第3课 证明-2024-2025学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第3课 证明 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解证明的含义，理解证明的必要性及一般格式 2.掌握三角形外角的性质 ( 知识精讲 ) 知识点01 证明 1.证明：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论）一步一步推出结论成立，这样的推理过程叫做证明 2.几何证明的一般： (1)按题意画出图形. (2)分清命题的条件和结论，结合图形,在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论. (3)在“证明”中写出推理过程. 注：（1）证明过程中的每一步推理都要有依据，依据作为推理的理由，可以写在每一步后的括号内； （2）在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中.辅助线通常画成虚线 知识点02 三角形外角的性质 　1.定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角 2.特点: （1）外角的顶点在三角形的一个顶点上; （2）外角的一条边是三角形的一边; （3）外角的另一条边是三角形某条边的 3.性质: 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ( 能力拓展 ) 考点01 证明 【典例1】请填空，完成下面的证明． 如图，已知AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，∠1+∠2＝180°，证明：∠CGD＝∠CAB． 证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）， ∴∠ADB＝∠EFB＝90°（ 　 　）， ∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行）， ∴∠3+∠2＝180°（ 　 　）， ∵∠1+∠2＝180°（已知）， ∴∠3＝∠1（ 　 　）， ∴DG∥AB（ 　 　）， ∴∠CGD＝∠CAB（ 　 　）． 【即学即练1】如图，若AB∥CD，CE平分∠DCB，且∠B+∠DAB＝180°．求证：∠E＝∠3． 证明：∵CE平分∠DCB（已知） ∴　　＝　　（角平分线的定义） ∵AB∥CD（已知） ∴∠2＝　　 ∴∠1＝∠3 　 　 ∵∠B+∠DAB＝180°（已知） ∴　 　∥　 　 ∴∠E＝　 　 ∴∠E＝∠3（等量代换） 考点02 三角形外角的性质 【典例2】如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数； （2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E． 【即学即练2】如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC＝70° 求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．如图，要得到a∥b，则需要条件（　　） A．∠1+∠2＝180° B．∠1＝∠2 C．∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2＝120° 2．如图，能判定EC∥AB的条件是（　　） A．∠B＝∠ACE B．∠A＝∠ECD C．∠B＝∠ACB D．∠A＝∠ACE 3．如图所示，下列推理及所注理由错误的是（　　） A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等） C．∵AD∥BC，∴∠2＝∠4（两直线平行，内错角相等） D．∵∠2＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 4．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是（　　） A．100° B．90° C．80° D．70° 5．如图，若∠A＝27°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE等于（　　） A．120° B．115° C．110° D．105° 6．如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝120°，∠B＝70°，则∠A＝　　． 7．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A＝44°，∠1＝57°，则∠2＝　 　． 8．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　　°． 9．补全证明过程：（括号内填写理由） 一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于A、G、H、D，如果∠1＝∠2，∠A＝∠D，求证：∠B＝∠C． 证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3，（ 　 　） ∴∠2＝∠3，（ 　 　） ∴CE∥BF，（ 　 　） ∴∠C＝∠4，（ 　 　） 又∵∠A＝∠D，（ 　 　） ∴AB∥　CD　，（ 　 　） ∴∠B＝∠4，（ 　 　） ∴∠B＝∠C．（等量代换） 10．已知：如图，AB∥CD，∠B+∠D＝180°，求证：BE∥FD． 11．已知如图∠B＝∠C，∠1＝∠2，∠BAD＝40°，求∠EDC度数． 12．如图，在△ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠CDG＝∠B，∠1+∠FEA＝180°． 求证：（1）EH∥AD； （2）∠BAD＝∠H． 题组B 能力提升练 13．如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，则∠DAE的度数为（　　） A．40° B．20° C．18° D．38° 14．如图，∠BDC＝110°，∠C＝38°，∠A＝35°，∠B的度数是（　　） A．43° B．33° C．37° D．47° 15．如图，CE平分∠ACD，交AB于点E，∠A＝40°，∠B＝30°，∠D＝104°，则∠BEC的度数为　　． 16．在学习中，小明发现：当n＝1，2，3时，n2﹣6n的值都是负数．于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2﹣6n的值都是负数．小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由． 17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，F是AC边上一点，BF与AD交于点E，∠ABC＝45°，∠BAC＝75°，∠AEB＝120°．