4.1.2 乘法公式与全概率公式课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

第四章　概率与统计 4.1.2　乘法公式与全概率公式 人教B版 数学 选择性必修第二册 课程标准 1.结合古典概型,会用乘法公式计算概率. 2.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率. *3.了解贝叶斯公式. 基础落实·必备知识全过关 知识点　乘法公式与全概率公式 1.乘法公式:由条件概率的计算公式P(B|A)= 可知,P(BA)=　　 　　,这就是说,根据事件A发生的概率,以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率,可以求出A与B同时发生的概率.一般地,这个结论称为乘法公式.  P(A)P(B|A) 2.全概率公式: 全概率可理解为事件的和与乘法公式的综合应用 P(A)P(B|A) 定理1　若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足: (1)任意两个事件均互斥,即AiAj=⌀,i,j=1,2,…,n,i≠j; (2)A1+A2+…+An=Ω; (3)P(Ai)>0,i=1,2,3,…,n. 则对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn,且 上述公式也称为全概率公式. *3.贝叶斯公式:一般地,当1>P(A)>0且P(B)>0时,有 这称为贝叶斯公式. 定理2　若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足: (1)任意两个事件均互斥,即AiAj=⌀,i,j=1,2,…,n,i≠j; (2)A1+A2+…+An=Ω; (3)1>P(Ai)>0,i=1,2,…,n. 则对Ω中的任意概率非零的事件B,有 上述公式也称为贝叶斯公式. 过关自诊 1.已知P(A)=0.3,P(B|A)=0.2,则P(BA)=　　　　　.  2.已知P(A)=0.5,P(B|A)=0.3,P(B| )=0.4,则P(B)=　　　　　.  3.袋子中有三个红球、一个黑球,不放回地摸球,则第二次摸到红球的概率是　 .  0.06 解析 P(BA)=P(A)·P(B|A)=0.3×0.2=0.06. 0.35 解析 用A1表示“第一次摸到红球”,A2表示“第二次摸到红球”,B1表示“第一次摸到黑球”,由全概率公式,P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1) 重难探究·能力素养全提升 探究点一　乘法公式 【例1】 [北师大版教材例题]已知口袋中有3个黑球和7个白球,这10个球除颜色外完全相同. (1)先后两次从中不放回地各摸出一球,求两次摸到的均为黑球的概率; (2)从中不放回地摸球,每次各摸一球,求第三次才摸到黑球的概率. 解 设事件Ai表示“第i次摸到的是黑球”(i=1,2,3),则事件A1A2表示“两次摸到的均为黑球”. 变式探究 本例中条件不变,求先后两次从中不放回地各摸出一球,第一次取得黑球,第二次取得白球的概率. 规律方法　乘法公式求概率的关注点 (1)来源:乘法公式是条件概率公式的变形式. (2)适用情境:求P(AB)时可用乘法公式. 变式训练1[北师大版教材习题]甲、乙两人参加面试,每人的试题通过不放回抽签的方式确定.假设被抽的10个试题签中有4个是难题签,按甲先乙后的次序抽签. (1)求甲抽到难题签的概率; (2)若甲抽到难题签,求乙也抽到难题签的概率; (3)求甲和乙都抽到难题签的概率. 解 设事件A表示“甲抽到难题签”,事件B表示“乙抽到难题签”. (1)甲抽到难题签的概率 (2)若甲抽到难题签,则乙也抽到难题签的概率为 (3)甲和乙都抽到难题签的概率为 探究点二　全概率公式 【例2】 [人教A版教材习题]现有12道四选一的单选题,学生张君对其中9道题有思路,3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9,没有思路的题只好任意猜一个答案,猜对答案的概率为0.25.张君从这12道题中随机选择1题,求他做对该题的概率. 变式训练2从5件正品、2件次品中不放回地取出2件,则第二次取出正品的概率是　　　　　　.  探究点三　贝叶斯公式 【例3】 [人教A版教材例题]有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%. (1)任取一个零件,计算它是次品的概率; (2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率. 解 设B表示“任取一个零件为次品”,Ai表示“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥. 根据题意得P(A1)=0.25,P(A2)=0.3,P(A3)=0.45, P(B|A1)=0.06,P(B|A2)=P(B|A3)=0.05. (1)由全概率公式,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.052 5. (2)“如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率”,就是计算在B发生的条件下,事件Ai发生的概率. 规律方法　贝叶斯公式的理解 (1)贝叶斯公式可以看作是全概率公式和条件概率公式的综合应用. (2)贝叶斯公式可用于责任承担的评估,像例题中计算得到3号车床的责任份额最大. 变式训练3[人教A版教材习题]在A,B,C三个地区暴发了流感,这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为5∶7∶8,现从这三个地区中任意选取一个人. (1)求这个人患流感的概率; (2)如果此人患流感,求此人选自A地区的概率.   解 设A表示“选取的人患流感”,用B1,B2,B3分别表示“选取的人来自A,B,C 地区”, 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 级 必备知识基础练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.