。 根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，算出正方体和长方体的体积再相加，就可以求出这个图形的体积。据此解答。 【详解】表面积： 6×6×6＝216（平方分米） （2×6＋2×10＋6×10）×2 ＝（12＋20＋60）×2 ＝92×2 ＝184（平方分米） 6×6×2＝72（平方分米） 216＋184－72＝328（平方分米） 体积： 6×6×6＋2×6×10 ＝216＋120 ＝336（立方分米） 【变式3】 计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】表面积：378平方厘米 体积：424立方厘米 【分析】这个组合图形的表面积＝长方体表面积＋正方体4个面的面积，这个组合图形的体积＝长方体体积＋正方体体积，据此解答即可。 【详解】表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 题型四：长方体与正方体的表面积 典型例题 一间教室的长是9m，宽是6m，高是3.5m，门窗的面积是21.5m2，要粉刷教室的四壁和屋顶，求粉刷的面积是多少平方米？如果每平方米需要8元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少钱？ 【答案】137.5平方米；1100元 【分析】要计算教室需要粉刷的面积，需要分别计算出屋顶和四壁的面积，然后再减去门窗的面积。屋顶的面积为长乘宽，四壁的面积为两个长乘高的面加上两个宽乘高的面。计算出总面积后，乘每平方米的涂料费就能得出总花费。 【详解】屋顶面积：9×6＝54（平方米） 四壁面积： 前后两个面（长乘高）：2×9×3.5＝63（平方米） 左右两个面（宽乘高）：2×6×3.5＝42（平方米） 总面积：54＋63＋42＝159（平方米） 粉刷面积：159－21.5＝137.5（平方米） 花费：137.5×8＝1100（元） 答：粉刷的面积是137.5平方米，粉刷这个教室需要花费1100元。 【变式1】 个长方体形状的游泳池，长40米，宽20米，深3米。要给游泳池的底面和四壁抹一层水泥，如果每平方米用水泥15千克，20吨水泥够不够用？ 【答案】够用 【分析】因为游泳池无盖，在游泳池四周和底面抹一层水泥，用长方体表面积公式：S＝2ab＋2ah＋2bh减去一个上底面积，代入数据求出该游泳池需要抹水泥的面积即可； 再用求出的需要抹水泥的面积乘每平方米的水泥用量15千克，求出总共需要的水泥千克数； 最后，由高级单位吨转换成低级单位千克，乘进率1000，将20吨水泥转换成以千克为单位，和需要的水泥千克数进行比较即可求出水泥够用不够用。 【详解】由分析可得： 2×40×20＋2×40×3＋2×20×3－40×20 ＝80×20＋80×3＋40×3－800 ＝1600＋240＋120－800 ＝1840＋120－800 ＝1960－800 ＝1160（平方米） 1160×15＝17400（千克） 20吨＝20×1000＝20000（千克） 20000＞17400，所以20吨水泥够用。 答：20吨水泥够够用。 【变式2】 一个长方体的表面积是210平方厘米，正好可以分成3个相同的正方体，每个小正方体的表面积是多少？ 【答案】90平方厘米 【分析】3个相同小正方体一共有18个面，因为切了两刀，所以有4个面是新增的，那原来的长方体的表面积等于14个面的面积，一个面的面积就可以用210除以14，再乘上6就可以算出小正方体的表面积。 【详解】3×6－（3－1）×2 ＝18－2×2 ＝18－4 ＝14（个） 正方体：210÷14×6 ＝15×6 ＝90（平方厘米） 答：每个小正方体的表面积是90平方厘米。 【变式3】 王苼用一根铁丝做了一个体积是42立方厘米的长方体框架，这个长方体的长、宽、高都是整厘米数，且都是质数，如果用这根铁丝做一个正方体，这个正方体的表面积是多少平方厘米？（接头处忽略不计） 【答案】96平方厘米 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，这个长方体的长、宽、高都是整厘米数，且都是质数，那么把42分解质因数即可得到长方体的长、宽、高。