求证：BF⊥AC． 18．如图，EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，点G在AC边上，且∠AGD＝∠ACB， （1）求证：EF∥CD； （2）求证：∠1＝∠2． 题组C 培优拔尖练 19．如图，在△ABC中，∠A＝78°，∠ACD是△ABC的一个外角，∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，则∠E为（　　） A．22° B．26° C．28° D．30° 20．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 21．如图，已知∠A＝α，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点A1，得∠A1；若∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2…∠A2015BC的平分线与∠A2015CD的平分线相交于点A2016，得∠A2016，则∠A2016＝　　．（用含α的式子表示） 22．阅读理解： 能被7（或11或13）整除的特征：如果一个自然数末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）是7（或11或13）的倍数，则这个数就能被7（或11或13）整除． 如：456533，533﹣456＝77，77是7的11倍，所以，456533能被7整除．又如：345548214，345548﹣214＝345334，345﹣334＝11，11是11的1倍，所以，345548214能被11整除． （1）用材料中的方法验证67822615是7的倍数（写明验证过程）； （2）若对任意一个七位数，末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）是11的倍数，证明这个七位数一定能被11整除． 23．已知：△ABC中，记∠BAC＝α，∠ACB＝β． （1）如图1，若AP平分∠BAC，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于点D． ①用α的代数式表示∠BPC的度数； ②用β的代数式表示∠PBD的度数； （2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，且BD⊥AP于点D． ①请补全图形； ②猜想（1）中的两个结论是否发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，直接写出正确的结论． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3课 证明 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解证明的含义，理解证明的必要性及一般格式 2.掌握三角形外角的性质 ( 知识精讲 ) 知识点01 证明 1.证明：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论）一步一步推出结论成立，这样的推理过程叫做证明 2.几何证明的一般： (1)按题意画出图形. (2)分清命题的条件和结论，结合图形,在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论. (3)在“证明”中写出推理过程. 注：（1）证明过程中的每一步推理都要有依据，依据作为推理的理由，可以写在每一步后的括号内； （2）在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中.辅助线通常画成虚线 知识点02 三角形外角的性质 　1.定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角 2.特点: （1）外角的顶点在三角形的一个顶点上; （2）外角的一条边是三角形的一边; （3）外角的另一条边是三角形某条边的 3.性质: 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ( 能力拓展 ) 考点01 证明 【典例1】请填空，完成下面的证明． 如图，已知AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，∠1+∠2＝180°，证明：∠CGD＝∠CAB． 证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）， ∴∠ADB＝∠EFB＝90°（ 　垂直的定义　）， ∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行）， ∴∠3+∠2＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　）， ∵∠1+∠2＝180°（已知）， ∴∠3＝∠1（ 　同角的补角相等　）， ∴DG∥AB（ 　内错角相等，两直线平行　）， ∴∠CGD＝∠CAB（ 　两直线平行，同位角相等　）． 【思路点拨】根据同位角相等，两直线平行得出AD∥EF，根据平行线的性质得出∠3+∠2＝180°，求出∠1＝∠3，根据平行线的判定得出DG∥AB，根据平行线的性质得出∠CGD＝∠CAB即可． 【解析】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）， ∴∠ADC＝∠EFC＝90°（垂直定义）， ∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行）， ∴∠3+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠1＝∠3（同角的补角相等）， ∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行）， ∴∠CGD＝∠CAB（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：垂直的定义；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，补角定义的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 【即学即练1】如图，若AB∥CD，CE平分∠DCB，且∠B+∠DAB＝180°．求证：∠E＝∠3． 证明：∵CE平分∠DCB（已知） ∴　∠1　＝　∠2　（角平分线的定义） ∵AB∥CD（已知） ∴∠2＝　∠3　 ∴∠1＝∠3 　等量代换　 ∵∠B+∠DAB＝180°（已知） ∴　AD　∥　BC　 ∴∠E＝　∠1　 ∴∠E＝∠3（等量代换） 【思路点拨】根据平行线的判定和性质进行解答即可． 