4.3.1 一元线性回归模型 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

第四章　概率与统计 4.3.1　一元线性回归模型 人教B版 数学 选择性必修第二册 课程标准 1.能通过收集现实问题中两个有关联的变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系. 2.能根据给出的回归直线方程系数公式建立回归直线方程. 3.能通过相关性检验,了解回归分析的基本思想与方法. 4.理解非线性回归问题,并能找出解决问题的一般思路. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　相关关系 1.变量之间的常见关系 分类 概念 函数关系 两个变量之间的关系可以用函数表示.如圆的面积与半径之间的关系,就可以用函数S=πr2表示 相关关系 如果两个变量中一个变量的取值一定时,另一个变量的取值带有一定的随机性,那么这两个变量之间的关系,称为相关关系 不相关 两个变量间没有任何关系 2.散点图 (1)在讨论两个变量x和y之间的关系时,常把它们写成点(x,y)的形式,以便利用平面直角坐标系来考虑它们之间的关系,此时x和y可以看成是描述同一个体的两个不同的特征量. (2)将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫散点图. 3.线性相关关系 (1)线性相关:如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知,变量x与变量y之间的关系可以近似地用　　　　　　来刻画,则称x与y线性相关.  (2)正相关:在线性相关中,如果一个变量增大,另一个变量大体上也　　　　　,则称这两个变量正相关.  (3)负相关:在线性相关中,如果一个变量增大,另一个变量大体上　　　　,则称这两个变量负相关.  一次函数 增大 减少 名师点睛 两个随机变量x和y相关关系的判定方法 (1)散点图法:通过散点图,观察它们的分布是否存在一定规律,直观地判断. (2)表格、关系式法:结合表格或关系式进行判断. (3)经验法:借助积累的经验进行分析判断. 过关自诊 5个学生的数学成绩和物理成绩如下表: 科目 A B C D E 数学 80 75 70 65 60 物理 70 66 65 64 62 则数学成绩与物理成绩之间(　　) A.是函数关系 B.没有相关关系 C.具有相关关系,且是正相关 D.具有相关关系,且是负相关 C 解析 作出散点图(图略),从图上可以看出数学成绩和物理成绩具有相关关系,且是正相关. 知识点二　回归直线方程 1.回归直线方程 2.最小二乘法确定回归直线方程 其中, 称为　　　　　.它实际上也就是回归直线方程的斜率.  回归系数 3.回归直线方程的性质 (1)回归直线一定过点　　　　　　.  (2)回归直线方程 ,　　　　　时,y与x正相关;　　　　　　时,y与x负相关.  名师点睛 求回归直线方程的步骤 第一步:列表; 第四步:写出回归直线方程. 过关自诊 1.已知x,y的取值如下表所示: x 2 3 4 y 6 4 5 A B 知识点三　相关系数 1.相关系数r的计算公式 假设两个随机变量的数据分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则变量间相关系数r的计算公式如下: 2.相关系数r的性质 (1)|r|≤1,且y与x正相关的充要条件是r>0,y与x负相关的充要条件是r<0. (2)|r|越小,说明两个变量之间的线性相关性越弱,也就是得出的回归直线方程越没有价值,即方程越不能反映真实的情况;|r|越 大,说明两个变量之间的线性相关性越强,也就是得出的回归直线方程越有价值. (3)|r|=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上. 名师点睛 1.相关系数r只能描述两个变量之间的变化方向的密切程度,不能揭示二者之间的本质联系. 2.判断变量之间的线性相关关系,一般用散点图,但在作图时,由于存在误差,有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近,从而很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系,此时一般利用线性相关系数来判断. 3.相关系数r可以定量地反映出变量间的相关程度,明确有无必要建立两变量间的回归直线方程. 4.相关系数r与回归系数 同号. 过关自诊 已知变量x与y之间的线性相关系数r1=0.785 9,变量u与v之间的线性相关系数r2=-0.956 8,则下列判断正确的是(　　) A.变量x与y正相关,变量u与v负相关,变量x与y的线性相关性较强 B.变量x与y负相关,变量u与v正相关,变量x与y的线性相关性较强 C.变量x与y正相关,变量u与v负相关,变量u与v的线性相关性较强 D.变量x与y负相关,变量u与v正相关,变量u与v的线性相关性较强 C 解析 由线性相关系数r1=0.785 9>0知x与y正相关, 由线性相关系数r2=-0.956 8<0知u与v负相关, 又|r1|<|r2|,所以变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强,故选C. 知识点四　非线性回归 常见的非线性回归模型转化为线性回归模型 名师点睛 解决非线性回归问题的方法及步骤 (1)确定变量:确定变量x,变量y. (2)画散点图:通过观察散点图并与学过的函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数)作比较,选取拟合效果好的函数模型. (3)变量置换:通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题. (4)分析拟合效果:通过计算相关系数等来判断拟合效果. (5)写出非线性回归方程. 