4.1.3 独立性与条件概率的关系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

第四章　概率与统计 4.1.3　独立性与条件概率的关系 人教B版 数学 选择性必修第二册 课程标准 1.在具体情境中,了解独立性与条件概率的关系. 2.能利用相互独立事件的概率公式解决一些简单的实际问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点　独立性与条件概率的关系 1.事件的相互独立性:一般地,当P(AB)=P(A)P(B)时,就称事件A与B相互独立(简称独立).事件A与B相互独立的直观理解是,事件A是否发生不会影响事件B发生的概率,事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率. 2.独立性与条件概率的关系:当P(B)>0且P(AB)=P(A)P(B)时,由条件概率的计算公式有 ,即　　　　　　.这就是说,此时事件A发生的概率与已知事件B发生时事件A发生的概率相等,也就是事件B的发生,不会影响事件A发生的概率.  类似地,可以看出,如果P(A|B)=P(A),那么一定有P(AB)=P(A)P(B). 因此,当P(B)>0时,A与B独立的充要条件是P(A|B)=P(A). 这也就同时说明,当P(A|B)≠P(A)时,事件B的发生会影响事件A发生的概率, 此时A与B是不独立的.事实上,“A与B独立”也经常被说成“A与B互不影响”等. P(A|B)=P(A) 过关自诊 1.在某次考试中,甲、乙通过的概率分别为0.7,0.4,若两人考试相互独立,则甲未通过而乙通过的概率为(　　) A.0.28 B.0.12 C.0.42 D.0.16 B 解析 甲未通过的概率为0.3,则甲未通过而乙通过的概率为0.3×0.4=0.12.故选B. 2.打靶时,甲每次打靶中靶的概率为 ,乙每次打靶中靶的概率为 ,若两人同时射击一个目标,则他们同时中靶的概率是(　　) A A.事件A与B互斥 B.事件A与B对立 C.事件A与B相互独立 D.事件A与B既互斥又相互独立 C 重难探究·能力素养全提升 探究点一　事件独立性的判断 【例1】 [北师大版教材例题]口袋中有4个黑球和3个白球,这7个球除颜色外完全相同,连摸两次,每次摸一球.记事件A表示“第一次摸得黑球”,事件B表示“第二次摸得黑球”.在放回摸球和不放回摸球两种情况下,事件A与事件B是否独立? 规律方法　两个事件是否独立的判断 (1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响. (2)定义法:当P(AB)=P(A)P(B)时,事件A,B独立. (3)条件概率法:当P(A)>0时,可用P(B|A)=P(B)判断. 变式训练1把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次,判断下列各组事件是否独立. (1)A={掷出偶数点},B={掷出奇数点}; (2)A={掷出偶数点},B={掷出3的倍数点}; (3)A={掷出偶数点},B={掷出的点数小于4}.   探究点二　相互独立事件概率的计算 【例2】 小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求: (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率; (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率. 解 用A,B,C分别表示这三列火车正点到达的事件,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9, 变式探究 本例条件下,求恰有一列火车正点到达的概率. 规律方法　与相互独立事件有关的概率问题求解策略 明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义. 一般地,已知两个事件A,B,它们的概率分别为P(A),P(B),那么: (1)A,B中至少有一个发生为事件A+B. (2)A,B都发生为事件AB. (3)A,B都不发生为事件 (4)A,B恰有一个发生为事件 (5)A,B中至多有一个发生为事件 它们之间的概率关系如表所示: 变式训练2[北师大版教材例题]a,b,c三类不同的元件连接成两个系统N1,N2.当元件a,b,c都正常工作时,系统N1正常工作;当元件a正常工作且元件b,c至少有一个正常工作时,系统N2正常工作.已知元件a,b,c正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90. (1)求系统N1正常工作的概率P1; (2)求系统N2正常工作的概率P2. 解 设事件A表示“元件a正常工作”,事件B表示“元件b正常工作”,事件C表示“元件c正常工作”. (1)依题意知P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.80×0.90×0.90=0.648. 故系统N1正常工作的概率为0.648. (2)依题意知P2=P(A)P(B)P( )+P(A)P( )P(C)+P(A)P(B)P(C) =0.80×0.90×0.10+0.80×0.10×0.90+0.80×0.90×0.90=0.792. 故系统N2正常工作的概率为0.792. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一·2023广东揭阳高一期末]若随机事件A,B满足 ,则事件A与B的关系是(　　) A.互斥 B.相互独立 C.互为对立 D.互斥且独立 B 解析 因为 ,所以有P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与B相互独立,不互斥也不对立.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.