【解析】证明：∵CE平分∠DCB（已知）， ∴∠1＝∠2（角平分线的定义）， ∵AB∥CD（已知）， ∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）， ∴∠1＝∠3（等量代换）， ∵∠B+∠DAB＝180°（已知）， ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠E＝∠1（两直线平行，内错角相等）， ∴∠E＝∠3（等量代换）． 故答案为：∠1；∠2；∠3；等量代换；AD；BC；∠1． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法：同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行． 考点02 三角形外角的性质 【典例2】如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数； （2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E． 【思路点拨】（1）根据三角形的外角性质求出∠ECD，根据角平分线的定义求出∠ACE，再根据三角形的外角性质计算，得到答案； （2）根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，证明结论． 【解析】（1）解：∵∠B＝35°，∠E＝25°， ∴∠ECD＝∠B+∠E＝60°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠ECD＝60°， ∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝85°； （2）证明：∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD＝∠ACE， ∵∠BAC＝∠E+∠ACE， ∴∠BAC＝∠E+∠ECD， ∵∠ECD＝∠B+∠E， ∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E， ∴∠BAC＝2∠E+∠B． 【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【即学即练2】如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC＝70° 求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数． 【思路点拨】（1）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ADC＝∠B+∠BAD，又∠B＝∠BAD，求出∠B的度数； （2）根据三角形内角和定理，直接求出∠C的度数． 【解析】解：（1）∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）且∠B＝∠BAD， ∴∠B＝40°； （2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理），∠BAC＝70°，∠B＝40°， ∴∠C＝70°． 【点睛】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，在三角形中求角度的大小时，经常运用它们解题． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．如图，要得到a∥b，则需要条件（　　） A．∠1+∠2＝180° B．∠1＝∠2 C．∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2＝120° 【思路点拨】根据同位角相等，两直线平行，可得出a∥b，需要的条件． 【解析】解：∵∠1＝∠2， ∴a∥b． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行． 2．如图，能判定EC∥AB的条件是（　　） A．∠B＝∠ACE B．∠A＝∠ECD C．∠B＝∠ACB D．∠A＝∠ACE 【思路点拨】根据平行线的判定定理即可直接判断． 【解析】解：A、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误； B、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误； C、不是EC和AB形成的同位角、也不是内错角，故选项错误； D、正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了判定两直线平行的方法，正确理解同位角、内错角和同旁内角的定义是关键． 3．如图所示，下列推理及所注理由错误的是（　　） A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等） C．∵AD∥BC，∴∠2＝∠4（两直线平行，内错角相等） D．∵∠2＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 【思路点拨】根据平行线的性质和判定定理逐个判断即可． 【解析】解：A、由∠1＝∠3能推出AB∥CD，故本选项错误； B、由AB∥CD能推出∠1＝∠3，故本选项错误； C、由AD∥BC能推出∠2＝∠4，故本选项错误； D、由∠2＝∠4不能推出AB∥CD，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 4．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是（　　） A．100° B．90° C．80° D．70° 【思路点拨】根据三角形的内角和定理和三角形的外角的性质即可得到结论． 【解析】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°， ∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°． ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACB＝×100°＝50°， ∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝50°+50°＝100°． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 5．如图，若∠A＝27°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE等于（　　） A．120° B．115° C．110° D．105° 【思路点拨】根据三角形外角的性质三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AEB＝∠A+∠C＝65°，∠DFE＝∠B+∠AEC，进而可得答案． 