第2节 简谐运动的描述-【优化探究】2025-2026学年新教材高中物理选择性必修1同步导学案配套PPT课件（粤教版）

第二节　简谐运动的描述 第二章　机械振动 [学习目标]　1.了解简谐运动的函数表达式中各量的物理意义,能根据运动情况写出简谐运动的函数表达式(重难点)。 2.了解初相位和相位差的概念,理解相位的物理意义,能依据简谐运动的表达式描绘振动图像(难点)。 课时作业 巩固提升 要点1　简谐运动的函数描述 要点2　简谐运动的图像描述 要点3　简谐运动的周期性与对称性 内容索引 要点1　简谐运动的函数描述 一 4 梳理 必备知识 自主学习 1．简谐运动位移—时间图像的函数表达式为x＝_____________，式中A为简谐运动的振幅，ω为简谐运动的角频率。 2．ω与周期T或者频率f的关系为ω＝______＝______。 A cos (ωt＋φ) 2πf [思考与讨论] 两同学合作得到振子的位移遵循x=5sin(8πt+π)cm的规律,那么这是简谐运动吗?振幅和周期为多少? 提示:是;5 cm;0.25 s。 对表达式x=Acos(ωt+φ)的理解 (1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。 (2)通过简谐运动的函数描述可得出简谐运动的振幅、周期、频率等物理量。 (3)从表达式x=Acos(ωt+φ)体会简谐运动的周期性,当Δφ=(ωt2+φ)-(ωt1+φ)=2nπ时,Δt=nT,振子位移相同,每经过一个周期T完成一次全振动。 归纳 关键能力 合作探究 [例1]　(多选)(2023·广东广州高二月考)如图所示,水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动,坐标原点O为振子的平衡位置,其振动方程为x=5cos(10πt)cm。下列说法正确的是(　　) A.M、N间距离为5 cm B.振子的振动周期是0.2 s C.t=0时,振子位于N点 D.t=0.05 s时,振子具有最大加速度 BC M、N间距离为2A=10 cm,选项A错误;因为ω=10π rad/s,可知振子的振动周期T== s=0.2 s,选项B正确;由x=5cos(10πt)cm可知,t=0时,x=5 cm,即振子位于N点,选项C正确;t=0.05 s时,x=0,此时振子在O点,加速度为零,选项D错误。 [例2]　弹簧振子做简谐运动,振幅为0.4 cm,周期为0.5 s,计时开始时具有正向最大加速度,则它的位移公式是(　　) A.x=8×1cos(4πt+π)m B.x=4×10-3cos(4πt+π)m C.x=8×10-3cos(2πt+π)m D.x=4×10-3cos(2πt-π)m B t=0时刻振子具有正向最大加速度,说明此时振子的位移是负向最大,则在位移公式x=Acos(ωt+φ)中,φ=±π,角频率ω== rad/s=4π rad/s,振幅A=0.4 cm=4×10-3 m,故位移公式为x=0.4cos(4πt±π)cm=4×10-3cos (4πt±π)m,故选项B正确。 方法总结 1.首先明确表达式x=Acos(ωt+φ)中各物理量的物理意义。 2.其次明确振幅、周期、频率的对应关系,其中T=,f=。 3.最后把确定的物理量与所需要解决的问题相对应,找到物理量之间的关系。 [针对训练]　1.某质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为x=3sin(t+)cm,则(　　) A.质点的振幅为3 m B.质点的振动周期为 s C.t=0.75 s时,质点到达距平衡位置最远处 D.质点前2 s内的位移为-4.5 cm D 从关系式可知A=3 cm,ω= rad/s,故周期为T==3 s,故A、B错误;t=0.75 s时,质点的位移为x=3sin(×0.75+)cm=0,质点在平衡位置处,故C错误;在t=0时刻质点的位移x=3 cm,2 s时质点的位移x'=3sin(×2+)cm= -1.5 cm,故前2 s内质点的位移为-4.5 cm,故D正确。 二 要点2　简谐运动的图像描述 15 1．x＝cos (ωt＋φ)中的ωt＋φ叫作相位，而对应t＝0时的相位____叫作初相位，简称初相。 2．对于频率相同、相位不同的振子，我们通过对比它们的相位差来比较它们的振动______关系。 3．