第2章简单事件的概率 培优题突破练习　【4个考点30题专练】【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级上册

第2章简单事件的概率 培优题突破练习★★★【4个考点30题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级上册 一．可能性的大小 二．概率公式 三．游戏公平性 四．利用频率估计概率 · 知识点梳理 · 可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． · 概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． · 概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． · 利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 一．可能性的大小 1．（2009秋•宣武区期末）（1）把一个木制正方体的表面涂上红颜色，然后将其分割成64个大小相同的小正方体，如图所示．若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体，其两面涂有红色的可能性为 　　；各面都没有红色的可能性为 　　； （2）若将大正方体用同样的方法分割成为正整数，个大小相同的小正方体，试分别回答上面两个问题． 二．概率公式 2．（2019•拱墅区校级模拟）这是一个古老的传说，讲一个犯人利用概率来增加他得到宽恕的机会．给他两个碗，一个里面装着5个黑球，另一个里面装着除颜色不同外其它都一样的5个白球．把他的眼睛蒙着，然后要选择一个碗，并从里面拿出一个球，如果他拿的是黑球就要继续关在监狱里面，如果他拿的是白球，就将获得自由．在蒙住眼睛之前允许他把球混合，重新分装在两个碗内（两个碗球数可以不同）．你能设想一下这个犯人怎么做，使得自己获得自由的机会最大？则犯人获得自由的最大机会是　　 A． B． C． D． 3．（2019•云霄县一模）如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，则，，，四个点中，任选一个符合条件的点的概率是　　 A． B． C． D．1 4．（2024•宁波模拟）六张完全相同的卡片背面分别画有等腰直角三角形、圆形、平行四边形、矩形、菱形、正方形，将正面朝上放在桌面上，从中随机抽取一张，所抽取的卡片上的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 A． B． C． D． 5．（2023春•晋中期末）某高校6名大学生（其中4名男生，2名女生）有幸成为2023太原国际马拉松赛志愿者，现要从这6名志愿者中随机抽取1名同学负责某补给站能量物资的发放工作，恰好选中女生的概率是　　 A． B． C． D． 6．（2024春•乐平市期末）设是从集合，2，3，，99，中任意抽取的一个数，则的末位数字是7的概率是 　　． 7．（2008•成都）如果是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，那么关于的一元二次方程有实数根的概率为　　． 8．（2022•市中区校级模拟）从3，，0，1，这五个数中任意取出一个数记作，则既能使函数的图象经过第二、第四象限，又能使关于的一元二次方程的根的判别式小于零的概率为 　　． 9．（2015秋•大邑县期末）从，，，0，3这五个数中任意取出一个数记作，则能使函数的图象经过第一、第三象限，而且关于的一元二次方程有实数根的概率 　　． 10．（2019•简阳市 模拟）有六张正面分别标有数字，，0，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为，则使关于的分式方程有正整数解的概率为　　． 11．（2009•鄂州模拟）一组线段，长度分别为1，2，2，3任取三张，能组成等腰三角形的概率是 　　 12．（2017春•青羊区期末）从，，，0，1，2，3这7个数中任意选一个数作为的值，则使关于的分式方程：的解是负数，且关于的一次函数的图象不经过第一象限的概率为　　． 13．（2014•甘孜州）给出下列函数：①；②；③．从中任取一个函数，取出的函数符合条件“当时，函数值随增大而减小”的概率是　　． 14．（2019秋•栾城区期末）已知函数为常数），若从中任取值，则得到的函数是具有性质“随增加而减小”的一次函数的概率为　　． 15．乐乐可喜欢玩积木了，他有很多棱长为1小立方体，通常他会用胶水将多个小立方体粘合起来成为积木．一天，他先用胶水粘出一个看起来像图中所示的积木，但内部是中空，且内部留出尽可能最大的空心空间的积木，然后他将该积木表面涂上颜色后，又按照粘合处把积木拆开成一个个棱长为1的小立方体，再把这些小立方体装在一个不透明的塑料袋中，请问：如果从塑料袋中的这些小立方体中随意的摸出一个立方体恰好只有一面是涂了颜色的概率是　 　． 16．（2012•怀化）投掷一枚普通的正方体骰子24次． （1）你认为下列四种说法哪种是正确的？ ①出现1点的概率等于出现3点的概率； ②投掷24次，2点一定会出现4次； ③投掷前默念几次“出现4点”，投掷结果出现4点的可能性就会加大； ④连续投掷6次，出现的点数之和不可能等于37． （2）求出现5点的概率； （3）出现6点大约有多少次？ 17．