长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，据此代入数据求出这根铁丝的长度，即正方体的棱长之和。正方体有12条棱，且长度都相等，用棱长之和除以12可以求出正方体的棱长。正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此代入求得的棱长，求出它的表面积。 【详解】42＝2×3×7，长方体的长、宽、高分别是2厘米、3厘米、7厘米。 （2＋3＋7）×4 ＝12×4 ＝48（厘米） 48÷12＝4（厘米） 4×4×6＝96（平方厘米） 答：这个正方体的表面积是96平方厘米。 题型五：长方体与正方体的体积 典型例题 2022年北京冬奥会冰壶赛场通常每条赛道长约46米，宽5米，铺设约4.5厘米厚度的冰面。冰面体积是多少立方米？ 【答案】10.35立方米 【分析】由题意知，冰面可看作一个长方体，长、宽、高分别为46米、5米、4.5厘米。将单位统一成“米”之后，代入公式“长方体体积＝长×宽×高”计算即可。 【详解】4.5厘米＝0.045米 46×5×0.045 ＝230×0.045 ＝10.35（立方米） 答：冰面体积是10.35立方米。 【变式1】 一块长方体石材长6分米，宽5分米，高4分米，如果每立方分米石材重2.7千克，这块石材重多少千克？ 【答案】324千克 【分析】先根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这块石材的体积；因为每立方分米石材重2.7千克，用这块石材的体积乘2.7，即可求出这块石材重多少千克。 【详解】6×5×4＝120（立方分米） 120×2.7＝324（千克） 答：这块石材重324千克。 【变式2】 两个完全一样的长方体拼成一个棱长是6厘米的正方体，原来每个长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】108立方厘米 【分析】每个长方体的体积相当于正方体体积的一半。先根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，得出正方体的体积，再除以2即可。 【详解】6×6×6÷2 ＝216÷2 ＝108（立方厘米） 答：原来每个长方体的体积是108立方厘米。 【变式3】 学校有一个长40分米，宽30分米，深5分米的沙坑，沙坑内的沙面离坑口1分米。这个沙坑的占地面积是多少平方米？沙坑内的沙有多少立方米？ 【答案】12平方米；4.8立方米 【分析】先把沙坑的长、宽、高的单位分米换算成米，然后根据长方形的面积＝长×宽，求出沙坑的占地面积；沙坑深5分米，沙坑内的沙面离坑口1分米，则沙子的高度是5－1＝4分米，然后根据长方体的体积＝长×宽×高，据此代入数值进行计算即可求出沙的体积。 【详解】40分米＝4米 30分米＝3米 5分米＝0.5米 1分米＝0.1米 4×3＝12（平方米） 4×3×（0.5－0.1） ＝12×0.4 ＝4.8（立方米） 答：这个沙坑的占地面积是12平方米，沙坑内的沙有4.8立方米。 【点睛】本题考查长方体的体积，明确沙子的高度是解题的关键。 题型六：体积不变问题 典型例题 把一个棱长为8分米的正方体铁块熔化，铸成一个底面积为32平方分米的长方体铁块。这个长方体铁块的高是多少分米？ 【答案】16分米 【分析】正方体熔铸成长方体，体积不变，即正方体的体积和长方体的体积相等。先根据公式：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体的体积即长方体的体积；再根据高＝长方体的体积÷底面积，代入数据计算，即可求出这个长方体铁块的高，据此解答。 【详解】8×8×8÷32＝16（分米） 答：这个长方体铁块的高是16分米。 【变式1】 修路队用沙子铺路。铺的路宽2米，厚3厘米，把216立方米的沙子均匀铺在路上，能铺多少米？ 【答案】3600米 【分析】根据题意，可把铺的路看做长方体，根据长方体的体积公式：长方体的体积＝长×宽×高，用体积除以宽再除以厚度，代入数据计算，即可解答。注意单位要统一。 