若相位差用Δφ表示，则Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝____________。 梳理 必备知识 自主学习 φ 先后 φ1－φ2 [思考与讨论] P、Q两质点做简谐运动的x-t函数表达式分别为x1=A1cos t,x2=A2cos(t+),如图所示为二者的振动曲线,试思考以下问题: (1)P、Q两质点的相位差为多少? 提示:(1)Δφ=-。 (2)P在T时刻达到正的最大位移处,而Q在T时刻即达到正的最大位移处,代表P比Q振动超前还是滞后,相差多长时间(用周期表示)。 提示: (2)P比Q振动滞后T。 (3)P、Q两质点振动的相位差随时间变化吗?相位差有何意义? 提示: (3)相位差是绝对的,不随时间的变化而变化。相位差表示两个频率相同的简谐运动的振动先后关系。 由简谐运动的图像获取的信息 (1)简谐运动的周期、频率、相位、振幅。 (2)某一时刻质点的位移的大小和方向。 归纳 关键能力 合作探究 [例3]　如图甲所示,一弹簧振子在A、B之间做简谐运动,O点为振子静止的位置,其振动图像如图乙所示,规定向右的方向为正方向,试根据图像分析以下问题: (1)在t=0时刻,振子所处的位置为　　　　点,正在向　　　　(选填“左”或“右”)运动。  (1)由振动图像知,t=0时,x=0,表示振子位于平衡位置,即O点。在0~1 s内,振动位移x>0,且逐渐增大,表示t=0时,振子正在向正方向运动,即向右运动。 O 右 (2)该简谐运动的周期为　　　 s,振幅为　　　 cm。   (2)由题图乙知,振子的周期为4 s,振幅为3 cm。 4 3 (3)在图乙中,振子在t=1 s、t=2 s和t=3 s时所处的位置依次是　　　　、　　　　和　　　　。  (3)t=1 s时,x=3 cm,振子位于B点;t=2 s时,x=0,振子位于平衡位置O点;t=3 s时,x=-3 cm,振子位于A点。 B点 O点 A点 (4)在t=2 s时,振子速度的方向与t=0时速度的方向　　　　(选填“相同”或“相反”)。  (4)在t=2 s时,x-t图像的斜率为负,表示向负方向运动,即向左运动,与t=0时速度的方向相反。 相反 (5)振子在前4 s内的位移等于　　　　 cm,其路程为　　　　 cm。  (5)在t=4 s时,振子又回到了平衡位置,故位移Δx=0,其路程为s=3×4cm =12 cm。 0 12 (6)该弹簧振子的位移—时间函数表达式为　　　　　　　　。  (6)由题图乙可知弹簧振子的位移—时间表达式满足x=Asin t,代入数据得x=3sin(t)cm。 x=3sin(t)cm [例4]　如图甲所示为以O点为平衡位置,在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子,图乙为这个弹簧振子的振动图像,以向右为正方向,由图可知下列说法中正确的是(　　) A.在t=0.2 s时刻,弹簧振子运动到O位置 B.在t=0.1 s与t=0.3 s两个时刻,弹簧振子的速度相同 C.从t=0到t=0.2 s的时间内,弹簧振子的动能持续减小 D.在t=0.2 s与t=0.6 s两个时刻,弹簧振子的加速度相同 C 由题图知,t=0时,弹簧振子位于平衡位置,在t=0.2 s时刻,弹簧振子运动到B位置,故A错误;在t=0.1 s与t=0.3 s 两个时刻,弹簧振子的速度大小相等,方向相反,故B错误;从t=0到t=0.2 s的时间内,弹簧振子的位移越来越大,弹性势能越来越大,其动能越来越小,故C正确;在t=0.2 s与t=0.6 s两个时刻,弹簧振子的加速度大小相等,方向相反,故D错误。 三 要点3　简谐运动的周期性与对称性 29 简谐运动是一种周期性的运动,简谐运动的物理量随时间周期性变化,如图所示,物体在A、B两点间做简谐运动,O点为平衡位置,OC=OD。 (1)时间的对称 ①物体来回通过相同两点间的时间相等,即tDB=tBD。 ②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等,图中tDB=tBD=tCA=tAC,tOD=tDO=tOC=tCO。 (2)速度的对称 ①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等、方向相反。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时,速度大小相等,方向可能相同,也可能相反。 (3)位移的对称 ①物体经过同一点(如C点)时,位移相同。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时,位移大小相等、方向相反。 [例5]　(2023·广东广州高二期中)如图所示,一个做简谐运动的质点,先后以同样大小的速度通过相距10 cm的A、B两点,历时0.5 s,过B点后再经过t=0.5 s质点以方向相反、大小相等的速度再次通过B点,则质点振动的周期是(　　) A.0.5 s　　　　　　 B.1.0 s C.2.0 s D.4.0 s C 做简谐运动的质点,先后以同样大小的速度通过A、B两点,则可判定这两点关于平衡位置O点对称,所以质点由A到O的时间与由O到B的时间相等,那么从平衡位置O到B点的时间为 t1= s=0.25 s,因过B点后再经过t=0.5 s质点以方向相反、大小相等的速度再次通过B点,则从B点到最大位移处的时间为 t2= s=0.25 s,因此质点振动的周期是 T=4(t1+t2)=2.0s ,故选C。 [例6]　(多选)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动,从小球通过O点时开始计时,小球第一次到达M点用了0.3 s,又经过0.2 s第二次通过M点,则小球第三次通过M点还要经过的时间可能是(　　) A. s B. s C.1.4 s D.1.6 s AC 假设弹簧振子在B、C之间振动,M点在O点的右侧,如图甲,若小球开始先向左振动,小球的振动周期为T=×4 s= s,则小球第三次通过M点还要经过的时间是t= s-0.2 s= s。如图乙,若小球开始先向右振动,小球的振动周期为T=4×(0.3+)s=1.6 s,则小球第三次通过M点还要经过的时间是t=1.6 s-0.2 s=1.4 s。综上所述,A、C正确。 方法总结 1.周期性造成多解:物体经过同一位置可以对应不同的时刻,物体的位移、加速度相同,而速度可能相同,也可能等大反向,这样就形成简谐运动的多解问题。 2.对称性造成多解:由于简谐运动具有对称性,因此当物体通过两个对称位置时,其位移、加速度大小相同,而速度可能相同,也可能等大反向,也会形成多解问题。 [针对训练]　2.如图所示,弹簧振子在振动过程中,振子经过a、b两点时的速度相同,若它从a经O到b历时0.2 s,然后从b再回到a的最短时间为0.4 s,则该振子的振动频率为(　　) A.1 Hz　　　　　　 B.1.25 Hz C.2 Hz D.2.5 Hz B 振子经过a、b两点时的速度相同,根据弹簧振子的运动特点可知,a、b两点相对平衡位置O一定是对称的,振子由b经O到a所用的时间也是0.2 s,由于“从b再回到a的最短时间为0.4 s”,即振子运动到b后第一次回到a点所用时间为0.4 s,且Ob不是振子振动过程中相对平衡位置的最大位移。设图中的c、d点为振动过程中相对平衡位置的最大位移处,则振子从b经c到b历时0.2 s,同理,振子从a经d到a也历时0.2 s,故该振子的周期T=0.8 s,根据周期和频率互为倒数的关系,就可以确定该振子的振动频率为1.25 Hz,B正确。 四 课时作业 巩固提升 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 [A组　基础巩固练] 1.(多选)(2023·广东汕头高二期末)如图为A、B两个简谐运动的位移—时间图像,由该图像可知A、B两个简谐运动的(　　) A.振幅之比为2∶1 B.周期之比为2∶1 C.频率之比为2∶1 D.0~8 s内振子通过的路程之比为2∶1 AC 由图可知,A的振幅为2 m,B的振幅为1 m,则振幅之比为2∶1,故A正确;由图可知,A的周期为4 s,B的周期为8 s,则周期之比为1∶2,故B错误;A的频率为fA=Hz,B的频率为fB=Hz,则频率之比为2∶1,故C正确;A在0~8 s内即两个周期内通过的路程为sA=2×4A=2×4×2 m=16 m,B在0~8 s内即一个周期内通过的路程为sB=4A=4×1 m=4 m,则0~8 s内 振子通过的路程比为4∶1,故D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2.有两个简谐运动的振动方程:x1=6sin(100πt+)cm,x2=6sin(100πt+)cm,则下列说法错误的是(　　) A.