过关自诊 两个变量x,y的散点图如图,可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是 (　　) A.y=a·xb B.y=a·eb C.y=a+bln x D. C 解析 由散点图可知,此曲线类似对数函数型曲线,因此可用函数y=a+bln x模型进行拟合,而选项A,B,D中函数模型不符合散点图.故选C. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　相关关系的判断 【例1】 (1)下列两个变量之间的关系,哪个不是函数关系(　　) A.正方体的棱长和体积 B.圆半径和圆的面积 C.正n边形的边数和内角度数之和 D.人的年龄和身高 D 解析 A,B,C都是函数关系.而对于年龄确定的不同的人可以有不同的身高.故选D. (2)对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点图①;对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图②.由这两个散点图可以判断(　　) A.变量x与y正相关,u与v正相关 B.变量x与y正相关,u与v负相关 C.变量x与y负相关,u与v正相关 D.变量x与y负相关,u与v负相关 C 解析 由图象知,变量x与y负相关;u与v正相关. 规律方法　 变式训练1(1)某公司2017—2022年的年利润x(单位:百万元)与年广告支出y(单位:百万元)的统计资料如下表所示: 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 利润x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3 支出y 0.62 0.74 0.81 0.89 1 1.11 根据统计资料,则(　　) A.利润中位数是16,x与y有正线性相关关系 B.利润中位数是18,x与y有负线性相关关系 C.利润中位数是17,x与y有正线性相关关系 D.利润中位数是17,x与y有负线性相关关系 C 解析 由表知,利润中位数是 ×(16+18)=17,且y随x的增大而增大,故选C. (2)变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).用r1表示变量Y与X之间的线性相关系数,r2表示变量V与U之间的线性相关系数,则下列正确的是(　　) A.r2<r1<0 B.0<r2<r1 C.r2<0<r1 D.r2=r1 C 解析 作出散点图(图略)可知,r1>0,r2<0,则r1与r2的大小关系是r2<0<r1.故选C. 探究点二　求回归直线方程并对总体进行估计 【例2】 下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(单位:吨)与相应的生产能耗y(单位:吨标准煤)的几组对照数据: x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请根据上表数据画出散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出回归直线方程 (3)已知该厂技术改进前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试根据(2)求出的回归直线方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改进前降低多少吨标准煤? 解 (1)散点图,如图所示: (3)根据回归直线方程的预测,现在生产100吨产品消耗的标准煤为0.7×100+0.35=70.35(吨), 故降低了90-70.35=19.65吨标准煤. 规律方法　回归分析的三个步骤 (1)判断两个变量是否线性相关:可以利用经验,也可以画散点图; (2)求回归直线方程,注意运算的正确性; (3)根据回归直线方程进行预测估计,估计值不是实际值,两者会有一定的误差. 【例3】 已知某地平均每单位面积菜地年使用氮肥量x(单位:kg)与平均每单位面积蔬菜年产量y(单位:t)之间的关系如下表: 年份 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 x/kg 70 74 80 78 85 92 90 95 y/t 5.1 6.0 6.8 7.8 9.0 10.2 10.0 12.0 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020   x/kg 92 108 115 123 130 138 145   y/t 11.5 11.0 11.8 12.2 12.5 12.8 13.0   (1)求y与x之间的相关系数,并判断它们是否线性相关; (2)若y与x线性相关,求平均每单位面积蔬菜年产量y(单位:t)与平均每单位面积菜地年使用氮肥量x(单位:kg)之间的回归直线方程,并估计平均每单位面积菜地年施氮肥150 kg时,平均每单位面积蔬菜的年产量. 解 (1)根据题中数据,并用科学计算器进行有关计算,列表如下: i 1 2 3 4 5 6 7 8 xi 70 74 80 78 85 92 90 95 yi 5.1 6.0 6.8 7.8 9.0 10.2 10.0 12.0 xiyi 357 444 544 608.4 765 938.4 900 1 140 i 9 10 11 12 13 14 15   xi 92 108 115 123 130 138 145   yi 11.5 11.0 11.8 12.2 12.5 12.8 13.0   xiyi 1 058 1 188 1 357 1 500.6 1 625 1 766.4 1 885   这说明平均每单位面积蔬菜年产量与平均每单位面积菜地年使用氮肥量之间存在着很强的线性相关关系. 规律方法　回归分析问题的答题模板 第一步:由已知数据求出相关系数r. 第二步:通过与r的临界值比较大小,判断y与x是否线性相关. 第三步:计算 ,求出回归直线方程. 