【解析】解：∵∠A＝27°，∠C＝38°， ∴∠AEB＝∠A+∠C＝65°， ∵∠B＝45°， ∴∠DFE＝65°+45°＝110°， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 6．如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝120°，∠B＝70°，则∠A＝　50°　． 【思路点拨】直接利用三角形的外角性质即可求解． 【解析】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠ACD＝120°，∠B＝70°， ∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝50°． 故答案为：50°． 【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 7．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A＝44°，∠1＝57°，则∠2＝　101°　． 【思路点拨】根据两直线平行，同位角相等可得∠B＝∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【解析】解：∵DE∥BC， ∴∠B＝∠1＝57°， 由三角形的外角性质得，∠2＝∠A+∠B＝44°+57°＝101°． 故答案为：101°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 8．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　30　°． 【思路点拨】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数． 【解析】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， ∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°， ∵∠PCM是△BCP的外角， ∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 9．补全证明过程：（括号内填写理由） 一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于A、G、H、D，如果∠1＝∠2，∠A＝∠D，求证：∠B＝∠C． 证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3，（ 　对顶角相等　） ∴∠2＝∠3，（ 　等量代换　） ∴CE∥BF，（ 　同位角相等，两直线平行　） ∴∠C＝∠4，（ 　两直线平行，同位角相等　） 又∵∠A＝∠D，（ 　已知　） ∴AB∥　CD　，（ 　内错角相等，两直线平行　） ∴∠B＝∠4，（ 　两直线平行，内错角相等　） ∴∠B＝∠C．（等量代换） 【思路点拨】根据平行线的性质和判定解答即可． 【解析】证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（对顶角相等）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）， ∴∠C＝∠4（两直线平行，同位角相等）， 又∵∠A＝∠D（已知）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）， ∴∠B＝∠4（两直线平行，内错角相等）， ∴∠B＝∠C（等量代换）． 故答案为：对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定和性质，关键是掌握平行线的判定定理和性质定理． 10．已知：如图，AB∥CD，∠B+∠D＝180°，求证：BE∥FD． 【思路点拨】根据平行线的性质得出∠B＝∠BMD，求出∠BMD+∠D＝180°，根据平行线的判定得出即可． 【解析】证明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠BMD， ∵∠B+∠D＝180°， ∴∠BMD+∠D＝180°， ∴BE∥FD． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键． 11．已知如图∠B＝∠C，∠1＝∠2，∠BAD＝40°，求∠EDC度数． 【思路点拨】首先在△ABD中，由三角形的外角性质得到∠EDC+∠1＝∠B+40°，同理可得到∠2＝∠EDC+∠C，联立两个式子，结合∠B＝∠C，∠1＝∠2的已知条件，即可求出∠EDC的度数． 【解析】解：△ABD中，由三角形的外角性质知： ∠ADC＝∠B+∠BAD，即∠EDC+∠1＝∠B+40°；① 同理，得：∠2＝∠EDC+∠C， 已知∠1＝∠2，∠B＝∠C， ∴∠1＝∠EDC+∠B，② ②代入①得： 2∠EDC+∠B＝∠B+40°，即∠EDC＝20°． 【点睛】此题主要考查的是三角形的外角性质，理清图形中各角之间的关系是解题的关键． 12．如图，在△ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠CDG＝∠B，∠1+∠FEA＝180°． 求证：（1）EH∥AD； （2）∠BAD＝∠H． 【思路点拨】（1）先证DG∥AB，得出∠1＝∠BAD，则∠BAD+∠FEA＝180°，再根据平行线的判定即可得出结论； （2）根据平行线的性质得出∠1＝∠H，即可得出结论． 【解析】证明：（1）∵∠CDG＝∠B， ∴DG∥AB， ∴∠1＝∠BAD， ∵∠1+∠FEA＝180°， ∴∠BAD+∠FEA＝180°， ∴EH∥AD； （2）由（1）得：∠1＝∠BAD，EH∥AD， ∴∠1＝∠H， ∴∠BAD＝∠H． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，能灵活运用平行线的判定与性质进行推理是解此题的关键． 题组B 能力提升练 13．如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，则∠DAE的度数为（　　） A．40° B．20° C．18° D．38° 【思路点拨】△ABC中已知∠B＝36°，∠C＝76°，就可知道∠BAC的度数，则∠BAE就可求出；∠DAE是直角三角形△ADE的一个内角，则∠DAE＝90°﹣∠ADE． 【解析】解：∵△ABC中已知∠B＝36°，∠C＝76， ∴∠BAC＝68°． ∴∠BAD＝∠DAC＝34°， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝70°， ∴∠DAE＝20°． 故选：B． 【点睛】根据已知条件善于找出题目中的能求出角的条件是解题的关键，在平时解题中要善于对题目进行分析． 14．如图，∠BDC＝110°，∠C＝38°，∠A＝35°，∠B的度数是（　　） A．43° B．33° C．37° D．