[探究点二]已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02,0.01,则一辆汽车中途停车修理的概率为(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.[探究点三]两批同规格的产品,第一批占40%,次品率为5%;第二批占60%,次品率为4%.将两批产品混合,从混合产品中任取一件,则这件产品合格的概率是　　　　　,已知取得的产品是合格品,则它取自第一批产品的概率 是　　　　　.  0.956 解析 设A1表示“产品取自第一批产品”,A2表示“产品取自第二批产品”,B=“取得的产品为合格品”,根据题意P(A1)=0.4,P(A2)=0.6,P(B|A1)=0.95,P(B|A2)=0.96. 由全概率公式,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) =0.4×0.95+0.6×0.96=0.956,由贝叶斯公式, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.[探究点一·人教A版教材例题]已知3张奖券中只有1张有奖,甲、乙、丙 3名同学依次不放回地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 级 关键能力提升练 6.[2023江苏南京天印高级中学高二期中]设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片,已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的,且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为 .现从这10盒中任取一盒,再从这盒中任取一张X光片,则取得的X光片是次品的概率为 (　　) A.0.08 B.0.1 C.0.15 D.0.2 A 解析 以A1,A2,A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,B表示取得的X光片为次品, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.(多选题)在某一季节,疾病D1的发病率为2%,病人中40%表现出症状S,疾病D2的发病率为5%,病人中18%表现出症状S,疾病D3的发病率为0.5%,病人中60%表现出症状S.则(　　) A.任意一位病人有症状S的概率为0.02 B.病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4 C.病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45 D.病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 P(D1)=0.02,P(D2)=0.05,P(D3)=0.005,P(S|D1)=0.4,P(S|D2)=0.18,P(S|D3)=0.6,由全概率公式得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.甲箱中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙箱中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,分别以A1,A2和A3表示由甲箱取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙箱中随机取出一球,以B表示由乙箱取出的球是红球的事件,则下列结论正确的是(　　) A.事件B与事件Ai(i=1,2,3)相互独立 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.甲和乙两个箱子中各装有10个球,其中甲箱中5个红球、5个白球,乙箱中8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子,如果点数为1或2,从甲箱中摸出1个球;如果点数为3,4,5,6,从乙箱中摸出1个球,则摸到红球的概率 是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.有两台车床加工同一型号的零件,第1台车床加工的次品率为5%,第2台车床加工的次品率为6%,加工出来的零件混放在一起.已知两台车床加工的零件数分别占总数的45%,55%,则任取一个零件是次品的概率为　　　　.  0.055 5　 解析 依题意,任取一个零件,它是次品的概率为5%×45%+6%×55%=5.55%. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.有3箱同种型号零件,里面分别装有50件、30件、40件,而且一等品分别有20件、12件和24件,现在任取一箱,从中不放回地先后取出2个零件. (1)求先取出的零件是一等品的概率; (2)求两次取出的零件均为一等品的概率.(结果保留两位小数) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解 (1)记事件Ai表示“任取的一箱为第i箱零件”,则i=1,2,3; 记事件Bj表示“第j次取到的是一等品”,则j=1,2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 级 学科素养创新练 12.某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据: 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志. (1)在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率; (2)在仓库中随机地取一只元件,若已知取到的是次品,为分析此次品出自何厂,需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少.