（2010•扬州二模）在中央电视台第2套《购物街》栏目中，有一个精彩刺激的游戏幸运大转盘，其规则如下： ①游戏工具是一个可绕轴心自由转动的圆形转盘，转盘按圆心角均匀划分为20等分，并在其边缘标记5、10、15、、100共20个5的整数倍数，游戏时，选手可旋转转盘，待转盘停止时，指针所指的数即为本次游戏的得分； ②每个选手在旋转一次转盘后可视得分情况选择是否再旋转转盘一次，若只旋转一次，则以该次得分为本轮游戏的得分，若旋转两次则以两次得分之和为本轮游戏的得分； ③若某选手游戏得分超过100分，则称为“爆掉”，该选手本轮游戏裁定为“输”，在得分不超过100分的情况下，分数高者裁定为“赢”； ④遇到相同得分的情况，相同得分的选手重新游戏，直到分出输赢． 现有甲、乙两位选手进行游戏，请解答以下问题： （1）甲已旋转转盘一次，得分65分，他选择再旋转一次，求他本轮游戏不被“爆掉”的概率． （2）若甲一轮游戏最终得分为90分，乙第一次旋转转盘得分为85分，则乙还有可能赢吗赢的概率是多少 （3）若甲、乙两人交替进行游戏，现各旋转一次后甲得85分，乙得65分，你认为甲是否应选择旋转第二次说明你的理由． 18．（易错题）生物科学家通过大量的调查估计得出，某种树木生长高以上的概率为0.9，生长高以上的概率为0.4，生长高以上的概率为0.1，现高的这种树长到的概率为多少？现高的这种树长到的概率为多少？ 19．（2017春•文山市校级期末）转动如图所示的转盘，当转盘停止转动时，求转得下列各数的概率． （1）转得的数为负整数； （2）转得的数不是负数； （3）转得的数的绝对值小于2． 20．一盒螺钉有20个，其中18个合格，另一盒螺母有50个，其中有40个合格，从这两盒中各拿一个螺钉和一个螺母，两者都是合格的概率是多少？ 21．（2021•佳木斯模拟）我市某中学开展爱心捐款活动．团干部小华对九（1）班的捐款情况进行了统计，并把统计的结果制成一个不完整的频数分布直方图的扇形统计图．已知学生捐款最少的是5元，最多的不足25元． （1）请补全频数分布直方图； （2）九（1）班学生捐款的中位数所在的组别范围是　 　； （3）九（1）班学生小明同学捐款22元，班主任拟在捐款最多的元这组同学中随机选取一人代表班级在学校组织的献爱心活动大会上发言，小明同学被选中的概率是　 　． 22．（2024春•龙华区期末）小深一家逛完超市后，凭小票参加一次抽奖活动，超市设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下．如果小深只能抽奖一次，且抽到数字1至9的可能性一样，请解决下面的问题： （1）小深抽到“纸巾”的概率是 　　； （2）小深中奖的概率是 　　； （3）请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后抽到“太阳伞”的可能性大小是，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”． 23．（2023•宁波模拟）某社区组织、、、这4个小区的居民接种加强针新冠疫苗． （1）若将这4个小区随机分成4批，每批1个小区的居民参加，则小区居民被分在第一批的概率为 　　； （2）若将这4个小区的居民随机分成两批接种加强针，每批2个小区的居民参加． ①求小区被分在第一批的概率； ②求、两个小区被分在第一批的概率． 24．（2024春•莱西市期中）如图是小亮自己设计的可以自由转动的转盘，转盘被等分成12个扇形，上面有12个实数．若自由转动转盘，当它停止转动时，请解答下列问题： （1）指针指向负数的概率是 　　； （2）指针指向无理数的概率是 　　； （3）指针指向能被3整除的数的概率是 　　； （4）求指针指向的数绝对值不小于6的概率． 25．（2023春•渭滨区期末）在一个不透明的布袋中装有 8 个红球和 16 个白球， 它们除颜色不同外其余都相同 ． （1） 求从布袋中摸出一个球是红球的概率； （2） 现从布袋中取走若干个白球， 并放入相同数目的红球， 搅拌均匀后， 再从布袋中摸出一个球是红球的概率是，问取走了多少个白球？ 三．游戏公平性 26．（2016秋•老河口市月考）如图，有两个构造完全相同（除所标数字外）的转盘，，每个转盘都被分成3个大小相同的扇形，指针位置固定，游戏规定，转动两个转盘各一次，转盘停止后若盘指针指示区域数字比盘指针指示区域数字大则小明胜，否则小亮胜（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．你认为这个游戏规则公平吗？为什么？ 27．（2011春•北碚区校级期末）两人做抛掷硬币游戏，掷出正面甲得1分，掷出反面乙得1分，先得到10分的人赢一个大蛋糕．如果游戏因故中途结束，此时甲得了9分，乙得了8分，那么该如何分配这个蛋糕？ 28．（2009•萧山区校级模拟）袋中装有三个完全相同的球，分别有数字“1”、“2”、“3”，小明和小兵设计了一个游戏：游戏者每次从袋中随机摸出一个球，并且自由转动图中的转盘（转盘被分成相等的三个扇形）．如果所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为偶数，则小明胜；如果为奇数，则小兵胜．这个游戏公平吗？若不公平，请修改游戏规则，使其公平． 29．（2023秋•湖里区期末）某学校有甲、乙2个社团，甲有人，乙有人，学校拟从他们中选择部分学生代表参加某活动．