第四步:利用回归方程进行预测. 变式训练2某地区某农产品近几年的产量统计如表: 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码t 1 2 3 4 5 6 年产量y(万吨) 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4 (1)根据表中数据,求y关于t的回归直线方程; (2)根据回归直线方程预测2023年该地区该农产品的年产量. 探究点三　非线性回归分析 【例4】 下表为收集到的一组数据: x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21 24 66 115 325 (1)作出x与y的散点图,并猜测x与y之间的关系; (2)求y关于x的回归方程; (3)利用所得模型,预测x=40时y的值(结果保留整数). 解 (1)作出散点图如图,从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系,根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数型函数曲线y=c1的周围,其中c1,c2为待定的参数. (2)对 两边取对数把指数关系变为线性关系,令z=ln y,则变换后的样本点应分布在直线z=bx+a(a=ln c1,b=c2)的周围,这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了,数据可以转化为: x 21 23 25 27 29 32 35 z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 (3)当x=40时,y=e0.272×40-3.849≈1 131. 规律方法　非线性回归问题的处理方法 (1)指数函数型y=ebx+a ①函数y=ebx+a的图象: ②处理方法:两边取对数得ln y=ln ebx+a,即ln y=bx+a.令z=ln y,把原始数据(x,y)转化为(x,z),再根据线性回归模型的方法求出a,b. (2)对数函数型y=bln x+a ①函数y=bln x+a的图象: ②处理方法:设x'=ln x,原方程可化为y=bx'+a,再根据线性回归模型的方法求出a,b. (3)y=bx2+a型 处理方法:设x'=x2,原方程可化为y=bx'+a,再根据线性回归模型的方法求出a,b. 变式训练3某公司在市场调查中,发现某产品的单位定价x(单位:万元/吨)对月销售量y(单位:吨)有影响.对不同定价xi和月销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,如下表. (1)求y关于x的回归方程; (2)若生产1吨产品的成本为1.6万元,那么预计价格定位多少时,该产品的月利润T(单位:万元)取最大值,求此时的月利润. ∴若生产1吨产品的成本为1.6万元,那么预计价格定位2万元时,该产品的月利润取最大值,最大月利润为0.2万元. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一]对相关系数r,下列说法正确的是(　　) A.|r|越大,线性正相关程度越大 B.|r|越小,线性相关程度越大 C.|r|越大,线性相关程度越小,|r|越接近0,线性相关程度越大 D.|r|≤1且|r|越接近1,线性相关程度越大,|r|越接近0,几乎不存在相关关系 D 解析 用相关系数r可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱,|r|≤1,r的绝对值越接近于1,表示两个变量的线性相关性越强,r的绝对值接近于0时,表示两个变量之间几乎不存在相关关系,故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.[探究点一]在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=-3x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为(　　) A.-3 B.0 C.-1 D.1 C 解析 因为所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=-3x+1上,所以回归直线方程是 =-3x+1,可得这两个变量是负相关,故这组样本数据的样本相关系数为负值,且所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线上,则有|r|=1,所以相关系数r=-1,故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.[探究点二]某工厂的每月各项开支x与毛利润y(单位:万元)之间有如下关系,且y与x的回归直线方程 x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 A.17.5 B.17 C.15 D.15.5 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.[探究点二]由一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),求得回归直线方程为 =1.5x+0.5,且 =3.现发现这组样本数据中有两个样本点(1.2,2.2)和(4.8,7.8)误差较大,去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2,则(　　) A.变量x与y具有正相关关系 B.去除两个误差较大的样本点后,重新求得的回归方程仍为 =1.5x+0.5 C.去除两个误差较大的样本点后,y的估计值增加速度变快 D.去除两个误差较大的样本点后,相应于样本点(2,3.75)的残差为0.05 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.