4.5.1 函数的零点与方程的解 同步检测-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.1　函数的零点与方程的解（同步检测） 一、选择题 1.(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)＜0，f(1)＞0，f(2)＞0，则下列说法正确的有(　　) A.f(x)在区间(0，1)上一定有零点 B.f(x)在区间(0，1)上一定没有零点 C.f(x)在区间(1，2)上可能有零点 D.f(x)在区间(1，2)上一定有零点 2.函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)＞0，f(2)＜0，则f(x)在(1，2)上的零点(　　) A.至多有一个 B.有一个或两个 C.有且仅有一个 D.一个也没有 3.已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－k有3个不同的零点，则实数k的取值范围为(　　) A.(0，1) B.(0，2) C.(0，3) D.(1，3) 4.函数f(x)＝ln x＋2x－3的零点所在的大致区间为(　　) A. B. C.(1，2) D.(2，e) 5.已知方程3x＋2x－10＝0的解在(k，k＋1) (k∈Z)内，则k＝(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 6.函数f(x)＝2x2－4x－3的零点有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定 7.函数f(x)＝log3(2x＋4)－的零点所在的一个区间是(　　) A.(－2，－1) B.(－1，0) C.(0，1) D.(1，2) 8.若函数y＝f (x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y －5 2 8 12 －5 －10 则函数y＝f (x)在x∈[1，6]上的零点至少有(　　) A.1个　　　 B.2个　　　 C.3个　　　 D.4个 9.若函数f(x)＝|log2x|，g(x)＝则方程|f(x)－g(x)|＝1的实数根的个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题 10.若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________ 11.函数f(x)＝|4x－x2|－a的零点的个数为3，则a＝________ 12.已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，则m的值(或取值范围)是________，该零点是________ 13.已知函数f(x)＝(x＋2)x2，则函数f(x)的零点是________；不等式f(x)≤0的解集为____________ 三、解答题 14.已知函数f(x)＝loga(2－x)． (1)求函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)的零点． 15.(1)求函数f (x)＝的零点； (2)已知函数f (x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点． 16.已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点． (1)若函数的两个零点分别是－1和－3，求k的值； (2)若函数的两个零点分别是α和β，求α2＋β2的取值范围． 参考答案及解析： 一、选择题 1.AC 解析：因为f(0)＜0，f(1)＞0，f(2)＞0，所以f(0)f(1)＜0，因为函数f(x)的图象在R上连续不断，由零点存在定理，可得f(x)在区间(0，1)上一定有零点．又因为f(1)f(2)＞0，故无法判断f(x)在区间(1，2)上是否有零点． 2.C 解析：若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)＜0，得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若f(x)在(1，2)上有两个零点，则必有f(1)·f(2)＞0，与已知矛盾．故选C． 3.B 解析：依题意，函数y＝f(x)的图象与直线y＝k有三个交点，作出函数y＝f(x)的图象如图所示，由图象可知0＜k＜2．故选B． 4.C 解析：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，其图象是一条不间断的曲线．又f(1)＝2－3＝－1＜0，f(2)＝ln 2＋1＞0，则由函数零点存在性定理可知，函数f(x)的零点所在区间为(1，2)．故选C． 5.B 解析：令f(x)＝3x＋2x－10，则函数f(x)在R上单调递增．又f(1)＝31＋2－10＝－5＜0，f(2)＝32＋4－10＝3＞0，则由函数零点存在性定理可知，函数f(x)在区间(1，2)上存在零点，所以方程3x＋2x－10＝0的解在(1，2)内，则k＝1．故选B． 6.C 解析：由题意知f(x)＝0，即2x2－4x－3＝0．因为Δ＝(－4)2－4×2×(－3)＝40＞0，所以方程2x2－4x－3＝0有两个根，即f(x)有两个零点． 7.B 解析：易知函数f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，其图象是一条递增的曲线．而f(－1)＝log32－1＜0，f(0)＝log34－＞0，所以由函数零点存在定理可知，函数f(x)的零点所在区间为(－1，0)．故选B． 8.B　解析：结合题意可知f (1)·f (2)<0，f (4)·f (5)<0，故f (x)在[1，6]上至少有2个零点． 9.C 解析：由|f(x)－g(x)|＝1，得f(x)－g(x)＝±1，∴f(x)＝g(x)＋1或f(x)＝g(x)－1．在同一平面直角坐标系中作出y＝f(x)与y＝g(x)＋1的图象，如图1所示，由图象知，f(x)＝g(x)＋1有3个不同的实数根；在同一平面直角坐标系作出y＝f(x)与y＝g(x)－1的图象，如图2所示，由图象知，f(x)＝g(x)－1有一个实数根．因此，|f(x)－g(x)|＝1的实数根的个数为4．故选C． 二、填空题 10.答案：(0，1] 解析：当x＞0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1．因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点．令f(x)＝0，得a＝2x．因为0＜2x≤20＝1，所以0＜a≤1，所以实数a的取值范围是(0，1]． 11.答案：4 解析：令函数f(x)＝|x2－4x|－a＝0，可得|x2－4x|＝a．由于函数f(x)＝|x2－4x|－a的零点个数为3，故函数y＝|x2－4x|的图象和直线y＝a有3个交点，如图所示，故a＝4． 12.答案：－2，0 解析：由题意知方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0．当Δ＝0，即m2－4＝0时，m＝±2．当m＝－2时，t＝1；当m＝2时，t＝－1，不合题意，舍去．所以2x＝1，x＝0符合题意．当Δ＞0，即m＞2或m＜－2时，设t2＋mt＋1＝0有两个根t1，t2且t1t2＝1．又因为t＞0，所以t1＞0，t2＞0，则原方程有两个根，这种情况不可能．综上所述，当m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0． 13.答案：－2，0，(－∞，－2]∪{0} 解析：令f(x)＝(x＋2)x2＝0，解得x＝－2或x＝0，即f(x)的零点为－2或0．由f(x)≤0，得(x＋2)x2≤0或x＝0，解得x≤－2或x＝0，即不等式的解集为(－∞，－2]∪{0}． 三、解答题 14.解：(1)要使函数有意义，需2－x＞0，解得x＜2， ∴函数定义域为(－∞，2)． (2)令f(x)＝loga(2－x)＝0，∴2－x＝1，解得x＝1． ∵1∈(－∞，2)，∴函数f(x)的零点为1． 15.解：(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3； 当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2． 所以函数f (x)＝的零点为－3和e2． (2)由已知得f (3)＝0，即3a－b＝0，即b＝3a． 故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)． 令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－． 所以函数g(x)的零点为0和－． 16.解：(1)∵－1和－3是函数f(x)的两个零点， ∴－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的实数解， 则解得k＝－2． (2)由题意知α和β是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的实数解， ∴则 ∴α2＋β2在区间内的取值范围为．故α2＋β2的取值范围为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$