若希望公平合理地分配代表名额，最常用的方法是等比例分配法：甲社团分得个代表名额，乙社团分得个代表名额，计算社团人数与代表名额的比例，满足，即为实现公平． （1）若甲有140人，乙有100人，共有36个代表名额，依据等比例分配法，是否能进行公平的分配？若能，请分别求出甲、乙的代表名额；若不能，请说明理由． （2）现实中，常常出现名额无法正好按等比例公平分配，这时可以先引入“不公平度”来进行 衡量．例如：若，则会认为对甲不公平，我们可以用“”表示对“甲的不公平度”；若，则会认为对乙不公平，我们可以用“”表示“对乙的不公平度”． 然后采用如下做法来进行分配： 第一步：先从全部代表名额中取部分名额进行分配，例如甲分得个名额，乙分得 个名额，使与相等或大致相等皆可； 第二步：取余下代表名额中的1个，计算下面两种方案中的不公平度． 方案一：将这个名额分给乙，若有，此时对甲不公平，记“对甲的不 公平度”为； 方案二：将这个名额分给甲，若有，此时对乙不公平，记“对乙不 公平度”为； 第三步：比较，的大小，若，则将该名额分配给甲；若，则将该名额分配给乙； 若，则将该名额分配给甲或乙皆可； 第四步：对余下每一个代表名额，重复第二、三步，直至名额分配完成． 解决问题： 若对甲、乙社团代表名额完成第一步分配后，此时有，还剩1个名额， 且，请判断这个名额应该分配给哪个社团？ 四．利用频率估计概率 30．（2023秋•西湖区校级期中）（1）一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，，不断重复上述过程，小明共摸了100次，其中20次摸到黑球根据上述数据，估计口袋中的白球大约有多少个？ （2）如图，是正方形内一点，绕着点旋转后能到达的位置．若，求线段的长． 第2章简单事件的概率 培优题突破练习★★★【4个考点30题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年浙教版数学九年级上册 【解析版】 一．可能性的大小 二．概率公式 三．游戏公平性 四．利用频率估计概率 · 知识点梳理 · 可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． · 概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． · 概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． · 利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 一．可能性的大小 1．（2009秋•宣武区期末）（1）把一个木制正方体的表面涂上红颜色，然后将其分割成64个大小相同的小正方体，如图所示．若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体，其两面涂有红色的可能性为 　　；各面都没有红色的可能性为 　　； （2）若将大正方体用同样的方法分割成为正整数，个大小相同的小正方体，试分别回答上面两个问题． 【分析】（1）分别求出两面涂有红色、各面都没有涂有红色的小正方形的个数，计算出与总数的比即可； （2）将大正方体用同样的方法分割成为正整数，个大小相同的小正方体，即每一行有个正方形，计算出概率即可． 【解答】解：（1）两面涂有红色的正方体在大正方形的每条棱有2个，共有12条棱，则有个， 两面涂有红色的可能性为：； 一面涂有红色的有个， 各面都没有红色的正方形有：个， 概率为； （2）两面涂有红色正方体的每条棱有个，共有12条棱，则有个， 概率为：； 一面涂有红色的有个， 各面都没有红色的正方体有：个， 各面都没有红色的可能性为． 【点评】此题考查了可能性大小的求法，只要计算出每种情况出现的概率即可，同时需要有一定的空间想象能力．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 二．概率公式 2．（2019•拱墅区校级模拟）这是一个古老的传说，讲一个犯人利用概率来增加他得到宽恕的机会．给他两个碗，一个里面装着5个黑球，另一个里面装着除颜色不同外其它都一样的5个白球．把他的眼睛蒙着，然后要选择一个碗，并从里面拿出一个球，如果他拿的是黑球就要继续关在监狱里面，如果他拿的是白球，就将获得自由．在蒙住眼睛之前允许他把球混合，重新分装在两个碗内（两个碗球数可以不同）．你能设想一下这个犯人怎么做，使得自己获得自由的机会最大？则犯人获得自由的最大机会是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】可以先将所有的球放入一个碗，再拿出一个白球放在另一个碗里．这样，他选择只有一个白球的碗的概率是，如果他选择错了碗，将还有的概率从另一个碗里摸到白球，从而使自己获得自由的概率最大． 【解答】解：可以先将所有的球放入一个碗，再拿出一个白球放在另一个碗里．这样，他若选择只有一个白球的碗获得自由的概率1，如果他选择错了碗，从另一个碗里摸到白球的概率是，从而所以获得自由的概率最大是． 故选：． 【点评】本题考查概率的相关计算．确定出摸到白球最大概率方案是解答关键． 3．（2019•云霄县一模）如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，则，，，四个点中，任选一个符合条件的点的概率是　　 A． B． C． D．1 【答案】 【分析】找到符合条件的点的个数，再根据概率公式计算可得． 【解答】解：要使与全等，点的位置可以是，两个， 从，，，四个点中找出符合条件的点的概率是， 故选：． 