47° 【思路点拨】延长CD交AB于点E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠1，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【解析】解：如图，延长CD交AB于点E， ∵∠C＝38°，∠A＝35°， ∴∠1＝∠C+∠A＝38°+35°＝73°， ∵∠BDC＝110°， ∴∠B＝∠BDC﹣∠1＝110°﹣73°＝37°． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 15．如图，CE平分∠ACD，交AB于点E，∠A＝40°，∠B＝30°，∠D＝104°，则∠BEC的度数为　57°　． 【思路点拨】延长CD交AB于F，根据三角形的外角性质、角平分线的定义计算即可． 【解析】解：延长CD交AB于F， ∵∠BDC是△BFD的一个外角， ∴∠BFD＝∠BDC﹣∠B＝104°﹣30°＝74°， ∵∠BFD是△AFC的一个外角， ∴∠ACF＝∠BFD﹣∠A＝74°﹣40°＝34°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠FCE＝∠ACF＝17°， ∵∠BEC是△AEC的一个外角， ∴∠BEC＝∠ACE+∠A＝17°+40°＝57°， 故答案为：57°． 【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 16．在学习中，小明发现：当n＝1，2，3时，n2﹣6n的值都是负数．于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2﹣6n的值都是负数．小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由． 【思路点拨】因为n2﹣6n＝n（n﹣6），所以只要n≥6时，该式子的值都表示非负数． 【解析】答：不正确． 解法一：（利用反例证明）例如：当n＝7时，n2﹣6n＝7＞0； 解法二：n2﹣6n＝n（n﹣6），当n≥6时，n2﹣6n≥0． 【点睛】通过此题可说明一点：学生在解答问题时不能太片面性，而要能够全面考虑问题． 17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，F是AC边上一点，BF与AD交于点E，∠ABC＝45°，∠BAC＝75°，∠AEB＝120°．求证：BF⊥AC． 【思路点拨】先根据AD⊥BC，∠ABC＝45°得出∠BAD＝45°，故∠EAF＝∠BAC﹣∠BAD＝75°﹣45°＝30°，再根据∠AFB＝120°得出∠BFD的度数，根据对顶角相等求出∠AFE的度数，进而可得出∠AEF的度数，由此可得出结论． 【解析】证明：∵AD⊥BC，∠ABC＝45°， ∴∠BAD＝45°， ∴∠EAF＝∠BAC﹣∠BAD＝75°﹣45°＝30°． ∵∠AFB＝120°， ∴∠BFD＝180°﹣120°＝60°， ∴∠AFE＝60°． 在△AEF中， ∵∠EAF＝30°，∠AFE＝60°， ∴∠AEF＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∴BE⊥AC． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 18．如图，EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，点G在AC边上，且∠AGD＝∠ACB， （1）求证：EF∥CD； （2）求证：∠1＝∠2． 【思路点拨】（1）由垂直的定义可得∠BFE＝∠BDC，再根据平行线的判定可证明EF∥CD； （2）由条件可证明DG∥BC，结合（1）的结论，根据平行线的性质可证明∠1＝∠2． 【解析】证明：（1）∵EF⊥AB于F，CD⊥AB于D， ∴∠BFE＝∠BDC＝90°， ∴EF∥CD； （2）∵EF∥CD， ∴∠2＝∠3， ∵∠AGD＝∠ACB， ∴DG∥BC， ∴∠1＝∠3 ∴∠1＝∠2． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c． 题组C 培优拔尖练 19．如图，在△ABC中，∠A＝78°，∠ACD是△ABC的一个外角，∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，则∠E为（　　） A．22° B．26° C．28° D．30° 【思路点拨】根据三角形外角的性质即可得到结论． 【解析】解：∵∠1+∠E＝∠2， ∴∠E＝∠2﹣∠1， ∵∠A+3∠1＝∠ACD＝3∠2， ∴∠A＝3∠2﹣3∠1＝3（∠2﹣∠1）＝3∠E＝78°， ∴∠E＝26°． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质定理是解题的关键． 20．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ABC，根据角平分线的定义可得∠EAC＝2∠EAD，然后求出∠EAD＝∠ABC，再根据同位角相等，两直线平行可得AD∥BC，判断出①正确； 根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB＝∠CBD，再根据角平分线的定义可得∠ABC＝2∠CBD，从而得到∠ACB＝2∠ADB，判断出②正确； 根据两直线平行，内错角相等可得∠ADC＝∠DCF，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义整理可得∠ADC＝90°﹣∠ABD，判断出③正确； 根据三角形的外角性质与角平分线的定义表示出∠DCF，然后整理得到∠BDC＝∠BAC，判断出⑤错误，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBD＝∠ADB，∠ABC与∠BAC不一定相等，所以∠ADB与∠BDC不一定相等，判断出④错误． 【解析】解：由三角形的外角性质得，∠EAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ABC， ∵AD是∠EAC的平分线， ∴∠EAC＝2∠EAD， ∴∠EAD＝∠ABC， ∴AD∥BC，故①正确， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠CBD， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴∠ACB＝2∠ADB，故②正确； ∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠DCF， ∵CD是∠ACF的平分线， ∴∠ADC＝∠ACF＝（∠ABC+∠BAC）＝（180°﹣∠ACB）＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABD，故③正确； 由三角形的外角性质得，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠DCF＝∠BDC+∠DBC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF， ∴∠DBC＝∠ABC，∠DCF＝∠ACF， ∴∠BDC+∠DBC＝（∠ABC+∠BAC）＝∠ABC+∠BAC＝∠DBC+∠BAC， ∴∠BDC＝∠BAC，故⑤错误； ∵AD∥BC， ∴∠CBD＝∠ADB， ∵∠ABC与∠BAC不一定相等， ∴∠ADB与∠BDC不一定相等， ∴BD平分∠ADC不一定成立，故④错误； 综上所述，结论正确的是①②③共3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，熟记各性质并综合分析，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 21．