[探究点二]某设备的使用年限x(单位:年)与所支出的维修费用y(单位:万元)的统计数据如下表: 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 1.5 4.5 5.5 6.5 7.0 根据上表可得回归直线方程为 ,据此模型预测,若使用年限为14年,估计维修费约为　　　　万元.  18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.[探究点二·2023江西高二期中]下面是两个变量的一组数据: x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 1   9 16 25 36 49 64 这两个变量之间的回归直线方程为 -15+9x,则变量y中缺失的数据是　　　　.  4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.[探究点三]用模型y=cekx去拟合一组数据时,为了求出线性回归方程,设z=ln y,求得回归直线方程为 =0.3x+4,则k的值为　　　　.  0.3 解析 由题意知,y=cekx,故ln y=ln c+kx,设z=ln y,求得回归直线方程为 =0.3x+4,两式相比较,得k=0.3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 级 关键能力提升练 8.相关变量x,y的散点图如图所示,现对这两个变量进行线性相关分析,方案一:根据图中所有数据,得到回归直线方程 =b1x+a1,相关系数为r1;方案二:剔除点(10,21),根据剩下数据得到回归直线方程 =b2x+a2,相关系数为r2.则(　　) A.0<r1<r2<1 B.0<r2<r1<1 C.-1<r1<r2<0 D.-1<r2<r1<0 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.[2023江西吉安一中高二期末]已知变量x,y的关系可以用模型y=cekx拟合,设z=ln y,其变换后得到一组数据如下: x 16 17 18 19 z 50 34 41 31 由上表可得回归直线方程 =-4x+a,则c=(　　) A.-4 B.e-4 C.109 D.e109 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.(多选题)某地建立了农业科技图书馆,供农民免费借阅,收集了近5年的借阅数据如下表: 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码x 1 2 3 4 5 年借阅量y/万册 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8 根据上表,可得y关于x的回归直线方程为 ,则(　　) A. =4.68 B.估计近5年借阅量以0.24万册/年的速度增长 C.y与x的样本相关系数r>0 D.2022年的借阅量一定不少于6.12万册 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.在研究两个变量的线性相关关系时,观察散点图发现样本点集中于某一条曲线y=ebx+a的周围,令z=ln y,求得回归直线方程 =0.25x-2.58,则该模型 的回归方程为　　　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 级 学科素养创新练 12.某单位为了解用电量y(单位:度)与气温x(单位:℃)之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温. 气温x/℃ 14 12 8 6 用电量y/度 22 26 34 38 (2)根据(1)的回归直线方程估计当气温为10 ℃ 时的用电量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.如今我们的互联网生活日益丰富,除了可以很方便地网购,网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.某市一调查机构针对该市市场占有率最高的甲、乙两家网络外卖企业(以下简称外卖甲、外卖乙)的经营情况进行了调查,调查结果如下表: 日期 1 2 3 4 5 外卖甲日接单量x/百单 5 2 9 8 11 外卖乙日接单量y/百单 2.2 2.3 10 5 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1)据统计表明y与x之间具有线性相关关系. ①请用样本相关系数r加以说明;(若|r|>0.75,则可认为y与x有较强的线性相关关系) ②经计算求得y与x之间的回归直线方程为y=1.382x-2.774,假定每单外卖企业平均能获纯利润3元,试预测当外卖乙日接单量不低于2 500单时,外卖甲所获取的日纯利润的最小值.(x的结果精确到0.01) (2)试根据表格中这五天的日接单量情况,从均值和方差的角度说明这两家外卖企业的经营状况. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 所以|r|>0.75,可认为y与x之间有较强的线性相关关系. ②由题意y与x之间的回归直线方程为 =1.382x-2.774, 由 =1.382x-2.774≥25,解得x≥20.10,所以300x≥6 030, 所以可预测外卖甲所获取的日纯利润的最小值为6 030元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 从平均值看,甲的平均值大些,即甲的接单量多些; 从方差看,甲的方差小些,即甲的日接单量波动性小些. 一般地,已知变量x与y的n对成对数据(xi,yi),i=1,2,3,…,n.