【点评】本题主要考查概率公式的应用，随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 4．（2024•宁波模拟）六张完全相同的卡片背面分别画有等腰直角三角形、圆形、平行四边形、矩形、菱形、正方形，将正面朝上放在桌面上，从中随机抽取一张，所抽取的卡片上的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由六张完全相同的卡片背面分别画有等腰直角三角形、圆形、平行四边形、矩形、菱形、正方形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有矩形、圆形、正方形，然后直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：六张完全相同的卡片背面分别画有等腰直角三角形、圆形、平行四边形、矩形、菱形、正方形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有菱形、矩形、圆形、正方形，一共3种， 所抽取的卡片上的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是． 故选：． 【点评】此题考查了概率公式的应用．注意：概率所求情况数与总情况数之比． 5．（2023春•晋中期末）某高校6名大学生（其中4名男生，2名女生）有幸成为2023太原国际马拉松赛志愿者，现要从这6名志愿者中随机抽取1名同学负责某补给站能量物资的发放工作，恰好选中女生的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】用女生人数除以学生总数即为所求的概率． 【解答】解：6名同学中有2位女生，那么抽到有女生的概率是：． 故选：． 【点评】本题考查概率公式，掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数是解题的关键． 6．（2024春•乐平市期末）设是从集合，2，3，，99，中任意抽取的一个数，则的末位数字是7的概率是 　　． 【分析】由于的末位数字是：，，，，个一循环，可知集合，2，3，，99，，使的末位数字是7的有25个，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：，，，，个一循环， ， 的末位数字是7的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．解题的关键是找到的末位数字是7的情况数． 7．（2008•成都）如果是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，那么关于的一元二次方程有实数根的概率为　　． 【分析】从0，1，2，3四个数中任取的一个数，从0，1，2三个数中任取的一个数则共有12种结果，且每种结果出现的机会相同，关于的一元二次方程有实数根的条件是：，在上面得到的数对中共有9个满足． 【解答】解：从0，1，2，3四个数中任取的一个数，从0，1，2三个数中任取的一个数则共有：种结果， 满足关于的一元二次方程有实数根，则△，符合的有9个， ，；，；，；，；，；，；，；，；，； 关于的一元二次方程有实数根的概率为． 【点评】本题是概率与一元二次方程的根的判别式相结合的题目．正确理解列举法求概率的条件以及一元二次方程有根的条件是关键． 8．（2022•市中区校级模拟）从3，，0，1，这五个数中任意取出一个数记作，则既能使函数的图象经过第二、第四象限，又能使关于的一元二次方程的根的判别式小于零的概率为 　　． 【分析】确定使函数的图象经过第二、四象限的的取值范围，然后确定使方程根的判别式小于零的的取值范围，找到同时满足两个条件的的值，利用概率公式计算即可． 【解答】解：函数的图象经过第二、四象限， ， 解得： 关于的一元二次方程的根的判别式小于零， ， ， 使函数的图象经过第二、四象限，且使方程的根的判别式小于零的的值有为0、1， 此事件的概率为， 故答案为：． 【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）． 9．（2015秋•大邑县期末）从，，，0，3这五个数中任意取出一个数记作，则能使函数的图象经过第一、第三象限，而且关于的一元二次方程有实数根的概率 　　． 【分析】确定使函数的图象经过第一、三象限的的值，然后确定使方程有实数根的值，找到同时满足两个条件的的值即可． 【解答】解：这5个数中能使函数的图象经过第一、第三象限的有、、0这3个数， 关于的一元二次方程有实数根， ， 能满足这一条件的有、、这3个， 能同时满足这两个条件的只有、这2个数， 此概率为， 故答案为： 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系及根的判别式的知识，根据一次函数性质与方程的根的判别式得出的值是解答此题的关键． 10．（2019•简阳市 模拟）有六张正面分别标有数字，，0，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为，则使关于的分式方程有正整数解的概率为　　． 【分析】由使关于的分式方程有正整数解，可求得的值，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：方程两边同乘以， ， ， 有正整数解， 当时，原分式方程无解， ， 使关于的分式方程有正整数解的有：2，3，4， 使关于的分式方程有正整数解的概率为：． 