试求这些概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解 设A表示“取到的是一只次品”,Bi(i=1,2,3)表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”. 易知B1,B2,B3是样本空间的一个划分,且有P(B1)=0.15,P(B2)=0.80,P(B3)=0.05,P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01, P(A|B3)=0.03. (1)由全概率公式,得P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.012 5. P(B2|A)=0.64,P(B3|A)=0.12. 以上结果表明,这只次品来自第2家工厂的可能性最大. 一般地,如果样本空间为Ω,而A,B为事件,则BA与B是互斥的,且B=BΩ=B(A+)=BA+B,如图所示,从而P(B)=P(BA+B)=P(BA)+P(B). 更进一步,当P(A)>0且P()>0时,因为由乘法公式有P(BA)=　　　　　,P(B)=P()P(B|),所以P(B)=　　　　　　　　　　.这称为全概率公式.  P(A)P(B|A)+P()P(B|) P(B)=P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai). P(A|B)=. P(Aj|B)=. 解析 P(B)=P(A)·P(B|A)+P()·P(B|)=0.5×0.3+0.5×0.4=0.35. =×1=. (1)由题意知P(A1)=,P(A2|A1)=. 于是,根据乘法公式,有P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=. 所以先后两次从中不放回地各摸出一球,两次摸到的均为黑球的概率为. (2)设事件A表示“第三次才摸到黑球”,则A=A3. 由题意知P()=,P()=,P(A3|)=. 于是,根据乘法公式,有P(A3)=P()P()·P(A3|) =. 所以从中不放回地摸球,每次各摸一球,第三次才摸到黑球的概率为. 解 设事件B表示“第二次取得白球”,则P(B|A1)=,所以P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=. P(A)=. P(B|A)=. P(AB)=P(A)P(B|A)=. 解 设事件A表示“选到有思路的题”,B表示“选到的题做对”,则Ω=A∪,且A与互斥.由题意得P(A)=,P()=, P(B|A)=0.9,P(B|)=0.25. 由全概率公式,得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×0.9+×0.25=0.737 5. 即他做对该题的概率为0.737 5. 解析 设Ai=“第i次取出正品”,i=1,2. 根据全概率公式,P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()·P(A2|)=. P(A1|B)=. 类似地,可得P(A2|B)=,P(A3|B)=. 则P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=, P(A|B1)=6%,P(A|B2)=5%,P(A|B3)=4%. (1)由全概率公式,得P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=×(5×6%+7×5%+8×4%)=4.85%. (2)由贝叶斯公式,得P(B1|A)=. 1.[探究点一]若P(A)=,P(B|A)=,则P(AB)等于(　　) A. B. C. D. 解析 由条件概率公式可得P(AB)=P(A)P(B|A)=.故选B. A. B. C. D. 解析 设B表示汽车中途停车修理,A1表示公路上经过的汽车是货车,A2表示公路上经过的汽车是客车,则P(A1)=,P(A2)=,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01,则由全概率公式,可知一辆汽车中途停车修理的概率为P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×0.02+×0.01=.故选B. 3.[探究点一·2023云南昆明一中高二阶段练习]设P(A|B)=P(B|A)=,P(A)=,则P(B)等于(　　) A. B. C. D. 解析 ∵P(AB)=P(A)P(B|A)=,由P(A|B)=,得P(B)=×2=.故选B. P(A1|B)=. 解 用A,B,C分别表示甲、乙、丙中奖的事件,则B=B,C=. P(A)=; P(B)=P(B)=P()P(B|)=; P(C)=P()=P()P()=. 因为P(A)=P(B)=P(C),所以中奖的概率与抽奖的次序无关. P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,则由全概率公式得所求概率为P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) ==0.08.故选A. P(S)=P(Di)P(S|Di)=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02.由贝叶斯公式得P(D1|S)==0.4,P(D2|S)==0.45, P(D3|S)==0.15.故选ABC. B.P(A1B)= C.P(B)= D.P(A2|B)= 由题意得P(A1)=P(A2)=P(A3)=, P(B1|A1)==0.4,P(B1|A2)==0.4,P(B1|A3)==0.6, 由全概率公式得P(B1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)·P(B1|A2)+P(A3)P(B1|A3)=×(0.4+0.4+0.6)=. (2)P(B1B2|A1)=, P(B1B2|A2)=, P(B1B2|A3)=, 由全概率公式得P(B1B2)=P(A1)P(B1B2|A1)+P(A2)P(B1B2|A2)+P(A3)P(B1B2|A3) =×()=≈0.22. (2)由贝叶斯公式,得P(B1|A)==0.24, $$