【详解】3厘米＝0.03米 216÷2÷0.03 ＝108÷0.03 ＝3600（米） 答：能铺3600米。 【变式2】 美术课上王老师准备教同学们捏橡皮泥。他们把一个棱长是8厘米的正方体橡皮泥捏成了一个底面积是32平方厘米的长方体。这个长方体的高是多少？ 【答案】16厘米 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据求出正方体的体积；再根据长方体的体积＝底面积×高，用橡皮泥的体积除以底面积，即可求出长方体的高。 【详解】8×8×8÷32 ＝512÷32 ＝16（厘米） 答：这个长方体的高是16厘米。 【变式3】 泥塑艺术是我国一种古老常见的民间艺术，它以泥土为原料，以手工捏制成形。小聪在泥塑课上把一个棱长为4厘米的正方体彩泥捏成了一个长是5厘米、宽是4厘米的长方体，捏成的长方体的高是多少厘米？ 【答案】3.2厘米 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入相应数值计算出正方体彩泥的体积；把它捏成一个长方体，体积不变，利用长方体的高＝体积÷（长×宽），代入数值计算，据此解答。 【详解】4×4×4＝64（立方厘米） 64÷（5×4） ＝64÷20 ＝3.2（厘米） 答：捏成的长方体的高是3.2厘米。 题型七：体积浸没问题 典型例题 一个长方体玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米。如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 【答案】6.4升 【分析】观察发现，玻璃缸溢出水的体积＝正方体铁块的体积－玻璃缸还能装水的体积。玻璃缸的高是4分米，水深2.8分米，说明还可以装4－2.8＝1.2（分米）高的水。分别计算出还能装水的体积及正方体铁块的体积，就可以算出溢出水的体积。据此解答即可。 【详解】4×4×4－8×6×（4－2.8） ＝64－48×1.2 ＝64－57.6 ＝6.4（立方分米） 6.4立方分米＝6.4升 答：缸里的水溢出6.4升。 【变式1】 有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米，把两堆碎石分别沉在中、小池的水中，两个水池的水面分别升高了8厘米、6厘米。如果将这两块碎石都沉在大水池中，那么大水池水面将升高多少厘米？ 【答案】6厘米 【分析】根据题意，升高的水的体积就等于沉入水池内碎石的体积。结合正方体的体积公式：，首先设大水池水面上升的高度为x厘米，由于两堆碎石体积和不变，即两个水池的水面上升的体积等于大水池水面上升的体积，可以根据这一等量关系列出方程：4×4×x＝3×3×8＋2×2×6，解得x即可。 【详解】解：设大水池水面上升的高度为x厘米。 4×4×x＝3×3×8＋2×2×6 16x＝72＋24 16x＝96 16x÷16＝96÷16 x＝6 答：大水池水面将升高6厘米。 【变式2】 将一块不规则石块放入一个装有水的长方体容器中，容器的长8分米，宽5分米，高6分米，石块完全浸没在水中，这时水面上升了1.3分米，这块不规则的石块是多少立方分米？ 【答案】52立方分米 【分析】将一块不规则石块放入一个装有水的长方体容器中，石块完全浸没在水中，石块的体积等于上升的水的体积，上升的水的的体积＝长方体容器的长×长方体容器的宽×水面上升的高度，据此代入数据解答。 【详解】8×5×1.3 ＝40×1.3 ＝52（立方分米） 答：这块不规则的石块是52立方分米。 【变式3】 一个长30厘米、宽25厘米、高30厘米的玻璃缸中装有一些水，水深20厘米，完全浸没一个形状不规则的铁块后，水面高度上升到24厘米。这个铁块的体积是多少立方分米？ 【答案】3立方分米 【分析】不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，再结合长方体的体积公式：V＝abh，据此进行计算即可。 【详解】30×25×（24－20） ＝30×25×4 ＝750×4 ＝3000（立方厘米） 3000立方厘米＝3立方分米 答：这个铁块的体积是3立方分米。 学科网（北京）股份有限公司 $$