故答案为：． 【点评】此题考查了概率公式的应用以及分式方程的整数解．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 11．（2009•鄂州模拟）一组线段，长度分别为1，2，2，3任取三张，能组成等腰三角形的概率是 　　 【分析】根据题意分析可得：4条长度分别为1，2，2，3的线段中任取三条有4种取法，能组成等腰三角形即必须取到“2，2”的有2种，故其概率是． 【解答】解：（组成等腰三角形）． 故本题答案为：． 【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）． 12．（2017春•青羊区期末）从，，，0，1，2，3这7个数中任意选一个数作为的值，则使关于的分式方程：的解是负数，且关于的一次函数的图象不经过第一象限的概率为　　． 【分析】直接利用分式方程有解的意义以及一次函数图象的性质得出可能的取值，进而得出答案． 【解答】解：解分式方程得：， 方程的解为负数， 且， 解得：且， 又一次函数的图象不经过第一象限， ， ， 则且， 在，，，0，1，2，3这7个数中符合且的有，0，1，2这4个数， 使分式方程的解为负数且一次函数图象不过第一象限的概率为， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了概率公式以及分式方程有解的意义以及一次函数图象的性质，熟练应用分式方程有解的意义得出的值是解题关键． 13．（2014•甘孜州）给出下列函数：①；②；③．从中任取一个函数，取出的函数符合条件“当时，函数值随增大而减小”的概率是　　． 【分析】首先利用一次函数、反比例函数及二次函数的性质确定当时，函数值随增大而减小的个数，然后利用概率公式求解即可． 【解答】解：函数：①；②；③中当时，函数值随增大而减小的有、， 从中任取一个函数，取出的函数符合条件“当时，函数值随增大而减小”的概率是， 故答案为：． 【点评】本题考查的是用列举法求概率的知识．注意概率所求情况数与总情况数之比． 14．（2019秋•栾城区期末）已知函数为常数），若从中任取值，则得到的函数是具有性质“随增加而减小”的一次函数的概率为　　． 【分析】求出“随增加而减小”的一次函数的取值范围，再根据的取值范围占总取值范围的比值即可． 【解答】解：当时，即时，随增加而减小， 又， ， 得到的函数具有“随增加而减小”的一次函数的概率为， 故答案为：． 【点评】考查随机事件发生的概率，几何概率是常用的方法，即符合条件的部分占整体的比值． 15．乐乐可喜欢玩积木了，他有很多棱长为1小立方体，通常他会用胶水将多个小立方体粘合起来成为积木．一天，他先用胶水粘出一个看起来像图中所示的积木，但内部是中空，且内部留出尽可能最大的空心空间的积木，然后他将该积木表面涂上颜色后，又按照粘合处把积木拆开成一个个棱长为1的小立方体，再把这些小立方体装在一个不透明的塑料袋中，请问：如果从塑料袋中的这些小立方体中随意的摸出一个立方体恰好只有一面是涂了颜色的概率是　　． 【分析】根据图形计算出棱长为1小立方体的个数以及只有一面是涂了颜色的小正方体的个数，然后根据概率公式列式进行计算即可得解． 【解答】解：由图可知，组成积木的小正方体，前后面有个， 左右面还有个， 上下面还有个， 小正方体的个数是个， 只有一面是涂了颜色的小正方体有， （只有一面是涂了颜色）． 故答案为：． 【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，准确计算出小正方体的个数是解题的关键． 16．（2012•怀化）投掷一枚普通的正方体骰子24次． （1）你认为下列四种说法哪种是正确的？ ①出现1点的概率等于出现3点的概率； ②投掷24次，2点一定会出现4次； ③投掷前默念几次“出现4点”，投掷结果出现4点的可能性就会加大； ④连续投掷6次，出现的点数之和不可能等于37． （2）求出现5点的概率； （3）出现6点大约有多少次？ 【分析】（1）抛掷正方体骰子出现3和出现1的概率均为； （2）出现5点的概率不受抛掷次数的影响，始终是； （3）用抛掷次数乘以出现6点的概率即可． 【解答】解：（1） ①抛掷正方体骰子出现3和出现1的概率均为，故①正确； ②投掷24次，2点不一定会出现，故②错误； ③投掷结果出现4点的概率一定，不会受主观原因改变，故③错误； ④连续投掷6次，最多为，所以出现的点数之和不可能等于37，故④正确． 所以只有①④说法正确； （2）出现5点的概率不受抛掷次数的影响，始终是； （3）出现6点大约有次． 【点评】本题考查了概率的公式，解题时注意出现1点的概率不受实验次数的影响． 17．（2010•扬州二模）在中央电视台第2套《购物街》栏目中，有一个精彩刺激的游戏幸运大转盘，其规则如下： ①游戏工具是一个可绕轴心自由转动的圆形转盘，转盘按圆心角均匀划分为20等分，并在其边缘标记5、10、15、、100共20个5的整数倍数，游戏时，选手可旋转转盘，待转盘停止时，指针所指的数即为本次游戏的得分； ②每个选手在旋转一次转盘后可视得分情况选择是否再旋转转盘一次，若只旋转一次，则以该次得分为本轮游戏的得分，若旋转两次则以两次得分之和为本轮游戏的得分； ③若某选手游戏得分超过100分，则称为“爆掉”，该选手本轮游戏裁定为“输”，在得分不超过100分的情况下，分数高者裁定为“赢”； ④遇到相同得分的情况，相同得分的选手重新游戏，直到分出输赢． 