[探究点二·2023福建三明高一期末]甲、乙两个气象站同时作气象预报,如果甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7,那么在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为(　　) A.0.8 B.0.7 C.0.56 D.0.38 D 解析 因为甲、乙两个气象站同时作气象预报,甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7,所以在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率P=0.8×(1-0.7)+(1-0.8)×0.7=0.38.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.[探究点一]如果A,B是独立事件, 分别是A,B的对立事件,那么以下等式中不一定成立的是(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.[探究点一](多选题)下列各对事件中,不是相互独立事件的有(　　) A.运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环” B.甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环” C.甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标” D.甲、乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标” ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.[探究点二]有一道数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是 ,乙能解决的概率是 ,2人试图独立地在半小时内解决它,则2人都未解决的概率为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.[探究点二]甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击一次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求: (1)2人都射中目标的概率; (2)2人中恰有1人射中目标的概率; (3)2人至少有1人射中目标的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B 级 关键能力提升练 7.[2023新疆疏勒实验学校高一期末]某同学从家到学校要经过三个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,该同学在各路口遇到红灯的概率分别为 ,则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为(　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.甲、乙两队进行羽毛球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军,乙队需要再赢两局才能得到冠军,若甲队每局获胜的概率为 ,则甲队获得冠军的概率为(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.(多选题)[2023浙江杭州余杭高二阶段练习]分别抛掷两枚质地均匀的骰子(六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6),设M表示“第一枚骰子的点数为奇数”,N表示“第二枚骰子的点数为偶数”,则(　　) A.M与N互斥 B.M与N不对立 C.M与N相互独立 D.P(M∪N)= BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.某公司为了促进技术部门之间良好的竞争风气,公司决定进行一次信息化技术比赛,三个技术部门分别为麒麟部、龙吟部、鹰隼部,比赛规则如下:①每场比赛有两个部门参加,并决出胜负;②每场比赛获胜的部门与未参加此场比赛的部门进行下一场的比赛;③在比赛中,若有一个部门首先获胜两场,则本次比赛结束,该部门就获得此次信息化比赛的“优胜部门”.已知在每场比赛中,麒麟部胜龙吟部的概率为 ,麒麟部胜鹰隼部的概率为 ,龙吟部胜鹰隼部的概率为 .当麒麟部与龙吟部进行首场比赛时,麒麟部获得“优胜部门”的概率是(　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.[2023浙江高二阶段练习]甲、乙两人独立地破译一份密码,已知各人能破译的概率分别为 ,则密码被成功破译的概率为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.排球比赛的规则是5局3胜制(无平局),在某次排球比赛中,甲队在每局比赛中获胜的概率都相等,为 ,前2局中乙队以2∶0领先,则最后乙队获胜的 概率是　　　　.  解析 最后乙队获胜含3种情况:(1)第三局乙胜;(2)第三局甲胜,第四局乙胜; (3)第三局和第四局都是甲胜,第五局乙胜.故最后乙队获胜的概率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.[2023湖北随州高二期中]A,B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验,每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效.若在一个试验组中,服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为 ,服用B有效的概率为 . (1)求一个试验组为甲类组的概率; (2)观察3个试验组,求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解 (1)设Ai表示“一个试验组中,服用A有效的小白鼠有i只,i=0,1,2”, Bi表示“一个试验组中,服用B有效的小白鼠有i只,i=0,1,2”, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)依题意这3个试验组中至少有一个甲类组的对立事件为这3个试验组中没有一个甲类组的, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C 级 学科素养创新练 15.