任意给定一个一次函数y=bx+a,对每一个已知的xi,由直线方程可以得到一个估计值=bxi+a,如果一次函数x+能使残差平方和即　　　　　　　　　　　　　　　　　　=(yi-)2取得最小值,则x+称为y关于x的回归直线方程(对应的直线称为回归直线).  (y1-)2+(y2-)2+…+(yn-)2 给定两个变量y与x的一组数据之后,回归直线方程x+总是存在,而且=　　　　　　　.  x+ ()　 >0 <0 第二步:计算xiyi; 第三步:代入公式计算的值; 如果y与x呈线性相关关系,且回归直线方程为x+,那么=(　　) A.- B. C.- D. 解析 由条件知=3,=5,即点(3,5)一定在回归直线上,则5=3, 所以=-. 2.根据最小二乘法由一组样本点(xi,yi)(其中i=1,2,…,500),求得的回归直线方程是 x+,则下列说法不正确的是(　　) A.样本点可能全部都不在回归直线x+上 B.点()不一定在回归直线x+上 C.若所有的样本点都在回归直线x+上,则xi+的值与相等 D.若回归直线x+的斜率<0,则变量x与y负相关 解析 回归直线必过点(),但样本点可能全部不在回归直线上,故A正确; 点()一定在回归直线x+上,故B错误; 若所有的样本点都在回归直线x+上,则xi+的值与相等,故C 正确; 若<0,则变量x与y负相关,故D正确. 故选B. r== . 曲线方程 曲线图形 变换公式 变换后的线性函数 y=axb c=ln a v=ln x u=ln y u=c+bv 曲线方程 曲线图形 变换公式 变换后的线性函数 y=aebx c=ln a u=ln y u=c+bx y=a c=ln a v= u=ln y u=c+bv 曲线方程 曲线图形 变换公式 变换后的线性函数 y=a+bln x v=ln x u=y u=a+bv y=a· x+; (2)由题意,得xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5, =4.5,=3.5, =32+42+52+62=86, ∴=0.7,=3.5-0.7×4.5=0.35, 故回归直线方程为=0.7x+0.35. =101,≈10.113 3,=161 125,=1 628.55,xiyi=16 076.8 故相关系数r=≈ ≈0.863 2>0.75. (2)设所求的回归直线方程为x+, 则≈0.093 1,=0.710 2,则=0.093 1x+0.710 2. 当平均每单位面积菜地年施氮肥150 kg时,平均每单位面积蔬菜的年产量约为0.093 1×150+0.710 2=14.675 2(t). (参考数据:(ti-)(yi-)=2.8,计算结果保留小数点后两位) 解 (1)由题意可知,=3.5,=7, (ti-)2=(-2.5)2+(-1.5)2+(-0.5)2+0.52+1.52+2.52=17.5, 所以=0.16. 又=7-0.16×3.5=6.44, 所以y关于t的回归直线方程为=0.16t+6.44. (2)由(1)可得,当年份为2023年时,年份代码t=8,此时=0.16×8+6.44=7.72,所以,可预测2023年该地区该农产品的年产量约为7.72万吨. y=c1 求得回归直线方程为=0.272x-3.849,所以=e0.272x-3.849. xiyi ziyi 0.24 43 9 0.164 820 68 3 956 表中z=.经过分析发现可以用y=a+来拟合y与x的关系. 附:对于一组数据(ω1,v1),(ω2,v2),…,(ωn,vn),其回归直线ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 解 (1)由z=,则y=a+b·z, 则=5,=-2,∴=-2+. (2)月利润T=·(x-1.6)=(-2)(x-1.6)=8.2-(2x+)≤8.2-2=0.2 (当且仅当2x=,即x=2时取等号). =6.5x+,则=(　　) 解析 由题意,根据表中的数据,可得=5, =50,代入回归直线方程=6.5x+,解得=17.5.故选A. =1.3x+ 解析 设变量y中缺失的数据为m,则(1+2+3+4+5+6+7+8)=4.5, (1+m+9+16+25+36+49+64)=(m+200).因为这两个变量之间的回归直线方程为=-15+9x,所以(m+200)=-15+9×4.5,解得m=4. 解析 由表知=17.5,=39.点()代入方程,得-4×17.5+a=39,则a=109.∴z=-4x+109,由y=cekx,得z=ln y=ln(cekx)=ln c+ln ekx=ln c+kx,∴ln c=109,即c=e109.故选D. =0.24x+ 解析 =3,=5.4,代入=0.24x+,可得=4.68,所以A正确;因为=0.24x+,所以估计每年借阅量的增长量为0.24万册,所以B正确;因为=0.24>0,所以y与x正相关,即相关系数r>0,所以C正确;把x=6代入=0.24x+4.68,得=6.12,而6.12万册是预测值,不是精确值,所以D错误.故选ABC. =e0.25x-2.58 解析 由回归直线方程=0.25x-2.58得ln y=0.25x-2.58,整理得=e0.25x-2.58, 所以该模型的回归方程为=e0.25x-2.58. (1)求回归直线方程;(参考数据:xiyi=1 120,=440) 解 (1)=10,=30,xiyi=1 120,=440,所以=-2,把(10,30)代入回归直线方程得30=-2×10+,解得=50. 所以回归直线方程为=-2x+50. (2)当x=10时,=30,估计当气温为10 ℃时的用电量为30度. 参考数据:(xi-)(yi-)=69.1,≈78. 解 (1)①由(xi-)(yi-)=69.1,≈78, 得样本相关系数r=≈0.886, (2)根据表格中数据,得×(5+2+9+8+11)=7, ×(2.2+2.3+10+5+15)=6.9, [(5-7)2+(2-7)2+(9-7)2+(8-7)2+(11-7)2]=10, [(2.2-6.9)2+(2.3-6.9)2+(10-6.9)2+(5-6.9)2+(15-6.9)2]=24.416. $$