它们的振幅相同 B.它们的周期相同 C.它们的相位差恒定 D.它们的振动步调一致 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 D 由两振动方程知,它们的振幅都为6 cm,周期都为T== s=0.02 s,相位差恒定,为Δφ=,故A、B、C正确;由于它们的相位不同,故振动步调不一致,D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3.有一竖直的弹簧振子,小球静止时弹簧伸长量为L。现将小球从平衡位置O下拉一段距离A,由静止释放并开始计时。已知小球做简谐运动的周期为 T,以O点为坐标原点,取竖直向下为正方向,则小球的位移x随时间t变化的表达式为(　　) A.x=Asin(t+) B.x=Asin(t-) C.x=(L+A)sin(t-) D.x=(L+A)sin(t+) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 A 已知小球做简谐运动的周期为 T,所以 ω= 由题意知小球在t=0时位移为A,所以小球的初相 φ= 则小球的位移x随时间t变化的表达式为 x=Asin(t+),故选A。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4.(多选)如图所示,A、B为两个简谐运动的振动图像。下列说法正确的是(　　) A.A、B之间的相位差是 B.A、B之间的相位差是π C.B比A超前 D.A比B超前 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 AD 由题图可知A比B超前,相位差为Δφ=,选项A、D正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 5.某弹簧振子在水平方向上做简谐运动,周期T=1.8 s,它的振动图像如图所示,图线上的P点对应的时刻为tP。下列说法正确的是(　　) A.tP时刻振子的运动方向沿x轴负向 B.tP=3.3 s C.0~tP内振子所经过的路程为21 cm D.0~tP内振子运动的位移为3 cm 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 B 由题图可知,tP时刻振子的运动方向沿x轴正向,故A错误;由题图可知xP=6cos(tP) cm=3 cm,又T<tP<2T,联立解得tP=T=×1.8 s=3.3 s,故B正确;由题图可知,0~tP内振子所经过的路程为s=4×6 cm+3×6 cm+3 cm=45 cm,故C错误;0~tP内振子运动的位移为Δx=3 cm-6 cm=-3 cm,故D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 6.甲、乙两物体各自做简谐运动,某时刻开始计时,它们的振动方程分别为x甲=3asin(4πbt+),x乙=2asin(8πbt+)。下列说法正确的是(　　) A.甲、乙的振幅之比为2∶3 B.甲、乙的振动频率之比为2∶1 C.各自的一个周期内,甲、乙运动的路程之差为4a D.t=0 时,甲、乙的相位差为π 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 C 甲、乙的振幅之比为3a∶2a=3∶2,故A错误;甲、乙的周期分别为T1==,T2==,频率与周期的关系为f=,则甲、乙的振动频率之比为1∶2,故B错误;各自的一个周期内,甲运动的路程s1=4×3a=12a,乙运动的路程为s2=4×2a=8a,路程差为Δs=s1-s2=4a,故C正确;t=0时,甲相位为,乙相位为,相位差为,故D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 [B组　综合强化练] 7.(多选)一质点做简谐运动,先后以相同速度依次经过A、B两点,历时3 s,再经过3 s第二次经过B点,在这6 s内质点通过的总路程为60 cm,则该质点的(　　) A.周期可以是12 s B.周期可以是15 s C.振幅可以是30 cm D.