如图，已知∠A＝α，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点A1，得∠A1；若∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2…∠A2015BC的平分线与∠A2015CD的平分线相交于点A2016，得∠A2016，则∠A2016＝　　．（用含α的式子表示） 【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，整理即可求出∠A1的度数，同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的，根据发现后一个角等于前一个角的的规律即可得解，把∠A＝α代入∠An＝∠A可求得答案． 【解析】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线， ∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD， 又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1， ∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1， ∴∠A1＝∠A， 同理可得∠A2＝∠A1＝×∠A＝∠A， 由此可得一下规律：∠An＝∠A， 当∠A＝α时，∠A2016＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的是解题的关键． 22．阅读理解： 能被7（或11或13）整除的特征：如果一个自然数末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）是7（或11或13）的倍数，则这个数就能被7（或11或13）整除． 如：456533，533﹣456＝77，77是7的11倍，所以，456533能被7整除．又如：345548214，345548﹣214＝345334，345﹣334＝11，11是11的1倍，所以，345548214能被11整除． （1）用材料中的方法验证67822615是7的倍数（写明验证过程）； （2）若对任意一个七位数，末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）是11的倍数，证明这个七位数一定能被11整除． 【思路点拨】（1）根据题意直接进行计算即可； （2）先表示出该七位数为1000a+b，再得出关系式a﹣b＝11k（k为整数），b＝a﹣11k，得出1000a+b＝11（91a﹣k），即可证明结论． 【解析】解：（1）67822615的后三位数表示的为615，末三位以前的数字所表示的数为67822， ∵67822﹣615＝67207＝7×9601， ∴67822615是7的倍数； （2）设任意一个七位数的末三位所表示的数为b，末三位以前的数字所表示的数为a，a，b均为整数， ∴这个七位数可以表示为：1000a+b， ∴a﹣b＝11k（k为整数）， ∴b＝a﹣11k， ∴1000a+b ＝1000a+a﹣11k ＝1001a﹣11k ＝11（91a﹣k）， ∴1000a+b是11的倍数， ∴对任意一个七位数，末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）是11的倍数． 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，数的整除，理解题意，掌握数的整除是解答此题的关键． 23．已知：△ABC中，记∠BAC＝α，∠ACB＝β． （1）如图1，若AP平分∠BAC，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于点D． ①用α的代数式表示∠BPC的度数； ②用β的代数式表示∠PBD的度数； （2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，且BD⊥AP于点D． ①请补全图形； ②猜想（1）中的两个结论是否发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，直接写出正确的结论． 【思路点拨】（1）①如图1根据角平分线的定义得到∠PBC＝∠PBM＝∠CBM＝（α+β）根据三角形的内角和即可得到结论； ②根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到结论； （2）①根据题意画出图形即可； ②根据角平分线的定义和三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可得到结论． 【解析】解：（1）①如图1∵BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN ∴∠PBC＝∠PBM＝∠CBM＝（α+β） ∠1＝∠BCN＝（180°﹣β） ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠1 ＝180°﹣（α+β）﹣（180°﹣β） ＝90°﹣α； ②在Rt△PBD中，∠PBD＝90°﹣∠BPD， ∵∠BPD＝∠PBM﹣∠2 ＝（α+β）﹣α ＝β ∴∠PBD＝90°﹣β； （2）①如图2所示， ②中的两个结论发生了变化， ∵∠BAC＝α， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α， ∵点P为△ABC的三条内角平分线的交点， ∴∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB， ∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝90°+α； ∵∠BPD＝∠BAP+∠ABP＝（∠ABC+∠BAC）＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣β， ∵BD⊥AD， ∴∠ADB＝90°， ∴∠PBD＝90°﹣（90°﹣β）＝． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$