现有甲、乙两位选手进行游戏，请解答以下问题： （1）甲已旋转转盘一次，得分65分，他选择再旋转一次，求他本轮游戏不被“爆掉”的概率． （2）若甲一轮游戏最终得分为90分，乙第一次旋转转盘得分为85分，则乙还有可能赢吗赢的概率是多少 （3）若甲、乙两人交替进行游戏，现各旋转一次后甲得85分，乙得65分，你认为甲是否应选择旋转第二次说明你的理由． 【分析】此题考查了列举法求概率，解题的关键是不要漏条件，不要漏解．列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可． 【解答】解：（1）甲可取5、10、15、20、25、30、35， （不爆掉）； （2）乙有可能赢， 乙可取10、15， （乙赢）， （3）甲选择不转第二次． 理由是：甲选择不转第二次，乙必须选择旋转第二次， 此时（乙赢）， 乙获胜的可能性较小． 或“甲若选择转第二次，（甲爆掉）， 甲输而乙获胜的可能性较大． （叙述的理由合理即可） 【点评】此题文字比较多，解题的关键是认真审题，不要漏条件，否则会出错．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 18．（易错题）生物科学家通过大量的调查估计得出，某种树木生长高以上的概率为0.9，生长高以上的概率为0.4，生长高以上的概率为0.1，现高的这种树长到的概率为多少？现高的这种树长到的概率为多少？ 【分析】先设所有被调查的总数为，再根据这种树各生长阶段的概率计算即可． 【解答】解：设所有被调查的总数为，其中长到，和的树的数目分别为，，， 则由题意，有，，，即，，． 则现高的树长到的概率为； 现高的树长到的概率为． 【点评】解答此题关键是设出所有被调查的总数为，再根据题目中已知数据得出各生长阶段树木的棵树，再计算符合条件的树木的概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 19．（2017春•文山市校级期末）转动如图所示的转盘，当转盘停止转动时，求转得下列各数的概率． （1）转得的数为负整数； （2）转得的数不是负数； （3）转得的数的绝对值小于2． 【分析】（1）先找出负整数的个数，根据概率公式即可得出答案； （2）根据转盘给出的数据，得出不是负数的数有0，1，2，4，5，，共6个数，再根据概率公式即可得出答案； （3）先找出绝对值小于2的数的个数，再根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）负整数有，，，共3个数， 转得的数为负整数的概率是：； （2）不是负数的数有0，1，2，4，5，，共6个数， 转得的数不是负数的概率是：； （3）绝对值小于2的数有：，0，1，，，共5个数， 转得的数的绝对值小于2的概率是：． 【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 20．一盒螺钉有20个，其中18个合格，另一盒螺母有50个，其中有40个合格，从这两盒中各拿一个螺钉和一个螺母，两者都是合格的概率是多少？ 【分析】要求满足两个条件的概率，则要将两种情况的概率相乘． 【解答】解：从螺钉盒中取出螺钉合格的概率为； 从螺母盒中取出螺母合格的概率为； 故从这两盒中各拿一个螺钉和一个螺母，两者都是合格的概率为． 【点评】本题考查的是概率的公式．满足两个条件的概率等于这两个条件分别出现的概率的乘积． 21．（2021•佳木斯模拟）我市某中学开展爱心捐款活动．团干部小华对九（1）班的捐款情况进行了统计，并把统计的结果制成一个不完整的频数分布直方图的扇形统计图．已知学生捐款最少的是5元，最多的不足25元． （1）请补全频数分布直方图； （2）九（1）班学生捐款的中位数所在的组别范围是　　； （3）九（1）班学生小明同学捐款22元，班主任拟在捐款最多的元这组同学中随机选取一人代表班级在学校组织的献爱心活动大会上发言，小明同学被选中的概率是　 　． 【分析】（1）先求九（1）班的总人数，再分别算出捐款数在之间的人数和捐款数在之间的人数，补全条形图； （2）先计算出中位数，再找中位数所在的范围； （3）计算出这个范围的人数，再求概率． 【解答】解：（1）九（1）班共有：（人； 该班捐款元有：（人； 该班捐款元有：（人． （2）按捐款数从小到大排列，第25、26人的捐款数在这组中． 故答案为 （3）小明同学被选中的概率是：． 故答案为0.1． 【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．部分数目总体数目乘以相应概率．一组数据按顺序排列后，中间的那两个数的平均数或中间的那个数叫做中位数 22．（2024春•龙华区期末）小深一家逛完超市后，凭小票参加一次抽奖活动，超市设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下．如果小深只能抽奖一次，且抽到数字1至9的可能性一样，请解决下面的问题： （1）小深抽到“纸巾”的概率是 　　； （2）小深中奖的概率是 　　； （3）请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后抽到“太阳伞”的可能性大小是，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”． 【答案】（1）；（2）；（3）设计九张翻奖牌中有四张写着太阳伞，其它的五张牌中纸巾、牙刷、太阳伞各一张，谢谢参与两张．