设事件A与B相互独立,两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是 ,求事件A和事件B同时发生的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 P(A|B)==P(A) A. B. C. D. 解析 由P(甲)=,P(乙)=,所以他们都中靶的概率是P=.故选A. 3.若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是(　　) 解析 ∵P(A)=1-P()=1-,∴P(AB)=P(A)P(B)=≠0,∴事件A与B相互独立、事件A与B不互斥,故不对立.故选C. 解 ①放回摸球: 依题意有P(A)=,P(B)=,P(B|A)=. 因此,P(B|A)=P(B),即放回摸球时事件A与事件B独立. ②不放回摸球: 依题意有P(A)=,P(B)=,P(AB)=. 因此,P(AB)≠P(A)P(B),即不放回摸球时事件A与事件B不独立. 解 (1)∵P(A)=,P(B)=,P(AB)=0,∴A与B不独立. (2)∵P(A)=,P(B)=,P(AB)=, ∴P(AB)=P(A)P(B),∴A与B独立. (3)∵P(A)=,P(B)=,P(AB)=, ∴P(AB)≠P(A)P(B), ∴A与B不独立. 所以P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1. (1)由题意得A,B,C之间互相独立,所以恰好有两列火车正点到达的概率P1=P(BC)+P(AC)+P(AB)=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P()=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398. (2)三列火车至少有一列正点到达的概率P2=1-P()=1-P()P()P()=1-0.2×0.3×0.1=0.994. 解 恰有一列火车正点到达的概率 P3=P(A)+P()+P(C) =P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C) =0.8×0.3×0.1+0.2×0.7×0.1+0.2×0.3×0.9 =0.092. . AB. 概率 A,B互斥 A,B相互独立 P(A+B) P(A)+P(B) 1-P()P() P(AB) 0 P(A)P(B) P() 1-[P(A)+P(B)] P()P() P(AB) P(A)+P(B) P(A)P()+P()P(B) P(+AB) 1 1-P(A)P(B) A. P(AB)=,P(A)=,P(B)= P(A)=,P(B)=,P(AB)=≠0 A.P(A∩B)=P(A)P(B) B.P(∩B)=P()P(B) C.P(A∪B)=P(A)+P(B) D.P()=(1-P(A))(1-P(B)) 解析 甲、乙两人都未能解决的概率为(1-)×(1-)=. 解 记“甲射击1次,射中目标”为事件A,“乙射击1次,射中目标”为事件B,则A与B,与B,A与相互独立, (1)2人都射中的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72,所以2人都射中目标的概率是0.72. (2)“2人各射击1次,恰有1人射中目标”包括两种情况:一种是甲射中、乙未射中(事件A发生);另一种是甲未射中、乙射中(事件B发生). 根据题意,事件AB互斥,根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,所求的概率为P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9 =0.08+0.18=0.26. 所以2人中恰有1人射中目标的概率是0.26. (3)(方法一)2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况,其概率为P=P(AB)+[P(A)+P(B)]=0.72+0.26=0.98. (方法二)“2人至少有1个射中”与“2人都未射中”为对立事件,2个都未射中目标的概率是P()=P()P()=(1-0.8)×(1-0.9)=0.02. 所以“2人至少有1人射中目标”的概率为P=1-P()=1-0.02=0.98. A. B. C. D. 解析 由题意,该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率 P=1-(1-)×(1-)×(1-)=.故选D. A. B. C. D. 9.(多选题)从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是(　　) A.2个球都是红球的概率为 B.2个球中恰有1个红球的概率为 C.至少有1个红球的概率为 D.2个球不都是红球的概率为 A. B. C. D. 解析 根据题意,甲、乙两人能成功破译的概率分别是,则密码没有被破译,即甲乙都没有成功破译密码的概率P1=(1-)×(1-)=,故该密码被成功破译的概率P2=1-P1=1-. P=+()2×. 依题意有P(A1)=2×, P(A2)=, P(B0)=, P(B1)=2×, 所求概率为P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)=. 所以所求事件概率P=1-(1-)3=. 解 在相互独立事件A和B中,只有A发生即事件A发生,只有B发生即事件B发生. ∵A和B相互独立,∴A与和B也相互独立. ∴P(A)=P(A)P()=P(A)[1-P(B)]=,① P(B)=P()P(B)=[1-P(A)]P(B)=.② 由①-②得P(A)=P(B).③ ①③联立可解得P(A)=P(B)=. ∴P(AB)=P(A)P(B)=. $$