振幅可以是12 cm 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 AC 设简谐运动的平衡位置为O,A、B两点分别在O点的左右两侧,质点先后以相同的速度通过A、B两点,说明A、B两点关于平衡位置O点对称,所以质点由A到O的时间与由O到B的时间相等,那么从平衡位置O点到B点的时间 t1=1.5 s;因过B点后质点再经过t=3 s又第二次通过B点,根据对称性可知质点从B点到最大位移处的时间 t2=1.5 s,因此质点振动的周期是T=4×(t1+t2)=12 s,质点做简谐运动时,每个周期内通过的路程是4A,由于t'=6 s=T,质点通过的路程为2A,即2A=60 cm,所以振幅A=30 cm,故选A、C。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 8.(多选)一水平弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示,则(　　) A.振子的振幅等于0.5 cm B.在前4 s内振子做了1.75次全振动 C.在前4 s内振子通过的路程为3.5 cm D.图中A点对应时刻振子的速度方向指向x轴的正方向 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 AD 由弹簧振子的振动图像可知,该振子的振幅A=0.5 cm,故A正确;根据弹簧振子的振动图像可知,其振动周期为2 s,即完成一次全振动的时间为2 s,则在前4 s内振子做了2次全振动,故B错误;振子在前4 s内做了2次全振动,则在前4 s内振子通过的路程为s=2×4A=8A=4 cm,故C错误;图中A点对应时刻弹簧振子正远离平衡位置,则可知其速度方向指向x轴的正方向,故D正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 9.一水平弹簧振子做简谐运动,其位移与时间的关系如图所示。 (1)写出该简谐运动的周期 T、振幅 A 的大小; 答案:(1)0.8 s　2 cm　 (1)由图像可知周期T=0.8 s,振幅A=2 cm。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (2)写出该简谐运动的表达式; 答案: (2)x=2sin(t) cm　 (2)周期T=0.8 s,则 ω== rad/s= rad/s 由简谐运动表达式x=Asin ωt可得 x=2sin(t) cm。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (3)计算振子在 0~3.6 s内通过的路程。 答案: (3)36 cm (3)在0~3.6 s内,经过的周期数 n===4.5 则在0~3.6 s内,振子通过的路程为 s=4×4A+2A=18A=18×2 cm=36 cm。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 [C组　培优选做练] 10.如图甲所示,弹簧振子的平衡位置为O点,振子在B、C两点之间做简谐运动,B、C相距0.2 m。小球经过B点时开始计时,在第一个周期内的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (1)求小球振动的周期和振幅; 答案:(1)1.00 s　0.1 m　 (1)周期T=1.00 s(或1 s),振幅A=0.1 m。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (2)求小球振动的初相位φ0,并根据上述信息写出小球在任意时刻t的位移x的函数表达式; 答案: (2)　x=0.1sin(2πt+)m 　 (2)设振动方程为 x=Asin(t+φ0) 由图给信息可得 φ0= 可得小球在任意时刻t的位移x的函数表达式为 x=0.1sin(2πt+)m。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (3)求4.5 s内小球通过的路程及4.5 s末小球的位移。 答案: (3)1.8 m　-0.1 m (3)在时间t=4.5 s内,小球做全振动的次数n= 1次全振动的路程s1=4A n次全振动的路程s=ns1 解得s=1.8 m 4.5 s末小球位于C点,其位移为 x=-0.1 m。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 $$