（答案不唯一）． 【分析】（1）用“纸巾”的数量除以总数量即可； 小深中奖的数量除以总数量即可； （3）根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）由图可得，抽到“纸巾”奖品的可能性是， 故答案为：； （2）由题意可得，， 故答案为：； （3）设计九张翻奖牌中有四张写着太阳伞，其它的五张牌中纸巾、牙刷、太阳伞各一张，谢谢参与两张．（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查概率公式，掌握概率公式是解题的关键． 23．（2023•宁波模拟）某社区组织、、、这4个小区的居民接种加强针新冠疫苗． （1）若将这4个小区随机分成4批，每批1个小区的居民参加，则小区居民被分在第一批的概率为 　　； （2）若将这4个小区的居民随机分成两批接种加强针，每批2个小区的居民参加． ①求小区被分在第一批的概率； ②求、两个小区被分在第一批的概率． 【答案】（1）； （2）①； ②． 【分析】（1）直接利用概率公式求解可得； （2）列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得． 【解答】解：（1）若将这4个小区随机分成4批，每批1个小区的居民参加，则小区居民被分在第一批的概率为． 故答案为：； （2）画树状图如下： 从树状图可得，共有12种等可能结果，小区被分在第一批的有6种，、两个小区被分在第一批的有2种， ①小区被分在第一批的概率为； ②、两个小区被分在第一批的概率为． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 24．（2024春•莱西市期中）如图是小亮自己设计的可以自由转动的转盘，转盘被等分成12个扇形，上面有12个实数．若自由转动转盘，当它停止转动时，请解答下列问题： （1）指针指向负数的概率是 　　； （2）指针指向无理数的概率是 　　； （3）指针指向能被3整除的数的概率是 　　； （4）求指针指向的数绝对值不小于6的概率． 【分析】（1）指针指向的数字共有12种等可能结果，其中指针指向负数的有5种结果，根据概率公式求解即可； （2）指针指向的数字共有12种等可能结果，其中指针指向无理数的有这1种结果，根据概率公式求解即可； （3）指针指向的数字共有12种等可能结果，其中指针指向能被3整除的数根据概率公式求解即可； （4）指针指向的数字共有12种等可能结果，其中指针指向的数绝对值不小于6的有、、、、2021这5种结果，根据概率公式求解即可． 【解答】解：，，， （1）因为自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数字共有12种等可能结果，其中指针指向负数的有5种结果， 所以指针指向负数的概率是， 故答案为：； （2）因为自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数字共有12种等可能结果，其中指针指向无理数的有这1种结果， 所以指针指向无理数的概率是， 故答案为：； （3）因为自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数字共有12种等可能结果，其中指针指向能被3整除的数有有、3、2021、这4种结果， 所以指针指向能被2整除的数的概率是， 故答案为：． （4）因为自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数字共有12种等可能结果，其中指针指向的数绝对值不小于6的有、、、、2021这5种结果， 所以指针指向的数绝对值不小于6的概率为． 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 25．（2023春•渭滨区期末）在一个不透明的布袋中装有 8 个红球和 16 个白球， 它们除颜色不同外其余都相同 ． （1） 求从布袋中摸出一个球是红球的概率； （2） 现从布袋中取走若干个白球， 并放入相同数目的红球， 搅拌均匀后， 再从布袋中摸出一个球是红球的概率是，问取走了多少个白球？ 【分析】（1） 用红球的个数除以球的总共个数可求从布袋中摸出一个球是红球的概率； （2） 设取走了个白球， 根据从布袋中摸出一个球是红球的概率是，列出方程求解即可 ． 【解答】解： （1）（从 布袋中摸出一个球是红球）； （2） 设取走了个白球， 根据题意得 ， 解得：． 答： 取走了 7 个白球 ． 【点评】本题考查了概率的知识 ． 用到的知识点为： 概率所求情况数与总情况数之比 ． 三．游戏公平性 26．（2016秋•老河口市月考）如图，有两个构造完全相同（除所标数字外）的转盘，，每个转盘都被分成3个大小相同的扇形，指针位置固定，游戏规定，转动两个转盘各一次，转盘停止后若盘指针指示区域数字比盘指针指示区域数字大则小明胜，否则小亮胜（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．你认为这个游戏规则公平吗？为什么？ 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次转动后指针指向的数字之和为奇数与数字之和为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：这个游戏规则不公平， 列表如下 3 5 8 9 5 2 由上表可知，共有9种等可能的结果，其中盘指示数字比盘指示数字大的有4种结果，即，，，，其它结果5种 （小明胜），（小亮胜）， 这个游戏规则不公平． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 27．（2011春•北碚区校级期末）两人做抛掷硬币游戏，掷出正面甲得1分，掷出反面乙得1分，先得到10分的人赢一个大蛋糕．如果游戏因故中途结束，此时甲得了9分，乙得了8分，那么该如何分配这个蛋糕？ 【答案】甲、乙应该按比例分配蛋糕． 【分析】分别算出甲的得分的概率，乙的得分的概率，按概率分蛋糕即可． 【解答】解：若再掷一次，是正面的概率是，是反面的概率也是， 如果是反面，则乙也是9分，需要掷第二次，则是正面的概率是，是反面的概率也是， 甲得到10分的概率是，乙得到10分的概率是， ， 甲、乙应该按比例分配蛋糕． 【点评】考查游戏的公平性；得到甲的得分的概率，乙的得分的概率是解决本题的关键． 28．（2009•萧山区校级模拟）袋中装有三个完全相同的球，分别有数字“1”、“2”、“3”，小明和小兵设计了一个游戏：游戏者每次从袋中随机摸出一个球，并且自由转动图中的转盘（转盘被分成相等的三个扇形）．如果所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为偶数，则小明胜；如果为奇数，则小兵胜．这个游戏公平吗？若不公平，请修改游戏规则，使其公平． 【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． 【解答】解：游戏不公平，理由为： 每次游戏时，所有等可能出现的结果如下： 转盘 摸球 1 2 3 1 2 3 （3分） 可见，数字和是奇数的概率为，数字和是偶数的概率为， 故游戏不公平．（2分） 规则修改为：数字和为奇数，小兵胜；和为偶数（除；小明胜；数字和为2，平局．（答案不唯一）（3分） 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 29．（2023秋•湖里区期末）某学校有甲、乙2个社团，甲有人，乙有人，学校拟从他们中选择部分学生代表参加某活动．若希望公平合理地分配代表名额，最常用的方法是等比例分配法：甲社团分得个代表名额，乙社团分得个代表名额，计算社团人数与代表名额的比例，满足，即为实现公平． （1）若甲有140人，乙有100人，共有36个代表名额，依据等比例分配法，是否能进行公平的分配？若能，请分别求出甲、乙的代表名额；若不能，请说明理由． （2）现实中，常常出现名额无法正好按等比例公平分配，这时可以先引入“不公平度”来进行 衡量．例如：若，则会认为对甲不公平，我们可以用“”表示对“甲的不公平度”；若，则会认为对乙不公平，我们可以用“”表示“对乙的不公平度”． 然后采用如下做法来进行分配： 第一步：先从全部代表名额中取部分名额进行分配，例如甲分得个名额，乙分得 个名额，使与相等或大致相等皆可； 第二步：取余下代表名额中的1个，计算下面两种方案中的不公平度． 方案一：将这个名额分给乙，若有，此时对甲不公平，记“对甲的不 公平度”为； 方案二：将这个名额分给甲，若有，此时对乙不公平，记“对乙不 公平度”为； 第三步：比较，的大小，若，则将该名额分配给甲；若，则将该名额分配给乙； 若，则将该名额分配给甲或乙皆可； 第四步：对余下每一个代表名额，重复第二、三步，直至名额分配完成． 解决问题： 若对甲、乙社团代表名额完成第一步分配后，此时有，还剩1个名额， 且，请判断这个名额应该分配给哪个社团？ 【答案】（1）分配给甲社团21个名额，分配给乙社团15个名额； （2）应该将这个名额分配给甲社团． 【分析】（1）设分配给甲社团个名额，则分配给乙社团个名额，依题意列方程 求解即 可； （2）根据定义求出，判断其与零的大小关系即可作出判断． 【解答】解：（1）设分配给甲社团个名额，则分配给乙社团个名额， 依题意得， 解得：， 检验：当时，． 所以原分式方程的解为：． （个， 答：分配给甲社团21个名额，分配给乙社团15个名额； （2） ， ， 依据第三步，应该将这个名额分配给甲社团． 【点评】本考查了分式方程的应用以及分式的混合运算，正确的计算是解题关键． 四．利用频率估计概率 30．（2023秋•西湖区校级期中）（1）一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，，不断重复上述过程，小明共摸了100次，其中20次摸到黑球根据上述数据，估计口袋中的白球大约有多少个？ （2）如图，是正方形内一点，绕着点旋转后能到达的位置．若，求线段的长． 【答案】（1）12个； （2）． 【分析】（1）由小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，可估计出摸到白球的概率为，设口袋中约有个白球，依据概率公式列出关于的方程求解即可； （2）根据旋转变换的性质可知，，再根据勾股定理列式求解即可得到的长度． 【解答】解：（1）由题可得出摸到黑球的概率是：， 因此摸到白球概率是， 设口袋中约有个白球，由题可得， 解得：， 答：估计口袋中的白球大约有12个； （2）绕着点旋转后能到达的位置， ，， ， 答：线段的长为． 【点评】本题主要考查的是用频率估计概率和旋转变换的性质，掌握旋转变换的性质和概率公式是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$